Мысли о возможных решениях некоторых проблем в арифметике

[Slav-27]

iifat в сообщении #1083631 писал(а):

Не является он «просто переформулировкой». И каких таких «принципиально новых» результатов вы от него ожидали? Дважды два — по-прежнему четыре, это да.

Я ничего не ожидал, я имел в виду, что любое стандартное утверждение, которое можно доказать нестандартно, можно доказать и стандартно. Нестандартный анализ таким образом лишь поставляет новый способ рассуждений, который где-то кажется более естественным, чем стандартный, а где-то не кажется. А насчёт "просто переформулировки" я, может, и хватил.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1083614 писал(а):

Рекомендуемые темы для чтения:
- алгебра (начала общей алгебры для вуза: группы, кольца, поля);
- чего-то популярное по нестандартному анализу (кажется, Успенский);
- хорошие учебники по математическому анализу, чтобы понять ошибочность некоторых из ваших мыслей (как правильно строятся действительные числа, что там с пределами и функциями).

Успенский, Успенский. "Что такое нестандартный анализ?" книжка называется. Но внимание: читать ее нужно ПОСЛЕ знакомства с обычным матанализом, а не до. Т.к. там все изложение строится на сравнении нестандартного анализа со "стандартным".

Про группы, кольца и поля рекомендую Кострикин, Введение в алгебру, т. 1, гл. 4 (предыдущие три главы читать при этом не обязательно, они посвящены другим вопросам). Для первого знакомства хватит, а дальше будет видно.

По матану можно попробовать, например, Ильин, Позняк. Математический анализ. Глава 2 (теория вещественных чисел), и при желании дальше (про последовательности, пределы и т.д.).

[Munin]

Anton_Peplov
Спасибо за конкретные названия книг! Ко всем +1.

[Someone]

Itovoki в сообщении #1083600 писал(а):

Я студент, у которого очевидно пробелы в мат. аппарате, но я его восполняю и дважды повторять ошибку не собираюсь - в будущем я прежде чем публиковать свои мысли, буду уточнять оффлайн у спецов.

"Запрет" деления на ноль является следствием простых свойств арифметических операций, и отказываться от этих свойств никто не захочет. А кому и зачем может понадобиться деление на ноль, совершенно непонятно.

Itovoki в сообщении #1083600 писал(а):

"21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего двигательная установка корабля прекратила свою работу"

Это ошибка в программном обеспечении. Процессор при делении на ноль должен не впадать в ступор, а вырабатывать специальный сигнал. Программное обеспечение, в свою очередь, должно этот сигнал обрабатывать и разумным образом на него реагировать. Если американцы напортачили в программе, то это не повод выдумывать особые правила деления на ноль, нарушающие правила арифметики.

Slav-27 в сообщении #1083624 писал(а):

Желание определить привычные функции для $\mathbb{R}$, пополненного бесконечно большими и бесконечно малыми элементами, приводит к нестандартному анализу

Ничего не слышал о том, чтобы серьёзные математики занимались такими вопросами, и к нестандартному анализу такие желания отношения не имеют. Нестандартный анализ следует рассматривать как формализацию первоначального подхода к построению математического анализа, который Лейбниц называл "анализом бесконечно малых". Такой подход оказался с логической точки зрения очень сложным, и полтораста лет спустя Коши и Вейерштрасс ввели понятие предела, которое позволило обойтись без понятия бесконечно малого "числа" (но появилось понятие бесконечно малой функции). А уже в XX веке развитие математической логики позволило формализовать бесконечно малые "числа".

[Slav-27]

Someone в сообщении #1083673 писал(а):

Slav-27 в сообщении #1083624 писал(а):

Желание определить привычные функции для $\mathbb{R}$, пополненного бесконечно большими и бесконечно малыми элементами, приводит к нестандартному анализу

Ничего не слышал о том, чтобы серьёзные математики занимались такими вопросами, и к нестандартному анализу такие желания отношения не имеют. Нестандартный анализ следует рассматривать как формализацию первоначального подхода к построению математического анализа, который Лейбниц называл "анализом бесконечно малых".

Я не то же самое написал?

Нестандартный анализ, во-первых, использует актуально бесконечно малые величины, а во-вторых представляет аналоги для стандартных функций, чтобы доказывать стандартные теоремы нестандартно - т. е. была $f:\mathbb{R}$, стала $f^*:\mathbb{R}^*$. Построение этих аналогов, конечно, не самоцель, но оно естественно требуется.

[Itovoki]

Не смог сдержаться

Несмотря на то, что таких как я, исходя из поверхностного анализа, много, Вы все равно помогаете и объясняете - искреннее спасибо!

Желаю Вам здоровья и сил в этом нелегком деле - образовывать массы!

[Someone]

Slav-27 в сообщении #1083680 писал(а):

Я не то же самое написал?

Ну вот, уже обиделись. А я меньше всего хотел кого-либо обижать. Но написали Вы, некоторым образом, не то же самое.

Во-первых, мотивировка разработки нестандартного анализа, всё-таки, с подобными желаниями не связана.
Во-вторых, вряд ли эти желания привели бы именно к нестандартному анализу. Можно было бы, наверное, что-нибудь попроще выдумать.

Itovoki в сообщении #1083687 писал(а):

таких как я, исходя из поверхностного анализа, много

Ужасно много. У меня и собственные студенты не один раз спрашивали, а почему это, собственно, запрещено делить на ноль.
А я отвечаю: не запрещено. Если уж Вам так позарез хочется делить на ноль — определяйте, как хотите, и делите себе на здоровье. Только не ожидайте от этого деления ничего хорошего.

[Munin]

Itovoki в сообщении #1083687 писал(а):

Несмотря на то, что таких как я, исходя из поверхностного анализа, много, Вы все равно помогаете и объясняете - искреннее спасибо!

Вам повезло, что вы взяли правильный тон :-) Очень многие натыкаются наоборот на грубости, потому что с самого начала претендуют на "переворот в математике" или что-то в таком роде. Ну и не находят пути к настоящему самообразованию и поумнению.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1083703 писал(а):

Вам повезло, что вы взяли правильный тон

Ну, повезло - это когда сто рублей на тротуаре нашел:) А собственное поведение человека - это его заслуга, а не везение.

[iifat]

Someone в сообщении #1083695 писал(а):

Можно было бы, наверное, что-нибудь попроще выдумать

Ну, какие именно желания привели к нестандартному анализу — вопрос отвлечённый. А вот насчёт попроще — как-то мне сомнительно. Есть, конечно, проективная плоскость и т.п., но, как мне кажется, полноценная арифметика с бесконечно малыми и большими, участвующими в арифметических операциях и сравнениях, будет в любом случае сравнима по сложности с нестандартным анализом.

[Munin]

Anton_Peplov
Повезло, что это поведение удачно сочеталось с местными обычаями.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Itovoki
Приведите тему в соответствие с требованиями дискуссионного раздела (см. правила).
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.