Итак, вот что получилось.
Пусть на отрезке
![$[0,2n+1]$ $[0,2n+1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/0/740f84cb569fb5a73754ceedacda278382.png)
в узлах равномерной решетки в равновесии находится

точечных заряда. Заряды на краю равны

. Выбор такого отрезка и заряда на краю позволяет несколько упростить уравнения и не умаляет общности. Будем искать симметричное решение данной задачи. Заряд в точке

будем обозначать

. Тогда

.
Поскольку система находится в равновесии, в каждом внутреннем узле сумма сил равна 0. Отсюда для

получаем уравнение

С помощью этих уравнений мы будем получать оценки сверху для

. Отметим, что в силу симметрии мы выписываем лишь

уравнений, а не

.
Для оценок снизу удобнее преобразовать данное уравнение. Положим

Так, например,

. При

можно использовать весьма точное приближение

. В любом случае

. С помощью введенных величин легко выразить обратные квадраты

.
Далее, обозначим

. Тогда подставляя эти выражения в уравнение получим (это ничто иное, как преобразование Абеля)

Во всех этих индексах легко запутаться, поэтому полезно рассмотреть простой пример. Для

имеем систему

В этой системе уже все коэффициенты положительные.
Далее будем считать, что все
. При этом условии, уже можно получать разнообразные оценки снизу. Для этого достаточно отбрасывать часть слагаемых в системе. Простейшая такая оценка получается если оставить только диагональные члены. Суммируя нижние строки, получим неравенство

Или, при


Это весьма грубая оценка. Более точную мы получим, если рассмотрим нижний диагональный минор размера

. Отбрасывая все остальные слагаемые и учитывая поведение

, получим

Из предыдущей оценки при

имеем

Отсюда, с помощью дискретного аналога леммы Гронуолла получаем оценку

Из этой оценки вытекает, что на большей части отрезка отклонение величины заряда от центрального

не превышает

. Однако какого порядка заряд

мы пока сказать не можем.
Теперь выберем некоторое

и оставим в матрице только первые

столбиков. После этого все сложим. Легко видеть, что сумма элементов в

-м столбике сначала растет с ростом

, а потом начинает убывать. Мы выбираем максимальное

так, чтобы сумма элементов в каждом столбике была не меньше чем в первом. Обозначим эту сумму -

. Сумма элементов в столбце "правой части" очевидно равна

. Следовательно,

Откуда

При этом, как легко видеть,

. Сейчас мы покажем, что

можно выбрать так, чтобы

. Тогда соединяя полученное неравенство с

, получим искомую оценку снизу

Сумма элементов в столбике с номером

отличается от суммы элементов первого столбика на величину

Значит нам надо, чтобы

А это неравенство будет выполнено, если для

.
Таким образом, получена оценка снизу для центрального заряда. Эта оценка уже гарантирует, что край и центр отличаются множителем не более логарифма. Но каков характер спада заряда от края к центру? Вычисления
вроде бы показывают, что спад происходит довольно быстро. В следующий раз я покажу, что эта оценка, скорее всего, слишком грубая. Есть основания считать, что на самом деле заряд в центре отличается от края на множитель порядка

. Вычислительный эксперимент показывает, что в большей части отрезка близко к константе выражение

. Один из таких результатов я привожу на картинке.