2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 13:19 
Заморожен


16/09/15
946
Мне непонятен вопрос об произвольности преобразования координат(наверное он покажется глупым),какие ограничения на них.
1)Как известно основные условия метрики $ds^2=g_{ik}x^ix^k$:
(при физической СК: $g_{ii}=(1,-1,-1,-1)$)
$g_{oo}>0$
$g_{ab}<0$
Но как на счет формы зависимости  от координат$g_{ik}=g_{ik}(x)$?(от которой и зависят тензоры,описывающие кривизну).
В частности,сохранения условия выполнения уравнений Эйнштейна,при произвольных преобразованиях координат от $x^i$ к $x'^i $ .
$x'^i=f^i(x)$

Цитата:
Истинное гравитационное поле не может быть исключено никаким преобразованием координат. Другими словами, при наличии гравитационного поля пространство-время таково, что определяющие его метрику величины $g_{ik}$ никаким преобразованием координат ве могут быть приведены во всем простраистве к их галилееву виду.
Такое пространство-время называют кривым в отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно.
(Из книги "Теория Поля" Ландау и Лифшица)


Например в случае метрики Шварцфильда:
$ds^2=(1-r_g/r)c^2dt^2-dr^2/(1-r_g/r)-r^2(\sin^2ado^2+da^2)$
Для Галилеевой(физической) СК для точки на радиусе $r_0$ будет просто(за отсутствием $g_{oa}$):
$dT=cdt\sqrt{1-r_g/r_0}$
$dR=dr/\sqrt{1-r_g/r_0}$
Но математически что мешает нам ввести преобразования для всего этого пространства такими же?То есть выбрать  $x'^i=f^i(x)$ так,что производная равна:
$dx'^i/dx^i=\sqrt{g_{ii}\delta^{ii}}$;
То есть использовать:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$
И записать метрику в этой СО как:
$ds^2=c^2dt'^2-dr'^2$(и любое преобразование для углов),так что она окажется Галилеевой для всего пространства,что разумеется лишено физического смысла и не удовлетворяет ур-ниям Эйнштейна. (тут-то конечно все ясно,но вопрос чисто общий)
Вопрос:
Что,с физической точи зрения ограничивает условия преобразования?Мы,что должны сначала проверять,удовлетворяет ли наша СО уравнениям Эйнштейна(сохраняется ли тензор $G_{ik}$),что даст нам понять,уместно то или иное преобразование?
Есть ли какие-то конкретные условия нормированности(в учебниках встречал по этому поводу только слова)?
То есть в общем случае есть метрика:$ds^2=g_{ik}dx^idx^k$
Какие преобразования $x'^i=f^i(x)$ можно использовать,а какие нет,для построения новой СО?

Помогите пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Erleker в сообщении #1053778 писал(а):
1)Как известно основные условия метрики $ds^2=g_{ik}x^ix^k$:
(при физической СК: $g_{ii}=(1,-1,-1,-1)$)
$g_{oo}>0$
$g_{ab}<0$

На самом деле, сейчас даже эти условия не принято накладывать. Неудобно. Например, в шварцшильдовских координатах они не выполняются внутри чёрной дыры.

Erleker в сообщении #1053778 писал(а):
Но ведь на самом деле математически-то это не так.

На самом деле, математически это так.

Но вы в этом убедитесь, только если сами лично проделаете такое упражнение. Возьмите и сделайте предложенную вами замену координат
но обратите внимание, что здесь вы написали дифференциальные уравнения $dt'=f(dt),\quad dr'=g(dr),$ которые ещё не являются заменой координат. Чтобы заменить координаты во всём пространстве, вы должны проинтегрировать эти уравнения (вместе взятые, разумеется), и получить зависимость в форме алгебраических уравнений: $(t',r')=F(t,r).$

И только после этого интегрирования, вы должны будете записать метрику в новой системе координат - вычислить её, пересчитать, а не просто "догадаться".

Давайте, это очень полезное упражнение для начинающего!

----------------

Вам может сослужить дурную службу то, что вы читаете ЛЛ-2. Это учебник, который имеет свои минусы, по крайней мере, его не стоит читать один-единственный. Стоит почитать какие-то ещё книги или тексты, про дифференциальную геометрию, про искривлённые пространства и системы координат на них. А то геометрическая часть рассуждений будет непонятна. Я сам попался в такую ловушку, и не сразу из неё выбрался.

Попробуйте ещё вот такое упражнение. Оно вам поможет наглядностью результатов, которые можно проверить интуитивно.
Возьмите обычную сферу, и запишите метрику на ней. В любых координатах. Потом попытайтесь преобразовать координаты так, чтобы метрика приняла вид $dl^2=dx^2+dy^2$ (это метрика на плоскости). Убедитесь, что не получается (а если "получилось", нарисуйте эти координаты на самом деле на сфере, и оцените правильность ваших вычислений). То же самое можно сделать ещё с несколькими фигурами: тор, параболоиды, цилиндр или конус...

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 14:26 
Заморожен


16/09/15
946
Munin в сообщении #1053784 писал(а):
На самом деле, математически это так.

Но вы в этом убедитесь, только если сами лично проделаете такое упражнение. Возьмите и сделайте предложенную вами замену координат
но обратите внимание, что здесь вы написали дифференциальные уравнения $dt'=f(dt),\quad dr'=g(dr),$ которые ещё не являются заменой координат. Чтобы заменить координаты во всём пространстве, вы должны проинтегрировать эти уравнения (вместе взятые, разумеется), и получить зависимость в форме алгебраических уравнений: $(t',r')=F(t,r).$

И только после этого интегрирования, вы должны будете записать метрику в новой системе координат - вычислить её, пересчитать, а не просто "догадаться".

А как надо выполнять преобразования координат?
Я полагал,что сами выражения $(t',r')=F(t,r)$ не столько важны,ведь мы же подставляем именно выражение для дифференциалов.
Может вы объясните подробнее или посоветуете учебник по геометрии,где про этот вопрос подробно описано?(а то я во всем "чайник")

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вот с учебниками по геометрии - тоска.

Может быть, подойдёт вот этот вот:
Мищенко, Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.
В нём можно пропускать топологические главы 2 и 6.

Я в своё время изучал в основном по Мизнеру-Торну-Уилеру, который - учебник по ОТО. Хотя в нём довольно хорошее введение в дифференциальную геометрию, на мой личный вкус.

----------------

Кроме того, хорошо помогает серьёзно обдумывать низкомерную аналогию: собственно, Землю и её географические карты. Отсюда пошло много идей, и даже терминов (карта, атлас, геодезическая линия). Главная мысль такая: хотя на Земле и можно ввести разные координаты, но все они - всего лишь мысленные разметки, и не изменят форму самой Земли. Форма самой Земли выражается величинами, которые в координатах могут выглядеть по-разному, но всё-таки не полностью зависят от одних только координат. Например, метрика, и например, кривизна.

Что такое метрика? Метрика - это расстояния между точками: если задать две точки, то метрика даёт то, что измерила бы рулетка. Если мы меняем координатные сетки, то меняется не только формула для метрики, меняются ещё и координаты точек. И в результате, рулетка продолжает измерять то же расстояние. Это расстояние $l=\int dl=\int\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k}.$ С одной стороны, меняются координаты: меняются $dx^i.$ Но с другой стороны, меняются и компоненты метрики: меняется $g_{ik}.$ И эти изменения взаимно компенсируют друг друга, так что интеграл остаётся неизменным. (Для бесконечно близких точек, это будет не интеграл, а просто выражение $\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k},$ но всё остальное аналогично.)

Что такое кривизна? Кривизна - это некий интеграл по контуру, сейчас не важно какой. С ним всё то же самое: если меняются координаты, то меняется и формула для тензора кривизны, но при этом само значение интеграла остаётся постоянным.

Кроме метрики и кривизны, можно вводить и другие величины и понятия, не зависящие от систем координат. Некоторые вам знакомы, например, по геометрии на сфере: это углы между линиями, это площади фигур. На самом деле, они выражаются через метрику, но в учебниках ОТО этому не уделяется достаточно внимания. Более того, даже всю теорию можно построить без упоминания координат, в бескоординатном виде, но у координат есть большое преимущество, когда вы захотите что-то на практике посчитать: выражать расчёты в бескоординатном виде часто неудобно.

Erleker в сообщении #1053794 писал(а):
Я полагал,что сами выражения $(t',r')=F(t,r)$ не столько важны,ведь мы же подставляем именно выражение для дифференциалов.

Ну смотрите, ведь в метрике у вас не только дифференциалы стоят, но и сами функции координат:
$$ds^2=(1-r_g/\underline{r})c^2dt^2-dr^2/(1-r_g/\underline{r})-\underline{r^2}(\underline{sin^2a}\,do^2+da^2).$$
Наверное, я не очень ясно выразился, поэтому давайте начнём с более простого упражнения.

Начнём с обычного листа бумаги, на котором введём прямоугольные декартовы координаты $(x,y),$ нормированные так, что единица равна 1 см. Допустим, мы хотим совершить преобразование координат такое, что $dx'=dx,\quad dy'=dy/x,$ то есть, чтобы дифференциал $dy$ стал длиннее, причём не равномерно, а в зависимости от координаты $x$ (у вас аналогичная ситуация, когда в выражение $dt'=f(dt)$ входит $r$ как параметр). Наивно интегрируя эти уравнения, мы приходим к такой замене координат:
$$x'=x,\quad y'=y/x.$$ Нарисуйте линии новой сетки координат поверх старой. И запишите формулы метрики в новой и в старой сетке координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 17:49 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Erleker в сообщении #1053778 писал(а):
То есть использовать:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$
Есть две функции $t'(t, r)$ и $r'(t, r)$, их полные дифференциалы:$$
dt' = \frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial r} dr
$$$$
dr' = \frac{\partial r'}{\partial t} dt + \frac{\partial r'}{\partial r} dr
$$ Подставьте эти выражения в Ваши формулы. Получится система уравнений в частных производных. Подумайте над тем имеет ли она решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 18:42 
Заморожен


16/09/15
946
Munin в сообщении #1053816 писал(а):
Что такое метрика? Метрика - это расстояния между точками: если задать две точки, то метрика даёт то, что измерила бы рулетка. Если мы меняем координатные сетки, то меняется не только формула для метрики, меняются ещё и координаты точек. И в результате, рулетка продолжает измерять то же расстояние. Это расстояние $l=\int dl=\int\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k}.$ С одной стороны, меняются координаты: меняются $dx^i.$ Но с другой стороны, меняются и компоненты метрики: меняется $g_{ik}.$ И эти изменения взаимно компенсируют друг друга, так что интеграл остаётся неизменным. (Для бесконечно близких точек, это будет не интеграл, а просто выражение $\sqrt{g_{ik}dx^i dx^k},$ но всё остальное аналогично.)

Что такое кривизна? Кривизна - это некий интеграл по контуру, сейчас не важно какой. С ним всё то же самое: если меняются координаты, то меняется и формула для тензора кривизны, но при этом само значение интеграла остаётся постоянным.

Кроме метрики и кривизны, можно вводить и другие величины и понятия, не зависящие от систем координат. Некоторые вам знакомы, например, по геометрии на сфере: это углы между линиями, это площади фигур. На самом деле, они выражаются через метрику, но в учебниках ОТО этому не уделяется достаточно внимания. Более того, даже всю теорию можно построить без упоминания координат, в бескоординатном виде, но у координат есть большое преимущество, когда вы захотите что-то на практике посчитать: выражать расчёты в бескоординатном виде часто неудобно.

Как я понимаю,нам нужны в первую очередь сами общие функции r'(r,t) и t'(r,t),а уже потом мы их дифференцируем и находим дифференциалы,подставляя в метрику?
Вы назвали написанные мною формулы "дифференциальными уравнениями",имея ввиду,наверное,что
(1)$dx'^i=g(dx^i)$
$dt'=g(dt)$
$dt'=dt\sqrt{1-r_g/r}$ показывает связь между dt и dt',без учета dr?
То есть тогда мы сначала интегрируем это дифференциальное уравнение по t,получая общие функции:
(2)$x'^i=F^i(x)$
$t'=F(r,t)$
$t'=t\sqrt{1-r_g/r}$
А потом,чтобы найти новую метрику,подставляем это t' в $g_{ik}(x)$,а потом находим dt'(дифференцируя (2)) и получая уже отличную от (1) формулу для преобразований:
(3)$dx^i=f^i(dx)$
$dt'=f(dt,dr)$,зависящую еще и от dr.
То есть получаем метрику,как $g'_{ik}(x')dx'^idx'^k=g_{ik}(F(x'))df^i(dx')df^k(dx')$,используя (2) и (3).
Понятно,что в качестве (1) можно использовать и мои выражения.
И СК будет кривая.
Так?

Но мой вопрос изначально был несколько иным,про то,что бы уже сразу использовать в качестве конечных преобразований в виде связи дифференциалов (3)$dt'=f(dt,dr)$ и
$dr'=f(dr,dt)$ те формулы:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
$dr'=dr/\sqrt{1-r_g/r}$
Но тогда,как я понимаю,это будет неправильно,поскольку для них не существует общих функций (2),поскольку при дифференцировании любой функции вида $t'=F(t,r)$,dr в итоге всегда останется,невозможно получить $dt'=f(dt,dr)$ без dr,если есть зависимость от r.
То есть,для того,чтобы сделать преобразование,нам в первую очередь нужны функции (2),а для моих (3) их просто нет.
Я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Erleker
Что за источник вы цитируете в первом посту? Насчёт "галилеевого" вида я не догнал. Может лучше вспомнить было бы Минковского? Суть обсуждаемого в том, что не каждое многообразие можно "распрямить". Бывают к этому топологические препятствия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение16.09.2015, 22:07 
Заморожен


16/09/15
946
мат-ламер в сообщении #1053901 писал(а):
Erleker
Что за источник вы цитируете в первом посту? Насчёт "галилеевого" вида я не догнал. Может лучше вспомнить было бы Минковского? Суть обсуждаемого в том, что не каждое многообразие можно "распрямить". Бывают к этому топологические препятствия.

Книга - Теория Поля Ландау и Лифшица.
Под "галилеевым",естественно,имеется ввиду метрика $c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$.
Пространство в гравитационном поле привести к такому виду нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение17.09.2015, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Erleker в сообщении #1053881 писал(а):
То есть,для того,чтобы сделать преобразование,нам в первую очередь нужны функции (2),а для моих (3) их просто нет.

Они могут быть. Но они не приводят метрику к тому виду, как вам хочется. Сделайте упражнение, которое я предложил, и увидите сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение17.09.2015, 16:58 
Заморожен


16/09/15
946
Munin в сообщении #1054008 писал(а):
Erleker в сообщении #1053881 писал(а):
То есть,для того,чтобы сделать преобразование,нам в первую очередь нужны функции (2),а для моих (3) их просто нет.

Они могут быть. Но они не приводят метрику к тому виду, как вам хочется. Сделайте упражнение, которое я предложил, и увидите сами.

Не очень понял.
"Дифференциальными уравнениями" (где учтено только "замедление"/"сокращение")(1) они могут быть,понятно.Но разве могут быть сразу (3)?
То есть допустим,есть уравнения (1) из вашего примера:
(1)$dx'^i=g(dx^i)$
$dx'=dx$
$dy'=dy/xk$ (без зависимости от $dx$)($k$-для размерности)
Находим:
(2)$x'^i=F^i(x)$
$y'=y/xk $
$x'=x$
Что и является общими преобразованиями.
А дальше находим преобразования для дифференциалов(уже с учетом обоих) :
(3)$dx'^i=f^i(dx)$
$y'=y/x'k$
$y=y'x'/k$
$dy=(x'dy'+y'dx')/k$
$dx=dx'$
Подставляем:
$ds^2=dy^2+dx^2=(x'dy'+y'dx')^2/k^2+dx'^2=x'^2dy'^2/k^2+2x'y'dx'dy'/k^2+y'^2dx'^2/k^2+dx'^2
Получая метрику:
$ds^2=(1+y'/k^2)dx'^2+2(x'y'/k^2)dx'dy'+(x'^2/k^2)dy'2$
(И она по тензорам тоже должна быть плоской)
Правильно?

Но уравнения:
$dx'=dx$
$dy'=dy/x$
нельзя использовать(как я понимаю) сразу в качестве (3),по той причине,что уравнению
$dy'=dy/x$ не может соответствовать (2)-функция $y'=F(x,y)$,которая при нахождении $dy'$ не выдает дифференциал от x,а оставляет только $dy'=dy/x$.Это невозможно,поэтому ведь метрика(для таких (3)-функций) неверна.
$ds^2=x'^2dy'^2+dx'^2$
Она уже не плоская,так?
Ровно,как,и наоборот(в примере Шварцшильда),нельзя подобрать такие преобразования,когда бы получилось
$ds^2=c^2dt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2$

Я правильно понимаю или нет?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.09.2015, 17:11 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.09.2015, 18:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение17.09.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Erleker в сообщении #1054169 писал(а):
уравнения... нельзя... по той причине, что... не может... которая... не выдает... Это невозможно, поэтому... неверна... Она уже не плоская,так?

Я запутался в отрицаниях.

Да и в обозначениях. Кажется, предложение SergeyGubanov писать частные производные было здравым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение17.09.2015, 20:13 
Заморожен


16/09/15
946
Munin в сообщении #1054217 писал(а):
Я запутался в отрицаниях.
Да и в обозначениях. Кажется, предложение SergeyGubanov писать частные производные было здравым.

Давайте так.
(1)-функции - это "дифференциальные уравнения",это выражение $dx^i=g(dx^i)$,при условии,что есть только $i$-тая координата.
То есть:
$dt'=g(dt)=\frac{\partial t'}{\partial t} dt $ (при $dr=0$)
Я так понимаю,что вы именно это и имели ввиду,когда предлагали мне подставить мои формулы.Вы назвали их дифференциальными уравнениями и сказали,что нужно получить общие формулы.(а я с самого начала хотел подставить их как (3),но об этом ниже)


Под функциями (2) $x'^i=F(x)$ я имел ввиду общие преобразования координат,получающиеся путем интегрирования выражений (1).
$t'=F(t,r)$


Функции (3) $dx'^i=f^i(dx)$ - это функции,получающие дифференцированием (2),естественно,включая и $dr$.
Это общие преобразования для дифференциалов:
$dt' = f(dt,dr)=\frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial r} dr$


Теперь рассмотрим выражение:
$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$
Ясно,что если выбрать его в качестве (1),то можно получить метрику,в которой кривизна сохраниться.


Мой же вопрос был про то,что если подставить эту формулу как (3),то есть:
$dt'=\frac{\partial t'}{\partial t} dt + \frac{\partial t'}{\partial r} dr=cdt\sqrt{1-r_g/r}$,как преобразования дифференциалов.И тогда,вроде как,при подстановке такого времени и аналогичного расстояния(но об этом потом) в формулу $ds^2=g_{ik}dx(x')^idx(x')^k$,то метрический тензор должен сократиться
($\sqrt{1-r_g/r}/\sqrt{1-r_g/r}=1$) и стать галилеевым,что быть не должно.

Теперь же,я(если правильно разобрался),считаю,что такое преобразование неверно по той причине,что не существует
такой (2)-функции $t'=F(t,r)$,которая при взятие дифференциала $dt'$,не выдавала бы $dr$ (если есть зависимость от $r$).
Нету для (3):$dt'=cdt\sqrt{1-r_g/r}$,функции (2) $F(r,t)$,потому что она не может быть без $dr$$r$ то в выражении есть).Она не может быть (3).

Эта формула может быть только в качестве (1).
Вроде так.

Объясните,если не прав.

-- 17.09.2015, 21:52 --

Другими словами.
Правильно ли я понимаю,что преобразование (3),в котором:
$dt'=\frac{\partial F_t(r,t)}{\partial t}dt+\frac{\partial F_t(r,t)}{\partial r}dr=\sqrt{1-r_g/r}dt $ невозможно по той причине,что для него не существует (2)-функции общих алгебраических преобразований $t'=F_t(r,t)$(всегда должен быть и $dr$,если есть зависимость от $r$).

Выражение $dt'=\sqrt{1-r_g/r}dt $ подходит только на роль (1)(когда связь для случая $dr=0$) и тогда можно построить метрику.
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выбор координат в общей теории относительности.
Сообщение17.09.2015, 21:32 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Erleker - Вы опять забыли про оформление мелких формул и отдельных обозначений. Всякие "dr=0" тоже нужно записывать как $dr=0$. Выше я это исправил сам, но в последний раз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 99 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group