Задача про жука

[Geen]

Red_Herring в сообщении #999281 писал(а):

инкремент от $t=-\infty$ до $t=+\infty$.

Ну да, можно рассмотреть задачу рассеяния жука на стержне (только я с этим чуть попозже).

[unistudent]

Red_Herring в сообщении #999281 писал(а):

И, кстати, какой физический смысл констант $C,C_1$ входящих в решение (остальные уничтожаются поворотом и выбором начала отсчёта по времени)?

$C=(r_0,e)$, где $e$- единичный в-р, направленный вдоль стержня в направлении движения жука, а $r_0$- радиус-вектор точки на стрержне (или на линии, содержащей стержень), соответствует положению жука в начальный момент.
$C_1$ - момент импульса системы стержень-жук.

[Red_Herring]

Тогда от $C$ можно избавиться, считая что при $t=0$ жук находился в середине стержня.

[unistudent]

Red_Herring в сообщении #999299 писал(а):

Тогда от $C$ можно избавиться, считая что при $t=0$ жук находился в середине стержня.

В середине стержня угловая скорость $\dot\varphi$ достигает максимума, потом монотонно убывает. Если рисовать график $\dot\varphi=\dot\varphi(x)$ ($x$ - точка на стержне), то почему бы не сделать это для всех точек стержня, т.е. для $x \in [-a,a]$. Хотя, ничего по сути не менятся, можно нарисовать график для половины отрезка, имея в виду, что $\dot\varphi(x)=\dot\varphi(-x)$

[Oleg Zubelevich]

А теперь предположим, что вместо жука на стержень надето колечко массы $m$, которое скользит по стержню без трения и это колечко соединено невесомой пружиной жесткости $k$ с центром стержня. В расслабленом состоянии вся пружина сосредоточена в центре стержня.

[Geen]

Geen в сообщении #999280 писал(а):

Единственно, что может быть интересно было бы выразить прицельный параметр.

Geen в сообщении #999286 писал(а):

Ну да, можно рассмотреть задачу рассеяния жука на стержне

В общем, достаточно тривиально.

[unistudent]

Рассеяние и кольцо на пружинке как-то связаны?

[Geen]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #999323 писал(а):

А теперь предположим, что вместо жука на стержень надето колечко массы $m$, которое скользит по стержню без трения и это колечко соединено невесомой пружиной жесткости $k$ с центром стержня. В расслабленом состоянии вся пружина сосредоточена в центре стержня.

Да, и вот как для такой системы ввести "центр масс"? :-)

-- 02.04.2015, 15:14 --

unistudent в сообщении #999334 писал(а):

Рассеяние и кольцо на пружинке как-то связаны?

Нет - там ведь про жука было, а в новой задаче кольцо.
С кольцом, вообще говоря, совершенно новая задача. Например, теперь нужно искать ещё одну сохраняющуюся величину

-- 02.04.2015, 15:18 --

unistudent
А Вам удалось сравнить наши решения?

[Red_Herring]

При чем здесь рассеивание?

Теперь самое лучшее записать сначала кинетическую энергию и угловой момент стержня и кольца-жука через $\dot{\varphi}$ и $z(t),\dot{z}(t)$ ($z(t)$ — отклонение жука от центра стержня), затем потенциальную через $z(t)$ и воспользоваться законами сохранения полной энергии и углового момента.

Из общих соображений: $z(t)$ и $\dot{\varphi}(t)$ будут периодическими и возникает вопрос об определении периода. Разумеется, представляют интерес нетривиальные решения (когда $z(t)\ne 0$)

[unistudent]

Geen в сообщении #999336 писал(а):

[off]
unistudent
А Вам удалось сравнить наши решения?

Да, всё проверил, решения одинаковые.

[Geen]

Red_Herring в сообщении #999341 писал(а):

возникает вопрос об определении периода

Не только. Там в некоторый момент положение в центре стержня станет неустойчивым...

(Red_Herring)

Red_Herring в сообщении #999341 писал(а):

При чем здесь рассеивание?

Это я так переформулировал Ваш вопрос про полный инкремент...

[unistudent]

Это всё на что я был способен.

$E,L$ - полная энергия и момент импульса системы.

$$2E=mv_0^2 + I_0 \dot\varphi^2+kx^2 + m\dot r_x^2,$$

где $v_0$-скорость центра стержня, $I_0$ - мом. инерции стержня отн. его центра, $x$-положения кольца относительно центра стержня; $r_x$- радиус-вектор кольца. Направление $(r_x-r_0)$ на стержне считаем положительным, если оно совпадает с направлением в-ра $[\dot\varphi,r_0]$. Более подробно

$$2E=mr_0^2\dot\varphi^2 + I_0 \dot\varphi^2+kx^2 + m(r_0^2\dot\varphi^2+2\dot x |r_0|\dot\varphi+\dot x^2)= (2mr_0^2+ I_0 )\dot\varphi^2 +kx^2 + m\dot x(2 |r_0|\dot\varphi+\dot x),$$

$$L=(I+m(r_0^2+x^2))\dot\varphi,$$

где $r_0^2=c^2-a^2$, $I$-момент инерции стержня отн. центра окружности.

[Red_Herring]

Используйте какие-нибудь более разумные обозначения. Без индексов, знаков модуля и вообще в скобках отдельно.

Главное момент у Вас неверный. В нем наверняка д.б. член $m R \dot{x}$ ($R$ расстояние от центра диска до центра стержня; считайте $m=1$).

[unistudent]

$$L=\left(I+m|\overline{OZ}|^2\right)\dot\varphi$$

Это не верно? Здесь $I$ - момент инерции стержня отн. цента окружности; $\overline{OZ}$ взято из вашей картинки.

[Red_Herring]

unistudent в сообщении #999396 писал(а):

Это не верно?

Это верно если жук сидит неподвижно $\dot{x}=0$. Надо добавить еще член мною указанный. В прошлом это не играло роли т.к. этот член был $mvR$, т.е. константой. А сейчас—нет.

И компактифицируйте обозначения!