Задача про жука

[Geen]

unistudent в сообщении #998988 писал(а):

По поводу внешней силы я писал в стартовом сообщении.

Даже не знаю что Вам на это ответить - то ли у Вас нетрадиционное определение внешней силы, то ли жук крыльями машет, то ли Вы про третий закон Ньютона забыли.

unistudent в сообщении #998988 писал(а):

А на мой взгляд, окружность вобще можно исключить из условия задачи, и вместо стержня на окружности рассматривать вращение твердого тела

И что это даёт?

unistudent в сообщении #998988 писал(а):

под вращающейся СО я подразумевал систему жестко связанную со стержнем.

Т.е. Вашу вторую формулу надо понимать так, что правая её половина написана в одной СО, а левая в другой?

[unistudent]

То, что на жука действует сила Кориолиса, вы кажется согласны.

Geen в сообщении #999015 писал(а):

Д то ли жук крыльями машет, то ли Вы про третий закон Ньютона забыли.

И почему же я такой тупой ... Ведь, если стержень в начальный момент не вращается, то он таки начнет вращаться, если на него посадить ползущего жука, и Кориолисова сила здесь ни при чем.

[Geen]

unistudent в сообщении #999032 писал(а):

То, что на жука действует сила Кориолиса, вы кажется согласны.

Нет.

unistudent в сообщении #999032 писал(а):

Ведь, если стержень в начальный момент не вращается, то он таки начнет вращаться, если на него посадить ползущего жука

С чего? вот ползёт себе жук в соответствии с первым законом Ньютона и никакой стержень его "не трогает"....

[unistudent]

Ну тогда эта задача не для меня.

[Oleg Zubelevich]

Один тип движений нашли (самый тривиальный): стержень покоится. Осталось найти все остальные движения.

[unistudent]

Ну вообще-то я думал, что жук действует на стержень, примерно так же, как действует бегун на полотно "бегущей дорожки" в фитнесклубе. Видимо, вместо жука надо рассмотреть живую гусенИцу

[Geen]

Oleg Zubelevich в сообщении #999056 писал(а):

Один тип движений нашли (самый тривиальный): стержень покоится. Осталось найти все остальные движения.

Ну, следующий по тривиальности, пожалуй, будет случай $v=0$

-- 01.04.2015, 23:19 --

unistudent в сообщении #999070 писал(а):

Ну вообще-то я думал, что жук действует на стержень, примерно так же, как действует бегун на полотно "бегущей дорожки" в фитнесклубе.

Примерно. Но только если жук движется прямолинейно и равномерно, то суммарная сила, действующая на него равна нулю...

[Red_Herring]

Зачем грубую силу применять? Вежливо надо… Воспользуйтесь законом сохранения суммарного углового момента. Вот если угловая скорость стержня$\dot{\varphi}$ то
1) Чему равен угловой момент стержня?
2) Если при этом жук (насекомое, таракан) находится в точке $Z$, $OZ=r$, то чему равен его угловой момент?
Считать, что $OK=d$.

\begin{tikzpicture}[scale=.5] \draw (0,0) circle (5); \draw[thick] (-3,-4)--(4,-3); \fill (0,0) circle (.1) node[above]{$O$}; \fill (2.2,-3.25) circle (.1) node[below]{$Z$}; \fill (.5,-3.5) circle (.1) node[below]{$K$}; \draw (0,0)--(2.2,-3.25); \draw[dashed] (0,0)--(.5,-3.5); \end{tikzpicture}

[unistudent]

Раз внешние силы отсутствуют, то

$$\dot{\varphi}=\frac{C_1}{J_1},$$

или

$$\dot{\varphi}=\frac{C_1}{I+mr_0^2+2mvtC+mv^2t^2},$$

где $I=mc^2-\frac{2}{3}ma^2, m, v, r_0^2, C=(r_0,e)$ - постоянные величины, а $C_1$ - произвольная постоянная. Если $v \ne 0$, то

$$d\varphi=\frac{C_1}{mv^2}\frac{dt}{T_1^2+(T+t)^2},$$

где

$$T=\frac{C}{v}, I_1=\frac{I+mr_0^2}{mv^2}, T_1^2=I_1-T^2.$$

И тогда

$$\varphi(t)=\frac{C_1}{I+m(r^2_0-C^2)}\arctg\left(\frac{t+T}{T_1}\right)+C_2.$$

[Oleg Zubelevich]

формулы не проверял, но арктангенс в ответе должен получаться. теперь остается понять, что значит предел решения при $t\to \infty$

-- Чт апр 02, 2015 10:08:24 --

(Оффтоп)

это была задачка из классического учебника Э.Уиттекер. Аналитическая динамика. Самое начало 20 века. Там не все задачки такие . В среднем они достаточно сложные, а попадаются и такие, что совершенно неочевидно как решать. Этот учебник в месте с учебником Аппеля очень хорошо показывают как с тех пор упал уровень преподавания механики инженерам. Уровень преподавания упал, а устройства усложнились. Интересный феномен.

[unistudent]

$$\lim_{t \to \infty}\varphi(t)=\frac{C_1}{I+m(r^2_0-C^2)}\frac{\pi}{2}+C_2.$$

Стержень асимптотически стремиться к остановке. Чем дальше жук от центра, тем больше момент инерции $J$ системы, т.е. $J \to \infty$. Ну а поскольку $J\dot{\varphi}=\operatorname{const}$, то $\dot{\varphi} \to 0$.

[mihiv]

Oleg Zubelevich в сообщении #999244 писал(а):

теперь остается понять, что значит предел решения при $t\to \infty$

Времена $t>\dfrac {2a}v$ нет смысла рассматривать, потому что жук уже уползет со стержня.

[Oleg Zubelevich]

а Вы считайте, что стержень бесконечно длинный, но вся его масса сосредоточена на отрезке, лежащем внутри окружености

[Geen]

unistudent
Вроде у меня получилось тоже самое.
Только пара советов - желательно избавляться от несущественных величин.
Например, очевидно, что от массы $m$ ничего не зависит - надо переопределить $C_1$ и убрать её из формул.
Тоже самое относиться к $r_0$ - её надо выбирать максимально удобно, например, обнулить $C$ (и выразить её через параметры задачи).
В общем, у меня получилось

$$\omega=\frac{R^2}{R^2+(vt)^2}\omega_0, \quad R^2=2c^2-\frac{5}{3}a^2$$

Если не напутал в геометрии - что-то немного напрягает, что в формуле нет ничего особенного при $c< a$

-- 02.04.2015, 11:49 --

Oleg Zubelevich в сообщении #999244 писал(а):

теперь остается понять, что значит предел решения при $t\to \infty$

Когда жук далеко от окружности, стержень практически не играет роли и жук просто движется по прямой. Единственно, что может быть интересно было бы выразить прицельный параметр.

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #999278 писал(а):

а Вы считайте, что стержень бесконечно длинный, но вся его масса сосредоточена на отрезке, лежащем внутри окружености

IMHO, больше смысла имеет не предел при $t\to +\infty$, а инкремент от $t=-\infty$ до $t=+\infty$. И, кстати, какой физический смысл констант $C,C_1$ входящих в решение (остальные уничтожаются поворотом и выбором начала отсчёта по времени)?