Мысли о возможных решениях некоторых проблем в арифметике

[Itovoki]

Есть невероятное желание поделиться некоторыми своими мыслями, на которые я буду искренне рад читать отзывы - как состоящие из объяснений, так и из обсуждений или конструктивной критики.

В общем, мне периодично и на протяжении 7 лет не дает покоя ряд вопросов.
Я находил временные решения на эти вопросы, которые впоследствии сам же и опровергал.
Буквально на днях, в процессе очередного размышления, пришла цепочка интересных мыслей, подаривших мне радость и умиротворение из-за, возможно, найденного решения (на этот раз я не смог сам себя опровергнуть).

Суть:

1. Деление числа на нуль.

Предлагаемый стандартный вариант решения: a/0≠x, где а∈Z, x∈Z в силу обратной проверки умножением, исходя из текущего определения операции деления.
Проверка: 0*x≠a(0*x=0), где а∈Z, x∈Z по очевидным причинам - число взятое 0 (нисколько) раз будет ничем (тоже 0).

Но, если взять за основу то, что деление есть самостоятельная арифметическая операция, хоть и имеющая бесконечное множество точек соприкосновения с обратным умножением, при этом имеющая исключения, то можно решить проблему деления на нуль, путем дифференциации арифметических операций умножения и деления.

Например: 1/3=0,(3); 3*0,(3)=0,(9)≠1, 0,(9)≈1 - это в десятичной форме (конечно форме дробей получим иной результат: 1/3*3/1=1. Наблюдается сокращение бесконечного ряда с конечным, что есть по факту возможным только в результате округления).
То есть мы наблюдаем некоторые отклонения результатов при проведении обратной операции.

Следовательно, не нужно воспринимать за аксиому абсолютную зеркальность операций деления и умножения (т.е. без нюансов, уточнений и т.д.).

Это, в итоге, поможет нам (возможно) решить проблему некоторых операций с нулем:
для этого введем понятие Абсолютно (от лат. Absolutus - безусловный, безотносительный, совершенный) Малой Величины, значение есть наименьшее из возможных, т.е. отсутствие как таковой (нуль, "0", "A-") и понятие обратное АМВ - это Абсолютно Большой Величины (АБВ, её обозначение пусть будет "A+"), такое, которое будет наибольшим из возможных значений.

A-(АМВ) есть скачок бесконечно уменьшающейся величины (x→0, x→A-), стремящейся к её отсутствию, т.е. стремящейся к нулю ("0") и в результате (благодаря качественному переходу) равняющейся нулю (x=0). Это понятие уже было введено.
А+(АБВ) также есть скачок бесконечно увеличивающейся величины (x∈|±∞|→A+), стремящейся к её совершенному присутствию, т.е. стремящейся к АБВ и в результате (благодаря качественному переходу) равняющейся АБВ (x=A+).

Итого имеем: a/0=A+ (a/A-=A+), где а∈Z, т.к. отсутствие значения может абсолютное количество раз вместиться в его присутствии (ну или если рассматривать деление как совокупность операций вычитания, то мы можем абсолютное количество раз отнимать нуль от числа, в силу отсутствия даже бесконечно малого значения у нуля).

2. Умножение на нуль.
Тут всегда верно старое равенство: a*0=0, где а∈Z и A+*0=0, A+*A-=A-.
Просто добавляется новое, унифицированное в свете новых вводных, обозначение.

3. Деление нуля на нуль.
Далее нужно решить вопрос с делением нуля на нуль, так как 0 есть отсутствие значений, то любая попытка найти результат деления от пустоты будет пустота, т.е. 0/a=0 (0/5=0) и 0/0=0 (тут делимое не имеет значения и соотв. любой делитель с любым значением не сможет проводить операции с ним (с нулем), делитель не "вместится" в пустоту, а значит частное будет равно нулю)[следует указать на очень важный момент - тут дело с системе приоритетов, то бишь в очередности - мы в первую очередь рассматриваем делимое, т.к. оно равняется нулю, то далее не рассматривается делитель, т.к. повторюсь - делитель не "вместится" в пустоту, а нуль является в первую очередь делителем в данном равенстве, хоть он тоже является пустотой].
Поэтому, если мы поделим все равенства на нуль, то получим: (a/0)*(0/0)=(0/0), A+*0=0, 0=0; также (0/0)*(0/0)=(0/0), 0*0=0, 0=0: 0/0=0, 0=0.


Итоги:

1) В ряде случаев умножение и деление надо рассматривать дифференцировано
(например для решения задач с Z/0=A+ и A+*0=0(≠Z), 1:3=0,(3) и 0,(3)*3=0,(9)(≠1, но 0,(9)≈1 и 1/3*3/1=1).

2) Деление числа на нуль возможно и нужно делать.
Для этого надо ввести величину (А+, Абсолютной Большую Величину) из той же категории (Абсолютной) к которой принадлежит нуль, которая будет означать верхнюю границу (абсолютный максимум, "потолок"), в то время, как нуль (Абсолютно Малая Величина) будет занимать нижнюю границу (абсолютный минимум, "пол").

3) Результатом деления 0 на 0 будет 0 (0/0=0).

P.S. Эти мысли ни в коем разе не претендуют на аксиому и т.п. Это мои умозаключения (не мог спокойно спать, пока не поделился ими), которые еще предстоит обработать и в результате или полностью опровергнуть или доработать.
Заранее благодарю за Ваши конструктивные отзывы.

[Mihr]

Во всё вникать не хочется, но вот это явно неверно:

Itovoki в сообщении #1083545 писал(а):

0,(9)≠1

В действительности $0,(9)=1$.

[venco]

Itovoki в сообщении #1083545 писал(а):

Например: 1/3=0,(3); 3*0,(3)=0,(9)≠1, 0,(9)≈1 - это в десятичной форме (конечно форме дробей получим иной результат: 1/3*3/1=1.

Всё, на этом можно остановиться. Если у вас получаются разные результаты в разных формах, то ваша логика ущербна.

[Itovoki]

Большое спасибо за критику.
Я привел пример для иллюстрации разности форм результатов арифметических операций, если это критично - я в ближайшем будущем удалю его. Об уже имеющихся давно и в немалом кол-ве доказательствах 0,(9)=1 мне известно.

Вы зацепились за иллюстрацию, при этом не прокомментировав основную идею поста - деление на ноль и его (возможный) вариант решения, т.к. банально не прочитали до конца весьма скромную по размерам мысль.

Математика слишком красива в своей абстракции, логичности и точности, чтобы я мог спокойно смотреть на запреты в её базовых операциях.
Поэтому, прошу Вас, выскажитесь именно по поводу данного варианта обхода запрета.

[iifat]

Ну, если $0,(9)\neq1$, то $1-0,(9)$ должно быть каким-то числом. Каким, по-вашему?

-- 20.12.2015, 03:41 --

Itovoki в сообщении #1083568 писал(а):

Об уже имеющихся давно и в немалом кол-ве доказательствах

Поделились бы, что ли. А то вот математике о таковых неизвестно.

Itovoki в сообщении #1083545 писал(а):

скачок бесконечно уменьшающейся величины

Скачок бесконечно уменьшающейся величины... Хлопок одной ладонью... Беззвучный крик... Да вы, батенька, поэт... Но не математик. Увы.

[Munin]

Пример того, как вредно много думать, ничего не читая.

[provincialka]

Itovoki
Это не математика. Не занимайтесь этим. Вы не первый и нп последний...

[Itovoki]

Понял. Спасибо за ответы. Прошу прощения за отнятое время. Математику не брошу, а вот перепроверять литературу, чтобы не изобретать не едущий велосипед - буду. Пошел читать)

[Mihr]

Itovoki в сообщении #1083568 писал(а):

Математика слишком красива в своей абстракции, логичности и точности, чтобы я мог спокойно смотреть на запреты в её базовых операциях.
Поэтому, прошу Вас, выскажитесь именно по поводу данного варианта обхода запрета.

Ваше "не могу спокойно смотреть" не является основанием для снятия "запрета в базовых операциях". Запрет деления на ноль - это ведь не чья-то прихоть

Itovoki в сообщении #1083545 писал(а):

Это, в итоге, поможет нам (возможно) решить проблему некоторых операций с нулем:
для этого введем понятие Абсолютно (от лат. Absolutus - безусловный, безотносительный, совершенный) Малой Величины, значение есть наименьшее из возможных, т.е. отсутствие как таковой (нуль, "0", "A-") и понятие обратное АМВ - это Абсолютно Большой Величины (АБВ, её обозначение пусть будет "A+"), такое, которое будет наибольшим из возможных значений.

A-(АМВ) есть скачок бесконечно уменьшающейся величины (x→0, x→A-), стремящейся к её отсутствию, т.е. стремящейся к нулю ("0") и в результате (благодаря качественному переходу) равняющейся нулю (x=0). Это понятие уже было введено.
А+(АБВ) также есть скачок бесконечно увеличивающейся величины (x∈|±∞|→A+), стремящейся к её совершенному присутствию, т.е. стремящейся к АБВ и в результате (благодаря качественному переходу) равняющейся АБВ (x=A+).

Если Вы вводите собственные понятия, то должны придавать им точный смысл. И как-то увязывать с уже существующими общепринятыми понятиями.
Ваша "Абсолютно Малая Величина" - это ведь не число. Попробуйте точнее описать Ваш объект. Ибо "скачок бесконечно уменьшающейся величины (x→0, x→A-), стремящейся к её отсутствию" - не более чем туманное выражение. Чтобы не сказать: просто набор слов (уж извините, пожалуйста).
А чем Ваша "Абсолютно Большая Величина" отличается от символа бесконечности - вообще непонятно.
Наконец, самое главное. Какая радость от Вашего "доопределения операции деления"? Какие реальные проблемы оно позволяет преодолеть, кроме чисто эстетических (в Вашем понимании)?

[provincialka]

Itovoki в сообщении #1083545 писал(а):

Буквально на днях, в процессе очередного размышления, пришла цепочка интересных мыслей, подаривших мне радость и умиротворение из-за, возможно, найденного решения (на этот раз я не смог сам себя опровергнуть).

Эх... вот зачем вы пришли к этим циникам-профессионалам... Испортят же всё настроение логикой своей...

[Itovoki]

Цитата:

Наконец, самое главное. Какая радость от Вашего "доопределения операции деления"? Какие реальные проблемы оно позволяет преодолеть, кроме чисто эстетических (в Вашем понимании)?

Как минимум в этом:
"21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего двигательная установка корабля прекратила свою работу" -цитата из Вики

А если серьезно - если все реальные проблемы с делением на ноль решаемы (а если не все, то ради таких проблем и надо искать возможность деления на ноль), то меня волнует чисто субъективное желание отсутствия пробелов и нерешаемых проблем в самой абстрактной, а для меня значит и самой универсальной (читай красивой) науке.

Я студент, у которого очевидно пробелы в мат. аппарате, но я его восполняю и дважды повторять ошибку не собираюсь - в будущем я прежде чем публиковать свои мысли, буду уточнять оффлайн у спецов.

Всем огромное спасибо за ответы. Я все равно считаю, что не зря думал над этим - зарядку для ума и укрепления нейронных связей еще никто не отменял.

-- 19.12.2015, 20:27 --

В общем, всем спасибо большое за уделенное внимание.

Вопрос считаю исчерпанным.

Прошу закрыть тему.

[Munin]

Itovoki в сообщении #1083582 писал(а):

Математику не брошу, а вот перепроверять литературу, чтобы не изобретать не едущий велосипед - буду. Пошел читать)

Рекомендуемые темы для чтения:
- алгебра (начала общей алгебры для вуза: группы, кольца, поля);
- чего-то популярное по нестандартному анализу (кажется, Успенский);
- хорошие учебники по математическому анализу, чтобы понять ошибочность некоторых из ваших мыслей (как правильно строятся действительные числа, что там с пределами и функциями).

И самое главное - сохранять самокритичность и юмор. Вы молодец, если готовы отказаться от не едущего велосипеда! Многие приходят сюда уже на такой стадии, что показывать им едущий - бесполезно.

-- 19.12.2015 21:58:44 --

И совсем P. S.

На этом форуме просто нельзя записывать формулы так, как их пишете вы. Вместо этого, надо использовать язык для формул LaTeX, про который можно почитать в хелпе к форуму (ссылки слева).

a/0≠x

$a/0 \ne x$ - $a/0 \ne x$

а∈Z

$a \in \mathbb{Z}$ - $a \in \mathbb{Z}$

0*x≠a

$0x=0 \cdot x \ne a$ - $0x=0 \cdot x \ne a$

x→0

$x \to 0$ - $x \to 0$

A-

$A^{-}$ - $A^{-}$

±∞

$\pm \infty$ - $\pm \infty$

Всем будет приятно читать формулы, записанные красиво и качественно, как в печатной книге.

[Slav-27]

Itovoki
Вашу идею пытаются куда-нибудь приспособить в том или ином виде уж лет 500-то точно, но тут есть проблемы.

Допустим, я хочу добавить к полю вещественных чисел $\mathbb{R}$ "бесконечно малый элемент" $\varepsilon$ и "бесконечно большой" $\omega=1/\varepsilon$ (это ваши АБВ и АМВ). Я хочу, чтобы все числа из полученного расширенного множества можно было умножать и складывать (ведб будет странно, если числа нельзя умножать и складывать).

Как умножить $\varepsilon\cdot\varepsilon$? Если $\varepsilon\cdot\varepsilon=\varepsilon$, то нарушается известное свойство чисел: нельзя разделить обе части на $\varepsilon$, поскольку это дало бы $\varepsilon=1$. Итак, раньше нельзя было делить только на 0, а теперь появился ещё и $\varepsilon$, на который тоже нельзя делить: что хорошего?

Во избежание этого кроме $\varepsilon$ придётся ввести бесконечно малые высшего порядка $\varepsilon^2$, $\varepsilon^3$ &c.

Но это не всё: их надо бы складывать. Я не могу положить $\varepsilon+\varepsilon=\varepsilon$. Ведь тогда станет совсем плохо: не только нельзя будет найти решение линеного уравнение $ax=b$ с $a\ne0$ как $x=b/a$ (ну ладно, пережили бы мы это как-нибудь) - при таком определении от равных отнимаются равные и получаются неравные!

Итак, придётся ввести также $2\varepsilon, 3\varepsilon$ и так далее, а затем и суммы различных бесконечно малых, конечных и бесконечно больших чисел.

На этом пути вас ждёт приятная новость: он приводит к множеству элементов вида $\dfrac{a_0+a_1\varepsilon+a_2\varepsilon^2+...+a_n\varepsilon^n}{b_0+b_1\varepsilon+b_2\varepsilon^2+...+a_m\varepsilon^m}$, где $a_i$ и $b_i$ вещественные, а равенство и операции определяются как обычно для дробей. Эта конструкция известна, часто применяется и называется кольцом рациональных функций одной переменной $\mathbb{R}(\varepsilon)$.

Но она не снимает проблем: по-прежнему нельзя делить на $0$ (т. е. на настоящий $0$, а не на $\varepsilon$) - ибо раз бесконечно малых много, то неизвестно, какая именно должна получиться (соглашение $\varepsilon=\frac10=\frac1{0\cdot0}=\frac10\cdot\frac10=\varepsilon^2$ приводит к нарушению хороших свойств чисел и поэтому практически весьма неудобно, как мы видели выше).

Кроме того, здесь сложно определить привычные операции, которые работают с вещественными числами; например, нету "числа" $x$, которое удовлетворяло бы $x\cdot x=\varepsilon$ - т. е. не существует $\sqrt\varepsilon$.

Желание определить привычные функции для $\mathbb{R}$, пополненного бесконечно большими и бесконечно малыми элементами, приводит к нестандартному анализу, про который читайте в книжках - но он, как оказывается, является просто переформулировкой обычного анализа и не приводит к принципиально новым результатам.

О различных попытках разрешить трудности, связанные с использованием бесконечно малых, можно почитать в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal и далее по ссылкам.

Itovoki в сообщении #1083545 писал(а):

Эти мысли ни в коем разе не претендуют на аксиому и т.п. Это мои умозаключения (не мог спокойно спать, пока не поделился ими), которые еще предстоит обработать и в результате или полностью опровергнуть или доработать.
Заранее благодарю за Ваши конструктивные отзывы.

Как видите, ваши мысли не новы: в этом направлении придумали очень много сложных и красивых вещей. Поэтому сперва изучите их - иначе вы навряд ли выдумаете что-то небесполезное. (А перед этим, разумеется, нужно изучить и "обычные" предметы - то есть те, которые рассказывают студентам физикам и математикам на младших курсах.)

Если же не хотите, то просто отставьте ваши размышления, и пусть ломают голову другие.

Itovoki в сообщении #1083600 писал(а):

Вопрос считаю исчерпанным.

Прошу закрыть тему.

Весьма разумно.

[gomomorfizm]

Могу привести некоторую аналогию, это очень похоже на описанное вами, то, что вы интуитивно понимаете:
пусть дано преобразование $ x\to\lambda(x) . Например, если $\lambda = \frac{ax+b}{cx+d} $то точка x=$\frac{-d}{c} $ "улетает" на бесконечность, а дробь принимает вид : $ \frac{ax+b}{0} $ . Вам стоит отталкиваться от подобных преобразований, тогда сможете построить что-то более-менее логичное. А по поводу вашей теории... подход и попытка нестандартного мышления, этакий вызов большинству конечно полезны и уместны, но только в том случае если вы сами уже проштудировали массу учебников и хорошо знаете, о чем говорите. Занимайтесь, занимайтесь и еще раз занимайтесь! Только тогда вы сможете бросать вызов обществу.
P.S. Не зацикливайтесь на делении на ноль. В математике полно более красивых и востребованных задач.

[iifat]

Slav-27 в сообщении #1083624 писал(а):

приводит к нестандартному анализу

Замечу в скобках, что на ноль делить и он не позволяет.

Slav-27 в сообщении #1083624 писал(а):

он, как оказывается, является просто переформулировкой обычного анализа и не приводит к принципиально новым результатам

Не является он «просто переформулировкой». И каких таких «принципиально новых» результатов вы от него ожидали? Дважды два — по-прежнему четыре, это да.