Выбор координат в общей теории относительности.

[Erleker]

Мне непонятен вопрос об произвольности преобразования координат(наверное он покажется глупым),какие ограничения на них.
1)Как известно основные условия метрики $ds^2=g_{ik}x^ix^k$:
(при физической СК: $g_{ii}=(1,-1,-1,-1)$)
$g_{oo}>0$
$g_{ab}<0$
Но как на счет формы зависимости  от координат$g_{ik}=g_{ik}(x)$?(от которой и зависят тензоры,описывающие кривизну).
В частности,сохранения условия выполнения уравнений Эйнштейна,при произвольных преобразованиях координат от $x^i$ к $x'^i $ .
$x'^i=f^i(x)$

Цитата:

Истинное гравитационное поле не может быть исключено никаким преобразованием координат. Другими словами, при наличии гравитационного поля пространство-время таково, что определяющие его метрику величины $g_{ik}$ никаким преобразованием координат ве могут быть приведены во всем простраистве к их галилееву виду.
Такое пространство-время называют кривым в отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно.

(Из книги "Теория Поля" Ландау и Лифшица)


Например в случае метрики Шварцфильда:
$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2-dr^2/(1-r_g/r)-r^2(\sin^2ado^2+da^2)$
Для Галилеевой(физической) СК для точки на радиусе $r_0$ будет просто(за отсутствием $g_{oa}$):
$dT=cdt\sqrt{1-r_g/r_0}$
$dR=dr/\sqrt{1-r_g/r_0}$
Но математически что мешает нам ввести преобразования для всего этого пространства такими же?То есть выбрать  $x'^i=f^i(x)$ так,что производная равна:
$dx'^i/dx^i=\sqrt{g_{ii}\delta^{ii}}$;
То есть использовать:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$
И записать метрику в этой СО как:
$ds^2=c^2dt'^2-dr'^2$(и любое преобразование для углов),так что она окажется Галилеевой для всего пространства,что разумеется лишено физического смысла и не удовлетворяет ур-ниям Эйнштейна. (тут-то конечно все ясно,но вопрос чисто общий)
Вопрос:
Что,с физической точи зрения ограничивает условия преобразования?Мы,что должны сначала проверять,удовлетворяет ли наша СО уравнениям Эйнштейна(сохраняется ли тензор $G_{ik}$),что даст нам понять,уместно то или иное преобразование?
Есть ли какие-то конкретные условия нормированности(в учебниках встречал по этому поводу только слова)?
То есть в общем случае есть метрика:$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$
Какие преобразования $x'^i=f^i(x)$ можно использовать,а какие нет,для построения новой СО?

Помогите пожалуйста!

[Munin]

Erleker в сообщении #1053778 писал(а):

1)Как известно основные условия метрики $ds^2=g_{ik}x^ix^k$:
(при физической СК: $g_{ii}=(1,-1,-1,-1)$)
$g_{oo}>0$
$g_{ab}<0$

На самом деле, сейчас даже эти условия не принято накладывать. Неудобно. Например, в шварцшильдовских координатах они не выполняются внутри чёрной дыры.

Erleker в сообщении #1053778 писал(а):

Но ведь на самом деле математически-то это не так.

На самом деле, математически это так.

Но вы в этом убедитесь, только если сами лично проделаете такое упражнение. Возьмите и сделайте предложенную вами замену координат

Erleker в сообщении #1053778 писал(а):

$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$

но обратите внимание, что здесь вы написали дифференциальные уравнения $dt'=f(dt),\quad dr'=g(dr),$ которые ещё не являются заменой координат. Чтобы заменить координаты во всём пространстве, вы должны проинтегрировать эти уравнения (вместе взятые, разумеется), и получить зависимость в форме алгебраических уравнений: $(t',r')=F(t,r).$

И только после этого интегрирования, вы должны будете записать метрику в новой системе координат - вычислить её, пересчитать, а не просто "догадаться".

Давайте, это очень полезное упражнение для начинающего!

----------------

Вам может сослужить дурную службу то, что вы читаете ЛЛ-2. Это учебник, который имеет свои минусы, по крайней мере, его не стоит читать один-единственный. Стоит почитать какие-то ещё книги или тексты, про дифференциальную геометрию, про искривлённые пространства и системы координат на них. А то геометрическая часть рассуждений будет непонятна. Я сам попался в такую ловушку, и не сразу из неё выбрался.

Попробуйте ещё вот такое упражнение. Оно вам поможет наглядностью результатов, которые можно проверить интуитивно.
Возьмите обычную сферу, и запишите метрику на ней. В любых координатах. Потом попытайтесь преобразовать координаты так, чтобы метрика приняла вид $dl^2=dx^2+dy^2$ (это метрика на плоскости). Убедитесь, что не получается (а если "получилось", нарисуйте эти координаты на самом деле на сфере, и оцените правильность ваших вычислений). То же самое можно сделать ещё с несколькими фигурами: тор, параболоиды, цилиндр или конус...

[Erleker]

Munin в сообщении #1053784 писал(а):

На самом деле, математически это так.

Но вы в этом убедитесь, только если сами лично проделаете такое упражнение. Возьмите и сделайте предложенную вами замену координат

Erleker в сообщении #1053778 писал(а):

$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$

но обратите внимание, что здесь вы написали дифференциальные уравнения $dt'=f(dt),\quad dr'=g(dr),$ которые ещё не являются заменой координат. Чтобы заменить координаты во всём пространстве, вы должны проинтегрировать эти уравнения (вместе взятые, разумеется), и получить зависимость в форме алгебраических уравнений: $(t',r')=F(t,r).$

И только после этого интегрирования, вы должны будете записать метрику в новой системе координат - вычислить её, пересчитать, а не просто "догадаться".

А как надо выполнять преобразования координат?
Я полагал,что сами выражения $(t',r')=F(t,r)$ не столько важны,ведь мы же подставляем именно выражение для дифференциалов.
Может вы объясните подробнее или посоветуете учебник по геометрии,где про этот вопрос подробно описано?(а то я во всем "чайник")

[Munin]

Вот с учебниками по геометрии - тоска.

Может быть, подойдёт вот этот вот:
Мищенко, Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.
В нём можно пропускать топологические главы 2 и 6.

Я в своё время изучал в основном по Мизнеру-Торну-Уилеру, который - учебник по ОТО. Хотя в нём довольно хорошее введение в дифференциальную геометрию, на мой личный вкус.

----------------

Кроме того, хорошо помогает серьёзно обдумывать низкомерную аналогию: собственно, Землю и её географические карты. Отсюда пошло много идей, и даже терминов (карта, атлас, геодезическая линия). Главная мысль такая: хотя на Земле и можно ввести разные координаты, но все они - всего лишь мысленные разметки, и не изменят форму самой Земли. Форма самой Земли выражается величинами, которые в координатах могут выглядеть по-разному, но всё-таки не полностью зависят от одних только координат. Например, метрика, и например, кривизна.

Что такое метрика? Метрика - это расстояния между точками: если задать две точки, то метрика даёт то, что измерила бы рулетка. Если мы меняем координатные сетки, то меняется не только формула для метрики, меняются ещё и координаты точек. И в результате, рулетка продолжает измерять то же расстояние. Это расстояние $l=\int dl=\int\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k}.$ С одной стороны, меняются координаты: меняются $dx^i.$ Но с другой стороны, меняются и компоненты метрики: меняется $g_{ik}.$ И эти изменения взаимно компенсируют друг друга, так что интеграл остаётся неизменным. (Для бесконечно близких точек, это будет не интеграл, а просто выражение $\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k},$ но всё остальное аналогично.)

Что такое кривизна? Кривизна - это некий интеграл по контуру, сейчас не важно какой. С ним всё то же самое: если меняются координаты, то меняется и формула для тензора кривизны, но при этом само значение интеграла остаётся постоянным.

Кроме метрики и кривизны, можно вводить и другие величины и понятия, не зависящие от систем координат. Некоторые вам знакомы, например, по геометрии на сфере: это углы между линиями, это площади фигур. На самом деле, они выражаются через метрику, но в учебниках ОТО этому не уделяется достаточно внимания. Более того, даже всю теорию можно построить без упоминания координат, в бескоординатном виде, но у координат есть большое преимущество, когда вы захотите что-то на практике посчитать: выражать расчёты в бескоординатном виде часто неудобно.

Erleker в сообщении #1053794 писал(а):

Я полагал,что сами выражения $(t',r')=F(t,r)$ не столько важны,ведь мы же подставляем именно выражение для дифференциалов.

Ну смотрите, ведь в метрике у вас не только дифференциалы стоят, но и сами функции координат:

$$ds^2=(1-r_g/\underline{r})c^2dt^2-dr^2/(1-r_g/\underline{r})-\underline{r^2}(\underline{sin^2a}\,do^2+da^2).$$

Наверное, я не очень ясно выразился, поэтому давайте начнём с более простого упражнения.

Начнём с обычного листа бумаги, на котором введём прямоугольные декартовы координаты $(x,y),$ нормированные так, что единица равна 1 см. Допустим, мы хотим совершить преобразование координат такое, что $dx'=dx,\quad dy'=dy/x,$ то есть, чтобы дифференциал $dy$ стал длиннее, причём не равномерно, а в зависимости от координаты $x$ (у вас аналогичная ситуация, когда в выражение $dt'=f(dt)$ входит $r$ как параметр). Наивно интегрируя эти уравнения, мы приходим к такой замене координат:

$$x'=x,\quad y'=y/x.$$

Нарисуйте линии новой сетки координат поверх старой. И запишите формулы метрики в новой и в старой сетке координат.

[SergeyGubanov]

Erleker в сообщении #1053778 писал(а):

То есть использовать:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$

Есть две функции $t'(t, r)$ и $r'(t, r)$, их полные дифференциалы:

$$ dt' = \frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial r} dr $$

$$ dr' = \frac{\partial r'}{\partial t} dt + \frac{\partial r'}{\partial r} dr $$

Подставьте эти выражения в Ваши формулы. Получится система уравнений в частных производных. Подумайте над тем имеет ли она решение.

[Erleker]

Munin в сообщении #1053816 писал(а):

Что такое метрика? Метрика - это расстояния между точками: если задать две точки, то метрика даёт то, что измерила бы рулетка. Если мы меняем координатные сетки, то меняется не только формула для метрики, меняются ещё и координаты точек. И в результате, рулетка продолжает измерять то же расстояние. Это расстояние $l=\int dl=\int\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k}.$ С одной стороны, меняются координаты: меняются $dx^i.$ Но с другой стороны, меняются и компоненты метрики: меняется $g_{ik}.$ И эти изменения взаимно компенсируют друг друга, так что интеграл остаётся неизменным. (Для бесконечно близких точек, это будет не интеграл, а просто выражение $\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k},$ но всё остальное аналогично.)

Что такое кривизна? Кривизна - это некий интеграл по контуру, сейчас не важно какой. С ним всё то же самое: если меняются координаты, то меняется и формула для тензора кривизны, но при этом само значение интеграла остаётся постоянным.

Кроме метрики и кривизны, можно вводить и другие величины и понятия, не зависящие от систем координат. Некоторые вам знакомы, например, по геометрии на сфере: это углы между линиями, это площади фигур. На самом деле, они выражаются через метрику, но в учебниках ОТО этому не уделяется достаточно внимания. Более того, даже всю теорию можно построить без упоминания координат, в бескоординатном виде, но у координат есть большое преимущество, когда вы захотите что-то на практике посчитать: выражать расчёты в бескоординатном виде часто неудобно.

Как я понимаю,нам нужны в первую очередь сами общие функции r'(r,t) и t'(r,t),а уже потом мы их дифференцируем и находим дифференциалы,подставляя в метрику?
Вы назвали написанные мною формулы "дифференциальными уравнениями",имея ввиду,наверное,что
(1)$dx'^i=g(dx^i)$
$dt'=g(dt)$
$dt'=dt\sqrt{1-r_g/r}$ показывает связь между dt и dt',без учета dr?
То есть тогда мы сначала интегрируем это дифференциальное уравнение по t,получая общие функции:
(2)$x'^i=F^i(x)$
$t'=F(r,t)$
$t'=t\sqrt{1-r_g/r}$
А потом,чтобы найти новую метрику,подставляем это t' в $g_{ik}(x)$,а потом находим dt'(дифференцируя (2)) и получая уже отличную от (1) формулу для преобразований:
(3)$dx^i=f^i(dx)$
$dt'=f(dt,dr)$,зависящую еще и от dr.
То есть получаем метрику,как $g'_{ik}(x')dx'^idx'^k=g_{ik}(F(x'))df^i(dx')df^k(dx')$,используя (2) и (3).
Понятно,что в качестве (1) можно использовать и мои выражения.
И СК будет кривая.
Так?

Но мой вопрос изначально был несколько иным,про то,что бы уже сразу использовать в качестве конечных преобразований в виде связи дифференциалов (3)$dt'=f(dt,dr)$ и
$dr'=f(dr,dt)$ те формулы:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$
Но тогда,как я понимаю,это будет неправильно,поскольку для них не существует общих функций (2),поскольку при дифференцировании любой функции вида $t'=F(t,r)$,dr в итоге всегда останется,невозможно получить $dt'=f(dt,dr)$ без dr,если есть зависимость от r.
То есть,для того,чтобы сделать преобразование,нам в первую очередь нужны функции (2),а для моих (3) их просто нет.
Я правильно понял?

[мат-ламер]

Erleker
Что за источник вы цитируете в первом посту? Насчёт "галилеевого" вида я не догнал. Может лучше вспомнить было бы Минковского? Суть обсуждаемого в том, что не каждое многообразие можно "распрямить". Бывают к этому топологические препятствия.

[Erleker]

мат-ламер в сообщении #1053901 писал(а):

Erleker
Что за источник вы цитируете в первом посту? Насчёт "галилеевого" вида я не догнал. Может лучше вспомнить было бы Минковского? Суть обсуждаемого в том, что не каждое многообразие можно "распрямить". Бывают к этому топологические препятствия.

Книга - Теория Поля Ландау и Лифшица.
Под "галилеевым",естественно,имеется ввиду метрика $c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$.
Пространство в гравитационном поле привести к такому виду нельзя.

[Munin]

Erleker в сообщении #1053881 писал(а):

То есть,для того,чтобы сделать преобразование,нам в первую очередь нужны функции (2),а для моих (3) их просто нет.

Они могут быть. Но они не приводят метрику к тому виду, как вам хочется. Сделайте упражнение, которое я предложил, и увидите сами.

[Erleker]

Munin в сообщении #1054008 писал(а):

Erleker в сообщении #1053881 писал(а):

То есть,для того,чтобы сделать преобразование,нам в первую очередь нужны функции (2),а для моих (3) их просто нет.

Они могут быть. Но они не приводят метрику к тому виду, как вам хочется. Сделайте упражнение, которое я предложил, и увидите сами.

Не очень понял.
"Дифференциальными уравнениями" (где учтено только "замедление"/"сокращение")(1) они могут быть,понятно.Но разве могут быть сразу (3)?
То есть допустим,есть уравнения (1) из вашего примера:
(1)$dx'^i=g(dx^i)$
$dx'=dx$
$dy'=dy/xk$ (без зависимости от $dx$)($k$-для размерности)
Находим:
(2)$x'^i=F^i(x)$
$y'=y/xk $
$x'=x$
Что и является общими преобразованиями.
А дальше находим преобразования для дифференциалов(уже с учетом обоих) :
(3)$dx'^i=f^i(dx)$
$y'=y/x'k$
$y=y'x'/k$
$dy=(x'dy'+y'dx')/k$
$dx=dx'$
Подставляем:
$ds^2=dy^2+dx^2=(x'dy'+y'dx')^2/k^2+dx'^2=x'^2dy'^2/k^2+2x'y'dx'dy'/k^2+y'^2dx'^2/k^2+dx'^2
Получая метрику:
$ds^2=(1+y'/k^2)dx'^2+2(x'y'/k^2)dx'dy'+(x'^2/k^2)dy'2$
(И она по тензорам тоже должна быть плоской)
Правильно?

Но уравнения:
$dx'=dx$
$dy'=dy/x$
нельзя использовать(как я понимаю) сразу в качестве (3),по той причине,что уравнению
$dy'=dy/x$ не может соответствовать (2)-функция $y'=F(x,y)$,которая при нахождении $dy'$ не выдает дифференциал от x,а оставляет только $dy'=dy/x$.Это невозможно,поэтому ведь метрика(для таких (3)-функций) неверна.
$ds^2=x'^2dy'^2+dx'^2$
Она уже не плоская,так?
Ровно,как,и наоборот(в примере Шварцшильда),нельзя подобрать такие преобразования,когда бы получилось
$ds^2=c^2dt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2$

Я правильно понимаю или нет?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Erleker в сообщении #1054169 писал(а):

уравнения... нельзя... по той причине, что... не может... которая... не выдает... Это невозможно, поэтому... неверна... Она уже не плоская,так?

Я запутался в отрицаниях.

Да и в обозначениях. Кажется, предложение SergeyGubanov писать частные производные было здравым.

[Erleker]

Munin в сообщении #1054217 писал(а):

Я запутался в отрицаниях.
Да и в обозначениях. Кажется, предложение SergeyGubanov писать частные производные было здравым.

Давайте так.
(1)-функции - это "дифференциальные уравнения",это выражение $dx^i=g(dx^i)$,при условии,что есть только $i$-тая координата.
То есть:
$dt'=g(dt)=\frac{\partial t'}{\partial t} dt $ (при $dr=0$)
Я так понимаю,что вы именно это и имели ввиду,когда предлагали мне подставить мои формулы.Вы назвали их дифференциальными уравнениями и сказали,что нужно получить общие формулы.(а я с самого начала хотел подставить их как (3),но об этом ниже)


Под функциями (2) $x'^i=F(x)$ я имел ввиду общие преобразования координат,получающиеся путем интегрирования выражений (1).
$t'=F(t,r)$


Функции (3) $dx'^i=f^i(dx)$ - это функции,получающие дифференцированием (2),естественно,включая и $dr$.
Это общие преобразования для дифференциалов:
$dt' = f(dt,dr)=\frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial r} dr$


Теперь рассмотрим выражение:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
Ясно,что если выбрать его в качестве (1),то можно получить метрику,в которой кривизна сохраниться.


Мой же вопрос был про то,что если подставить эту формулу как (3),то есть:
$dt'=\frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial r} dr=cdt\sqrt{1-r_g/r}$,как преобразования дифференциалов.И тогда,вроде как,при подстановке такого времени и аналогичного расстояния(но об этом потом) в формулу $ds^2=g_{ik}dx(x')^idx(x')^k$,то метрический тензор должен сократиться
($\sqrt{1-r_g/r}/\sqrt{1-r_g/r}=1$) и стать галилеевым,что быть не должно.

Теперь же,я(если правильно разобрался),считаю,что такое преобразование неверно по той причине,что не существует
такой (2)-функции $t'=F(t,r)$,которая при взятие дифференциала $dt'$,не выдавала бы $dr$ (если есть зависимость от $r$).
Нету для (3):$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$,функции (2) $F(r,t)$,потому что она не может быть без $dr$ (а $r$ то в выражении есть).Она не может быть (3).

Эта формула может быть только в качестве (1).
Вроде так.

Объясните,если не прав.

-- 17.09.2015, 21:52 --

Другими словами.
Правильно ли я понимаю,что преобразование (3),в котором:
$dt'=\frac{\partial F_t(r,t)}{\partial t}dt+\frac{\partial F_t(r,t)}{\partial r}dr=\sqrt{1-r_g/r}dt $ невозможно по той причине,что для него не существует (2)-функции общих алгебраических преобразований $t'=F_t(r,t)$(всегда должен быть и $dr$,если есть зависимость от $r$).

Выражение $dt'=\sqrt{1-r_g/r}dt $ подходит только на роль (1)(когда связь для случая $dr=0$) и тогда можно построить метрику.
Так?

[Pphantom]

Erleker - Вы опять забыли про оформление мелких формул и отдельных обозначений. Всякие "dr=0" тоже нужно записывать как $dr=0$. Выше я это исправил сам, но в последний раз.