Распределение заряда на иголке.

[Geen]

amon в сообщении #995236 писал(а):

Для нечетного числа в середину можно, наверно, вставить почти что угодно

У меня получалось, тупым нахождением обратной матрицы для (силового) равновесия зарядов, что чётная и нечётная компоненты "живут" "независимо" (без фиксации концовых зарядов). А требование минимальности суммарной энергии приводит к их расхождению. Т.е., ф-ция (плотность заряда), вообще говоря, не получается непрерывной...
Может быть, я просто где-то тривиально ошибся. Очень не хватает времени перепроверить....

[Утундрий]

Geen в сообщении #995246 писал(а):

чётная и нечётная компоненты "живут" "независимо"

Так а что удивительного? Принцип суперпозиции же...

[amon]

Geen в сообщении #995246 писал(а):

(без фиксации концовых зарядов)

А так на равномерной сетке, по-моему, нельзя, поскольку тогда есть решение заряды на концах, и кирдык.

Утундрий в сообщении #995251 писал(а):

Так а что удивительного? Принцип суперпозиции же...

Так это, не поле ищем, а равновесие, а это вроде как нелинейная задача, и суперпозиции нет.

[sup]

amon в сообщении #995254 писал(а):

Так это, не поле ищем, а равновесие, а это вроде как нелинейная задача, и суперпозиции нет.

В данном случае задача линейная. Мы решаем систему линейных уравнений относительно неизвестных зарядов в узлах решетки. Нелинейная задача возникает, когда все заряды одинаковые, но не известно их расположение.

Geen в сообщении #995246 писал(а):

У меня получалось, тупым нахождением обратной матрицы для (силового) равновесия зарядов, что чётная и нечётная компоненты "живут" "независимо"

Не знаю что и сказать. Я, разумеется, руками эту систему не решал. "Нечетный" случай мне кажется вырожденным (в центр можно помещать "что угодно"). Поэтому я его не рассматривал.

[Geen]

sup в сообщении #995266 писал(а):

"Нечетный" случай мне кажется вырожденным (в центр можно помещать "что угодно"). Поэтому я его не рассматривал.

У меня получалось, что в " чётном" случае симметрию выгодно нарушить.
Попробую попозже подробнее написать.

[sup]

Я обещал доказать соотношение $q_k \sim \frac {1}{\sqrt {\ln (k+2)}}$. Не думаю, что всем так уж интересно продираться сквозь все эти технические выкладки. Но проще не получается.
В целом, все аналогично предыдущему. Главную роль играет следующее утверждение (частный случай леммы Гронуолла). Пусть $A, C_0 \geqslant 0$, $a > 1$ и при $x \geqslant 0$

$$ 2q(x)(A+\ln (a+x)) \leqslant C_0 + \int \limits_0^x \frac {q(t)}{a+t}dt$$

Тогда

$$q(x) \leqslant \frac {C_1}{\sqrt {A + \ln (a+x)}}$$

Для доказательства достаточно поделить обе части неравенства на $(a+x) (A+\ln (a+x))^{3/2}$ и проинтегрировать. Аналогично этому можно рассматривать и обратное неравенство. Рассуждения абсолютно аналогичные. Эти результаты обобщаются и на дискретный случай. Только интегрирование надо заменить на суммирование. Детали я опускаю.
Далее. Сначала доказывается неравенство, характеризующее "непрерывность" заряда $q_k$. Для $m > k$

$$q_k - q_m = O \left ( \frac {\ln m - \ln k}{ (1 + \ln (m - k ))} \right )$$

Полагая $l = m-k$ получаем

$$q_k - q_{k + l} = O \left ( \frac {l}{ k (1+ \ln l )} \right )$$

Доказательство я не привожу. Оно аналогично предыдущему. Рассматриваем соответствующий диагональный минор и "тупо" оцениваем.
Ну а теперь выберем некое $l \leqslant n/2$ и просуммируем уравнения $(1)$ при $1 \leqslant k \leqslant l$ (заряды правой половины иглы мы грубо оцениваем сверху как $1$)

$$\sum \limits_{k=1}^{l} \left (\sum \limits_{0 \leqslant j < k}\frac {q_j}{(k-j)^2} - \sum \limits_{k < j \leqslant n}\frac {q_j}{(j -k)^2} \right ) = O(1/n)$$

Сейчас мы займемся преобразованиями. Но для понимания дальнейшего я приведу неформальный, но более наглядный непрерывный аналог

$$C + \int \limits_1^l q(x)\left (\frac{1}{x} - \frac{1}{l-x} \right )dx \approx Cq(l) + \int \limits_{x > l} q(x) \left (\frac{1}{x-l} - \frac{1}{x} \right )dx$$

В нем уже просматриваются контуры равенства

$$C + \int \limits_0^l \frac{q(x)}{x}dx \approx 2q(l) \ln l$$

Надо лишь оценить все "лишнее". Ну а затем применим лемму Гронуолла. Всюду ниже можно мысленно заменять $S_j$ на $\frac 1j$ и сравнивать с тем наглядным выражением, что я написал выше.
Преобразуем

$$(S_1 - S_{l+1})q_0 + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_j(S_{j+1} - S_{l+1-j}) = (S_1 - S_{l+1})q_l + \sum \limits_{l < j \leqslant n}q_j(S_{j+1- l} - S_{j+1}) + O(1/n)$$

Сумму в правой части можно еще преобразовать так

$$ \sum \limits_{l < j \leqslant n}q_j(S_{j+1- l} - S_{j+1}) = \sum \limits_{i = 1}^l q_{l+i}S_{i+1} - \sum \limits_{l < j \leqslant n} S_{j+1}(q_j - q_{j+l}) $$

Эти неравенства можно использовать для оценок и сверху и снизу. Напомним, что $S_j \sim 1/j$. А значит их сумма ведет себя как логарифм плюс константа плюс что-то малое. Для оценки снизу отбросим справа отрицательную сумму и получим

$$(S_1 - S_{l+1})q_0 + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_j(S_{j+1} - S_{l+1-j}) \leqslant (S_1 - S_{l+1})q_l + \sum \limits_{i = 1}^l q_{l+i}S_{i+1} + O(1/n)$$

Пользуясь монотонностью $q_k$ правую часть можно еще усилить, заменив $q_{l+j}$ на $q_{l}$. В результате

$$O(1/n) + (S_1 - S_{l+1})q_0 + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{j+1} \leqslant q_l\sum \limits_{i = 1}^l S_i + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{l+1-j}$$

Применим к сумме в правой части неравенство непрерывности

$$\sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{l+1-j} = q_l\sum \limits_{1 \leqslant j < l} S_{1+j} + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} S_{1+j}(q_{l-j}-q_l) \leqslant q_l\sum \limits_{1 \leqslant j < l} S_{1+j} + \varepsilon + C(\varepsilon)O(\frac {1}{\ln l})$$

После чего, наконец-то, получаем

$$2q_l\sum \limits_{i = 1}^l S_i \geqslant (S_1 - \varepsilon)q_0 - C(\varepsilon)O(1/\ln l) + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{j+1} $$

Теперь осталось только выбрать $l \geqslant a$ так, чтобы константа в правой части стала положительной (иначе получим "неинтересное" неравенство). При этом $a$ не зависит от $n$. После чего применяем дискретный аналог леммы Гронуолла.
Оценка сверху получается аналогично.
Если не проврался, то имеем по порядку величины $q_k \sim \frac {1}{\sqrt {\ln (k+2)}}$.

[Geen]

Изложение моих стараний

Итак, возьмём отрезок длины $n$, разместим в точках от $0$ до $n$ (включительно) заряды и потребуем:
1) заряды неотрицательны;
2) для внутренних точек (от $1$ до $n-1$) сила, действующая на них со стороны остальных зарядов равна нулю;
3) суммарная потенциальная энергия минимальна

Для решения второго пункта составим систему линейных уравнений

$$\mathbf A \mathbf q=\mathbf b$$

(где $\mathbf A$ квадратная матрица, а $\mathbf q$ и $\mathbf b$ столбцы; все размера $n+1$) следующим образом:
Возьмём $\mathbf A$ так, что диагональ нулевая, нижний треугольник положительный, верхний отрицательный, модуль значений элементов есть обратный квадрат расстояния (Манхеттеновского) до диагонали ($a_{ij}=\mathrm{sign}(i-j)\frac{1}{(i-j)^2}$);
заменим первую строку на $(1,0,\dots,0)$, а последнюю на $(1,1,\dots,1)$.
Столбец $\mathbf b$ нулевой за исключением первого элемента равного $p$ (неопределённый пока параметр) и последнего, равного 1 - суммарный заряд отрезка.
Найдём матрицу $\mathbf W$ обратную к $\mathbf A$. Решением будет сумма первого столбца этой матрицы с коэффициентом $p$ и последнего $\mathbf q(p)=\mathbf w_0 p+\mathbf w_n$.

Оба столбца знакопеременные и противоположны друг другу (по знаку). Поэтому, учёт первого пункта условия даёт ограничение на возможные значения $p$.

Таким образом получено однопараметрическое семейство решений с неотрицательными зарядами и равновесием внутренних.
В этом семействе надо выбрать какое-то решение с минимальной энергией.
В общем виде, эта энергия представима формулой

$$\mathbf q(p)^T(\mathbf R+K\mathbf E)\mathbf q(p)$$

, где матрица $\mathbf R$ представляет вклад взаимодействия зарядов (устроена аналогично матрице $\mathbf A$, только вся неотрицательна, а вместо квадрата стоит модуль $r_{ij}=\frac{\mathrm{sign}(i-j)}{i-j}$ (диагональ нулевая)), $\mathbf E$ - единичная матрица, $K$ - некий параметр.
При $K$ равном нулю мы полностью пренебрегаем самодействием, при бесконечности - взаимодействием зарядов.
В любом случае имеем полином второй степени относительно $p$.
В отсутствие самодействия имеем следующее выражение для энергии: $\mathbf w_0^T\mathbf R\mathbf w_0 p^2+2\mathbf w_0^T\mathbf R\mathbf w_np$ ($\mathbf w_n^T\mathbf R\mathbf w_n=0$). В этом выражении первое слагаемое отрицательно! Это означает, что $p$ надо выбирать на краю возможного диапазона (максимальное значение).
При пренебрежении взаимодействием просто имеем сумму квадратов зарядов (очевидно, что минимум достигается при значении $p$ лежащим внутри допустимого диапазона). Что может быть интересно, при чётном числе зарядов (нечётном $n$) экстремумы обоих выражений совпадают и соответствуют равенству зарядов на концах.

"Красивая" гладкая кривая распределения получается только при чётном числе зарядов и пренебрежении взаимодействием.

Если вдруг надо, код для Matlab/Scilab могу приложить.

[Geen]

Небольшое добавление "о концах".
Рассматривая случай чётного числа зарядов с самодействием, можно определить конец отрезка, например, как расстояние, на котором заряд станет меньше среднего. Вроде бы получается, что эта точка вообще не зависит от $n$ и отстоит примерно на 0.1418 длины отрезка от края, а суммарный заряд этого конца при больших $n$ составляет 0.155....