Диск Эйнштейна

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Гиперповерхность постоянного времени задаётся уравнением $e^{\bf (0)} = 0$

Не задаётся. Вместо этой глупости предъявите нормальное определение подмножества точек: Чтобы я мог проверить, принадлежит ему конкретная точка или нет.

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Вот Вам уравнение гиперповерхности постоянного времени

$$\frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0$$

запишите его решение в виде $f(x) = 0$. Вот прикол-то будет.

У этого уравнения просто нет решений. Вот и весь прикол.

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Всё что я мог сосчитать по этой задачке я уже написал в сообщении post991044.html#p991044. И, кстати, если уж Вам нужны показания конкретных часов, то не забывайте такой момент. Если несколько часов были синхронизированы друг с другом в одной системе отсчёта, то это не означает, что они так и останутся синхронизироваными когда система отсчёта поменяется. То есть, с моей стороны, более правильно было бы утверждать, что зелёные линии показывают как должны быть синхронизированы часы для того чтобы показывать одно и то же время во вращающейся системе отсчёта.

Да мне плевать что Вы думаете про то, как часы Вам "должны" быть синхронизированы. Я просил Вас ответить на простой вопрос: Раз уж Вы берётесь рассчитать длину окружности, то определите в какой момент. И обозначьте этот момент конкретным значением показаний конкретных часов.

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Вы спороли чушь про разную длину, а мне ещё и выбирать?

Говоря такое, Вы демонстрируете фатальное отсутствие мыслительного процесса. Вы ведь проводите зелёную линию ортогонально красной? Вот и попробуйте провести её как вправо на один оборот (по направлению вращения), так и влево на один оборот (против направления вращения). И убедитесь, что длины -- разные.

[schekn]

epros
А как Вы понимаете переход в другую СО в данном контексте вращающегося диска? Вас все устраивает в параграфе 89 Ландау-Лифшица ?

[epros]

schekn в сообщении #991868 писал(а):

epros
А как Вы понимаете переход в другую СО в данном контексте вращающегося диска? Вас все устраивает в параграфе 89 Ландау-Лифшица ?

Я понимаю под СО нечто, чуть меньшее, чем СК. Касательно параграфа 89: Я не вижу, с какой стати меня там должно что-то не устраивать.

[schekn]

epros в сообщении #991891 писал(а):

Я понимаю под СО нечто, чуть меньшее, чем СК

А что конкретно? Система координат фактически нумерация точек в данном случае пространства Минковского. При этом вращается диск или покоится относительно ИСО не имеет значение.
SergeyGubanov понимает под этим другое.

[epros]

schekn в сообщении #991932 писал(а):

А что конкретно?

Тело отсчёта (его части могут определяться множествами точек с заданными значениями пространственных координат или иначе) + "моменты времени" (могут определяться гиперповерхностями $t = \operatorname{const}$ или иначе).
Тетрада тоже может употребляться для определённых нужд. Но голономные базисы соответствующей СК обычно лучше подходят.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #991644 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Гиперповерхность постоянного времени задаётся уравнением $e^{\bf (0)} = 0$

Не задаётся. Вместо этой глупости предъявите нормальное определение подмножества точек: Чтобы я мог проверить, принадлежит ему конкретная точка или нет.

Задаётся. И это не глупость, такова жизнь, хотите Вы этого или нет. Три касательных вектора гиперповерхности одновременности ортогональны векторному полю $e^{\mu}_{\bf (0)}$, другими словами они аннулируют дифференциальную форму $e^{\bf (0)}$, другими словами дифференциальная форма $e^{\bf (0)}$ ограниченная на гиперповерхность одновременности равна нулю.

epros в сообщении #991644 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Вот Вам уравнение гиперповерхности постоянного времени

$$\frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0$$

запишите его решение в виде $f(x) = 0$. Вот прикол-то будет.

У этого уравнения просто нет решений. Вот и весь прикол.

Это уравнение имеет целый вагон решений на одномерных подпространствах $dx^{\mu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell} d\ell$. Двумерным и трёхмерным подпространствам в данном случае "не повезло".

epros в сообщении #991644 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Всё что я мог сосчитать по этой задачке я уже написал в сообщении post991044.html#p991044. И, кстати, если уж Вам нужны показания конкретных часов, то не забывайте такой момент. Если несколько часов были синхронизированы друг с другом в одной системе отсчёта, то это не означает, что они так и останутся синхронизироваными когда система отсчёта поменяется. То есть, с моей стороны, более правильно было бы утверждать, что зелёные линии показывают как должны быть синхронизированы часы для того чтобы показывать одно и то же время во вращающейся системе отсчёта.

Да мне плевать что Вы думаете про то, как часы Вам "должны" быть синхронизированы. Я просил Вас ответить на простой вопрос: Раз уж Вы берётесь рассчитать длину окружности, то определите в какой момент. И обозначьте этот момент конкретным значением показаний конкретных часов.

Поскольку функции $T(x)$ в данном случае не существует, а слова "какой момент" относятся как раз к значению этой функции $T(x) = T_{\text{, то Ваша просьба просто напросто не имеет смысла. Показания же конкретных часов зависят от человеческого фактора, а именно от того проводилась ли (и как именно) процедура синхронизации.

epros в сообщении #991644 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991590 писал(а):

Вы спороли чушь про разную длину, а мне ещё и выбирать?

Говоря такое, Вы демонстрируете фатальное отсутствие мыслительного процесса. Вы ведь проводите зелёную линию ортогонально красной? Вот и попробуйте провести её как вправо на один оборот (по направлению вращения), так и влево на один оборот (против направления вращения). И убедитесь, что длины -- разные.

А в прошлый раз Вы говорили про длину измеренную вдоль или против вращения, то есть чушь. Сейчас Вы говорите о расстоянии между другой парой мировых линий.

Если карусель вращается ускоренно:

то расстояние между парой мировых линий расположенных левее (карусель вращается медленнее) будет меньше чем расстояние между парой мировых линий расположенных правее (карусель стала вращаться быстрее).

-- 18.03.2015, 13:57 --

epros в сообщении #991964 писал(а):

schekn в сообщении #991932 писал(а):

А что конкретно?

Тело отсчёта (его части могут определяться множествами точек с заданными значениями пространственных координат или иначе) + "моменты времени" (могут определяться гиперповерхностями $t = \operatorname{const}$ или иначе).

Это не "конкретно". Для "конкретно" нужно написать формулы.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #991971 писал(а):

Задаётся. И это не глупость, такова жизнь, хотите Вы этого или нет. Три касательных вектора гиперповерхности одновременности ортогональны векторному полю $e^{\mu}_{\bf (0)}$, другими словами они аннулируют дифференциальную форму $e^{\bf (0)}$, другими словами дифференциальная форма $e^{\bf (0)}$ ограниченная на гиперповерхность одновременности равна нулю.

Поскольку ответа на мою просьбу предъявить способ, как я могу проверить принадлежность точки к гиперповерхности, я так и не получил, а продолжается писание не относящейся к делу бессмыслицы, мне остаётся только сделать вывод, что эта тема созрела для пургатория.

SergeyGubanov в сообщении #991971 писал(а):

Это уравнение имеет целый вагон решений на одномерных подпространствах $dx^{\mu} = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell} d\ell$. Двумерным и трёхмерным подпространствам в данном случае "не повезло".

Гиперповерхность одновременности трёхмерна. Даже если выкинуть измерение вдоль оси вращения, одновременно измерить радиус и длину окружности менее чем на двумерной поверхности не удастся. А Вы пока что пытаетесь предъявить только одномерие (зелёные линии), да и то не без проблем.

SergeyGubanov в сообщении #991971 писал(а):

Поскольку функции $T(x)$ в данном случае не существует, а слова "какой момент" относятся как раз к значению этой функции $T(x) = T_{\text{, то Ваша просьба просто напросто не имеет смысла.

Не имеет смысл само Ваше обещание рассчитать длину окружности, поскольку неизвестно в какой момент произведено измерение.

SergeyGubanov в сообщении #991971 писал(а):

А в прошлый раз Вы говорили про длину измеренную вдоль или против вращения, то есть чушь. Сейчас Вы говорите о расстоянии между другой парой мировых линий.

В прошлый раз я говорил про то же. А вот Вы сейчас несёте удивительную чушь: Нет никаких "других" красных мировых линий, а есть (на Вашей картинке) повторяющиеся через оборот карусели копии одной и той же красной мировой линии.

SergeyGubanov в сообщении #991971 писал(а):

расстояние между парой мировых линий расположенных левее (карусель вращается медленнее) будет меньше чем расстояние между парой мировых линий расположенных правее (карусель стала вращаться быстрее).

Ой, Вы наконец-то поняли, что при раскрутке карусели длина окружности со временем увеличивается. Поэтому я и задал эту задачу: Чтобы Вы внятно объяснили, к какому моменту относится какая длина. Вам осталось только понять, что там копии одной мировой линии единственных рассматриваемых часов.

SergeyGubanov в сообщении #991971 писал(а):

Это не "конкретно". Для "конкретно" нужно написать формулы.

У кого мыслительный процесс работает, тот эти слова без труда дополнит необходимыми формулами. А тем, кто жонглирует формулами, не фига не понимая к чему они относятся, я вряд ли смогу помочь.

Кстати, все нужные формулы есть в упомянутом выше параграфе 89 ЛЛ. Правда там речь про равномерно вращающуюся СО, но разумному человеку не трудно подставить и переменное значение $\Omega$. И, представляете, решение моей задачи моментально получится.

[schekn]

epros в сообщении #992098 писал(а):

Кстати, все нужные формулы есть в упомянутом выше параграфе 89 ЛЛ. Правда там речь про равномерно вращающуюся ..

Хотелось бы до того, как тема уйдет куда-нибудь в недоступное место, получить от Вас пояснения. Значит переход в другую СО означает видимо, переход, когда пространственные координаты зависят от времени ( в данном случае координата $\phi$ от $t$) . Для этого нужно, чтобы в метрике была выделена времени подобная часть и пространственно подобная. Правильно?

Теперь по поводу ЛЛ-2 . У них написано , что пространственная часть в равномерно вращающейся СО есть:

$$dl^2=\frac{r^2}{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}d\phi^2+dr^2+dz^2\eqno{(5)}$$

Об этом пишет и Someone здесь post982171.html#p982171 .
Но если есть пространственная часть , значит по логике должна быть и времени подобная. Но как выясняется не существует в общем виде такой функции $t'$ которая бы существовала на всем пространстве где расположен диск. Ее можно найти только в частном случае, когда $r=const$


Как я понял, SergeyGubanov предлагает другое определение перехода в равномерно вращающуюся СО. У него ортонормированный репер связан с
каждой точкой диска. Вначале диск покоился, затем мгновенно (идеальный случай) начал вращаться с постоянной угловой скоростью. Совокупность всех новых реперов на диске и есть другая СО.
При этом ему по фигу , какую координатную систему вы выбираете в пространстве Минковского.
Поправьте , если что не так понял.

[epros]

schekn в сообщении #992338 писал(а):

Но как выясняется не существует в общем виде такой функции $t'$ которая бы существовала на всем пространстве где расположен диск.

Что бы это значило? Может быть Вы забыли сказать про какое-нибудь условие на эту $t'$?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #992338 писал(а):

Теперь по поводу ЛЛ-2 . У них написано , что пространственная часть в равномерно вращающейся СО есть:

$$dl^2=\frac{r^2}{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}d\phi^2+dr^2+dz^2\eqno{(5)}$$

Об этом пишет и Someone здесь post982171.html#p982171.
Но если есть пространственная часть , значит по логике должна быть и времени подобная. Но как выясняется не существует в общем виде такой функции $t'$ которая бы существовала на всем пространстве где расположен диск. Ее можно найти только в частном случае, когда $r=\operatorname{const}$

Поэтому записывать трёхмерную метрику надо в виде системы дифференциальных связей подчёркивая то, что на трёхмерной гиперповерхности одновременности четыре дифференциала $dt$, $dr$, $d\phi$, $dz$ не являются независимыми друг от друга:

$$\begin{cases}\sqrt{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}dt-\frac{\Omega r^2}{c^2\sqrt{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}}d\phi\right = 0, \\ dl^2=\frac{r^2}{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}d\phi^2+dr^2+dz^2.\end{cases}$$

Эта система дифференциальных связей имеет одномерные решения $dt = \frac{\partial t}{\partial \ell} d \ell$, $dr = \frac{\partial r}{\partial \ell} d \ell$, $d\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \ell} d \ell$, $dz = \frac{\partial z}{\partial \ell} d \ell$.

А так же, благодаря тому что от $z$ ничего не зависит, эта система дифференциальных связей имеет двумерные решения $dt = \frac{\partial t}{\partial \ell} d \ell$, $dr = \frac{\partial r}{\partial \ell} d \ell$, $d\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \ell} d \ell$, $z$-любое, при этом бесконечно малый элемент двумерной поверхности $d\ell \wedge dz$.

Трёхмерных решений эта система дифференциальных связей не имеет, другими словами трёхмерная гиперповерхность одновременности является неголономной, или как ещё говорят не вполне интегрируемой. Так как работать с неголономными трёхмерными гиперповерхностями в терминах трёхмерных систем координат невозможно (по причине их несуществования), то остаётся работать с ними лишь с помощью касательных векторов (тетрады $e_{(a)}^{\mu}$) так, как я описал в своих предыдущих сообщениях. В каждой точке гиперповерхность одновременности (как голономная, так и неголономная) имеет три ортонормированных касательных вектора $e_{\bf (1)}^{\mu}$, $e_{\bf (2)}^{\mu}$ и $e_{\bf (3)}^{\mu}$. В неголономном случае только эта тройка векторов и остаётся.

[schekn]

epros в сообщении #992356 писал(а):

Что бы это значило? Может быть Вы забыли сказать про какое-нибудь условие на эту $t'$?

А какое условие на этой t' ? И Вы не ответили на другие вопросы.
Как можно назвать (5) пространственной частью ( то есть подпространством Минковского) , если нет времени подобной?

[epros]

schekn в сообщении #992380 писал(а):

А какое условие на этой t' ?

Это я Вас спрашиваю. Вы сказали, что "не существует $t'$". Наверное забыли добавить: "такой, что ..." (перечисление условий). Каких? Иначе Ваше утверждение неверно.

schekn в сообщении #992380 писал(а):

И Вы не ответили на другие вопросы.
Как можно назвать (5) пространственной частью ( то есть подпространством Минковского) , если нет времени подобной?

На какие вопросы я должен ответить? Формула для метрики на гиперповерхности, которая определяет расстояния в заданный момент, выписана правильно. Что ещё-то Вам нужно?

[schekn]

epros в сообщении #992387 писал(а):

Вы сказали, что "не существует $t'$". Наверное забыли добавить: "такой, что ..." (перечисление условий). Каких? Иначе Ваше утверждение неверно.

Одно условие я оговорил. А что Вы имеете в виду , я не понимаю.

[Someone]

schekn в сообщении #992338 писал(а):

Теперь по поводу ЛЛ-2 . У них написано , что пространственная часть в равномерно вращающейся СО есть:

$$dl^2=\frac{r^2}{1-\frac{\Omega^2r^2}{c^2}}d\phi^2+dr^2+dz^2\eqno{(5)}$$

Об этом пишет и Someone здесь post982171.html#p982171 .
Но если есть пространственная часть , значит по логике должна быть и времени подобная.

Обратите внимание, что ни у меня, ни у Ландау с Лифшицем никакая пространственноподобная гиперповерхность не упоминается. А метрика эта соответствует процедуре измерения, описанной в ЛЛ2.
И, разумеется, времениподобная часть метрики тоже есть, и она у меня явно выписана. "Функция $t'$", соответствующая этой части метрики, во всём пространстве-времени не существует. Она существует только на цилиндре $r=\mathrm{Const}$, и то не на всём, а только если его разрезать "вдоль" поверхности $\phi=\mathrm{Const}$.

[epros]

schekn в сообщении #992405 писал(а):

Одно условие я оговорил.

Скажите прямо какое. В Вашем посте я этого не вижу.

-- Чт мар 19, 2015 15:34:53 --

Someone в сообщении #992409 писал(а):

Обратите внимание, что ни у меня, ни у Ландау с Лифшицем никакая пространственноподобная гиперповерхность не упоминается. А метрика эта соответствует процедуре измерения, описанной в ЛЛ2.

Добавлю: Это стало возможным потому, что при равномерном вращении СО результат не зависит от времени измерения, т.е. определять когда именно выполнено измерение -- не нужно. Но при ускоренном вращении СО определение момента измерения (т.е. той гиперповерхности, к которой оно относится) необходимо.