Распределение заряда на иголке.

[Munin]

sup в сообщении #990493 писал(а):

Единственное, что еще возможно, это скопление заряда на концах иглы, что приведет к возникновению дельта-функций.

Вот это место мне кажется шатким. Разных обобщённых функций очень много, и дельта-функции среди них занимают довольно скромное место. Так что этот момент надо или тщательно проделать, или я не знаю...

drug39 в сообщении #990511 писал(а):

Но чтобы сделать такой вывод, думаю, нужно обладать интуицией выше среднего.

Третьекурсника хватит. Вот чтобы сделать вывод, что ничего дельта-видного нет - тут нужна интуиция посильнее.

drug39 в сообщении #990511 писал(а):

В целом, продолжаю наблюдать попытки нестрогих доказательств при упорном нежелании разбираться с краевыми условиями.

В целом, сойдя с дистанции и встав на обочину, вы не в том положении, чтобы критиковать тех, кто на дорожке. Я вот не критикую. Пытаюсь только уловить то, что сказано.

[drug39]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #990535 писал(а):

В целом, сойдя с дистанции и встав на обочину, вы не в том положении, чтобы критиковать тех, кто на дорожке. Я вот не критикую. Пытаюсь только уловить то, что сказано.

Я в офтопе критикнул. И не сошёл я с дистанции, просто разговор не идёт. Вот Вы, например, мне написали "даже не вчитывался", а Вам разобраться, раз плюнуть...

[Munin]

(Оффтоп)

drug39 в сообщении #990553 писал(а):

а Вам разобраться, раз плюнуть...

Не понял, почему?

[drug39]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #990556 писал(а):

Не понял, почему?

Высокий матаппарат не перевешивает здоровую интуицию

[sup]

Munin в сообщении #990535 писал(а):

Вот это место мне кажется шатким. Разных обобщённых функций очень много, и дельта-функции среди них занимают довольно скромное место. Так что этот момент надо или тщательно проделать, или я не знаю...

Ну, в данном случае, самое "страшное", что тут может получиться, это какая-то мера. А с учетом того, что внутри отрезка эта мера "стандартная", то что еще там может быть? Только дельта-функции. Можно рассуждать еще и так. Вот фиксируем некую часть иголки возле конца и смотрим, сколько там заряда. Если при уменьшении куска заряд стремится к 0, то все, никаких дельта-функций. А если стремится к некому пределу - то вот и дельта-функция. В данном случае никакой экзотики не возникает именно потому, что заряды все одного знака, никаких осцилляций нет, заряд монотонно убывает при уменьшении куска. Изначально не очевидно, что там не будет скоплений. А вдруг для каких-нибудь гантель заряд там будет "застревать"? Может кому-нибудь что-нибудь и очевидно, но не мне. Конечно, лучше иметь строгий вывод. В принципе, основную "колею" такого вывода я уже продемонстрировал. Согласно тем выкладкам можно даже утверждать несколько больше чем отсутствие заряда на концах. А именно, оценку отклонения плотности заряда от константы при $\varepsilon \to 0$, сформулированную ранее Red_Herring.

(Оффтоп)

По сути эта оценка говорит о том, что локально, заряд распределен так же как и на бесконечном цилиндре данного радиуса. Это, разумеется, совсем не удивительно. Но как следствие получаем и отсутствие заряда на концах иглы.
Не знаю, можно ли рассуждать следующим образом. Если бы заряды на концах все же скапливались, то они бы создавали ненулевое касательное поле на игле и для его компенсации надо было бы создавать неравномерный заряд иглы. Но я не уверен в правильности такого простого рассуждения.

[Munin]

(Оффтоп)

drug39 в сообщении #990559 писал(а):

Высокий матаппарат не перевешивает здоровую интуицию

Моя интуиция говорит, что перевешивает :-)

По крайней мере, когда они согласовывались, всё окей, а когда расходились во мнениях, то случаев, когда интуиция ошибается, было много, а случаев, когда матаппарат ошибается - никогда. При условии, конечно, что его применяют правильно - а в руках специалиста это всегда так.

sup в сообщении #990562 писал(а):

Если при уменьшении куска заряд стремится к 0, то все, никаких дельта-функций. А если стремится к некому пределу - то вот и дельта-функция.

Не знаю, я тоже не избавился от всяких ассоциаций с "$\delta$-подобными последовательностями", и недоизученные мной "логарифмические расходимости" меня пугают. То есть, ваши рассуждения убедительны - но для "интуитивной", а не "строгой" части меня :-) А "интуитивная часть" обжигалась в своё время на молоке, и теперь на воду дует.

sup в сообщении #990562 писал(а):

Не знаю, можно ли рассуждать следующим образом. Если бы заряды на концах все же скапливались, то они бы создавали ненулевое касательное поле на игле и для его компенсации надо было бы создавать неравномерный заряд иглы. Но я не уверен в правильности такого простого рассуждения.

Это выглядит крайне убедительно. Пожалуй, услышь я такое в самом начале истории, я бы безоговорочно согласился, встал под знамёна, и сам бы всех переубеждал. Сейчас - тоже, может быть, соглашусь, но мне только надо к этой мысли привыкнуть.

[Padawan]

Я тут прикинул... Если потребовать, чтобы силовые линии электрического поля были перпендикулярны иголке, то отсюда получается равномерность распределения заряда. По крайней мере во внутренних точках. Само поле (и его потенциал) стремятся к бесконечности, но угол, который вектор $\mathbf E$ составляет с направлением иглы вполне считается.

По крайней мере касательная составляющая вектора $\mathbf{E}$ на расстоянии $h$ от иголки получилась равна $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{q'(x)}{\sqrt{x^2+h^2}}dx$, где $q(x)$ -- плотность заряда. Будем считать, что это финитная функция

[chislo_avogadro]

sup в сообщении #990562 писал(а):

Если бы заряды на концах все же скапливались, то они бы создавали ненулевое касательное поле на игле и для его компенсации надо было бы создавать неравномерный заряд иглы.

Может я ошибаюсь, но ведь это тавтология (скопление зарядов === неравномерный заряд)? А вообще есть точное уравнение, описывающее равновесие элементов (в данном случае единичных зарядов) на линейке, взаимодействующих по Кулону, оно было дано ТС в начале. И \rho \left( x \right) = \operatorname{const} его решением не является. Что же, это теперь отменяется? Кроме того, везде говорят об "ушах кролика"...

[sup]

chislo_avogadro в сообщении #990571 писал(а):

Может я ошибаюсь, но ведь это тавтология

Вы правы. Но это я так неудачно выразился про "разные" неравномерности. Ранее сообщались частные результаты, что когда эллипсоид (цилиндр) стягивается к отрезку, предельное распределение зарядов - равномерное на отрезке. Сейчас мы рассматриваем более общую ситуацию. И, судя по всему, внутри отрезка распределение так и будет равномерным. Остается лишь вопрос, а не будет ли скопление заряда на концах иглы, при том, что внутри распределение равномерное. В этом случае "глобально" равномерного распределения нет, но локально (строго внутри иглы) - есть.

chislo_avogadro в сообщении #990571 писал(а):

А вообще есть точное уравнение, описывающее равновесие элементов (в данном случае единичных зарядов) на линейке, взаимодействующих по Кулону, оно было дано ТС в начале

Для истинной одномерной иголки никакого "непрерывного" уравнения представлено не было. Была попытка написать некий гиперсингулярный интеграл. Но такой подход был признан (и таковым и является) тупиковым.
На первый взгляд кажется странным, что предельное распределение (что с дельтами на концах что без них) не является даже приближенным решением что дискретной задачи что того гиперсингулярного интеграла. Объяснение этому, на мой взгляд, простое.
Когда на иголке находится большое количество точечных зарядов, начинает разрушаться непрерывная зависимость от их местоположения. Даже наличие "большого" внешнего поля можно скомпенсировать едва заметным смещением зарядов, т.к. расстояния между соседями становятся крайне малыми. Величины зарядов убывают линейно (от кол-ва зарядов), а силы ведут себя квадратично. А раз так, то предел может оказаться каким угодно. В частности поэтому я и не уверен, что наличие касательного поля от крайних зарядов может вызвать необходимость неоднородности заряда внутри. Она, конечно, будет, но кто знает, может быть слишком мала, чтобы выжить при предельном переходе.

-- Вс мар 15, 2015 16:13:58 --

chislo_avogadro в сообщении #990571 писал(а):

Кроме того, везде говорят об "ушах кролика"

Это про то, что на краях все же есть заметная неоднородность?
Да, это так. Но ее недостаточно для того, чтобы в пределе возникла дельта-функция. Ну, например, плотность дается формулой

$$ \rho(x) = 1 + \ln \frac{x}{\varepsilon + x}$$

Мы видим, что в нуле формируется особенность, но интеграл от нее мал и стремится к 0.

[Red_Herring]

К вопросу однородности. Когда мы рассматриваем семейство сжимающихся тел то получаем семейство $\rho\_\varepsilon$ плотностей. Тогда мы можем считать средние плотности (по отрезку длины $\delta$) и при этом средние плотности по достаточно длинным отрезкам (в данном случае $\ln \delta = o(\ln \varepsilon$) могут стремиться к пределу, в то время как средние плотности по некоторым коротким отрезкам могут даже уходить в бесконечность (этого нет в данном случае).

Тут шкала важна!

[chislo_avogadro]

Предложу другую модель стягивания. Эллипсоид режется плоскостями с расстоянием $\varepsilon$. Сила взаимодействия между соседними блинами (кольцами) зависит от их радиуса примерно как $\frac1{r\varepsilon}$. Далее блины стягиваем в одинаковые шарики диаметром в толщину блина, которые уже взаимодействуют сильнее, по закону $\frac1{\varepsilon^2}$. Значит, равновесие зарядов будет нарушено и должно произойти их перемещение. Снова "уши".

[vlapay]

sup в сообщении #990589 писал(а):

Для истинной одномерной иголки никакого "непрерывного" уравнения представлено не было. Была попытка написать некий гиперсингулярный интеграл. Но такой подход был признан (и таковым и является) тупиковым.
На первый взгляд кажется странным, что предельное распределение (что с дельтами на концах что без них) не является даже приближенным решением что дискретной задачи что того гиперсингулярного интеграла. Объяснение этому, на мой взгляд, простое.
Когда на иголке находится большое количество точечных зарядов, начинает разрушаться непрерывная зависимость от их местоположения. Даже наличие "большого" внешнего поля можно скомпенсировать едва заметным смещением зарядов, т.к. расстояния между соседями становятся крайне малыми. Величины зарядов убывают линейно (от кол-ва зарядов), а силы ведут себя квадратично. А раз так, то предел может оказаться каким угодно. В частности поэтому я и не уверен, что наличие касательного поля от крайних зарядов может вызвать необходимость неоднородности заряда внутри. Она, конечно, будет, но кто знает, может быть слишком мала, чтобы выжить при предельном переходе.

Странно, что такое вообще возможно. Если такая ситуация будет не только в одномерном, но и в трёхмерном примере, то получается, что можно доказать, что классическая теория с непрерывными зарядами внутренне противоречива, а однозначное решение возможно только в случае дискретных зарядов?

[drug39]

sup в сообщении #990131 писал(а):

Ну вот, собственно, и ответ на все вопросы. Примерно то, о чем я и говорил. Речь идет не о каких-то отвлеченных материях типа абстрактные сингулярные интегралы и прочее, а о предельных переходах по форме иглы. Вот и получается. Для решения задачи мы привлекаем какие-то гиперсингулярные интегралы. А их смысл - какие-то пределы по, скажем, эллипсоидам. Потом, применив такую регуляризацию, мы обнаружим удивительное сходство результатов с эллипсоидами. Ясно, что удивляться этому факту уже не приходится.

То, что иголка плохо моделируется эллипсоидом, - хорошо известный экспериментальный факт в радиофизике, где "иголку" обычно называют стержнем или штырём. Так, частоты резонансов стержня (на слабой связи) очень зависят от его конкретной формы. Например, чтобы понизить частоту резонанса стержня, не удлиняя его, можно немного расплющить его концы. Чтобы повысить частоту, не укорачивая стержень, можно заострить концы. Очень незначительными манипуляциями можно заметно регулировать частоту. Ещё можно понизить частоту, не изменяя концов, за счет уменьшения диаметра в области середины стержня. Обратите внимание, объём уменьшаем, а частота тоже уменьшается (до некоторого предела, конечно). Все эти факты говорят о том, что функция линейной плотности заряда стержня может существенно отличаться от этой функции для эллипсоида. Я там просто упрощённый вариант задачи привёл, когда ответ точно совпадает с эллипсоидом.

sup в сообщении #990562 писал(а):

Если бы заряды на концах все же скапливались, то они бы создавали ненулевое касательное поле на игле и для его компенсации надо было бы создавать неравномерный заряд иглы.

Ну так и создавайте, на фоне константы неравномерная часть заряда и незаметна, поскольку она $\to0$. Вблизи концов только кое-какие сложности...

[sup]

vlapay в сообщении #990823 писал(а):

Странно, что такое вообще возможно. Если такая ситуация будет не только в одномерном, но и в трёхмерном примере, то получается, что можно доказать, что классическая теория с непрерывными зарядами внутренне противоречива, а однозначное решение возможно только в случае дискретных зарядов?

Ну почему так пессимистично. Классическая теория ведь рассматривает, скажем диполи. При этом интересуются полем на "большом" расстоянии от диполя, а не внутри диполя. Внутри ничего хорошего не получится. А на больших расстояниях непрерывная зависимость имеет место. Применительно к нашему случаю. Поле прямо таки на самой поверхности тела просто обязано быть разрывным. Разрывы возникают в тех точках, где находятся заряды. Но, как я понимаю, это тот самый случай, когда надо тщательно рассматривать область применимости той или иной теории. Скажем, рассматривая уравнение Лапласа для потенциала, я применяю непрерывную теорию, которая, очевидно, будет работать лишь на расстояниях много больших характерного расстояния между зарядами. Точнее, уравнение-то можно рассматривать хоть где. Но вот объявить поверхность тела эквипотенциальной "просто так" нельзя. Т.е. под вопросом краевое условие. Если мне так уж важно досконально определить места расположения точечных зарядов на поверхности тела, то, разумеется, эта теория не пригодна. С другой стороны. Насколько мне известно, даже размещение заряженных точек на сфере представляет собой весьма сложную задачу. Что уж говорить об общем случае. А вообще, этот вопрос конечно же нуждается в исследовании. При каких условиях большое количество маленьких шариков на стягивающемся теле можно приближать непрерывной моделью.

(Оффтоп)

" ... большое количество маленьких шариков на стягивающемся теле ..."
Мощно задвинул
Что-то вспомнилась одна история. Однажды на олимпиаде предлагалась такая задача. В некий ящик помещались единичные кубики и надо было доказать, что там обязательно найдется место и для единичного шарика. Одно из решений было таким. Школьник рассуждал, что если для самого плохого расположения кубиков будет место для шарика, то уж для всех остальных расположений подавно. Так вот самое плохое расположение он описывал следующим образом
"... когда диагональ куба составляет угол 180 градусов с вертикалью пареллелепипеда, а углы смотрят друг на друга ..."
Наша команда из физиков и математиков не сразу сообразила, что это за углы куба, которые смотрят друг на друга

drug39
С моей стороны было бы верхом глупости спорить с вашими доводами из практической области. Но ведь мы сейчас решаем теоретическую задачу. А для нее получается, что дельтаобразного скопления заряда на концах стягивающегося тела не происходит. Думаю, через небольшое время я выложу строгое обоснование этого факта. Оно не сложное. Нужно только немного времени.

[vlapay]

sup в сообщении #990928 писал(а):

Применительно к нашему случаю. Поле прямо таки на самой поверхности тела просто обязано быть разрывным. Разрывы возникают в тех точках, где находятся заряды. Но, как я понимаю, это тот самый случай, когда надо тщательно рассматривать область применимости той или иной теории. Скажем, рассматривая уравнение Лапласа для потенциала, я применяю непрерывную теорию, которая, очевидно, будет работать лишь на расстояниях много больших характерного расстояния между зарядами. Точнее, уравнение-то можно рассматривать хоть где. Но вот объявить поверхность тела эквипотенциальной "просто так" нельзя. Т.е. под вопросом краевое условие.

Не думаю, что дело именно в этом. Парадокс этой задачи в том, что рассматривается одномерный случай в трёхмерном мире, что физически не реализуемо. Надо рассматривать трёхмерный объект, например, тонкую проволоку с вполне определённым отношением длина/диаметр. В двумерном мире потенциал логарифмически зависит от расстояния, поэтому этот логарифм и "вылезает" в этой задачи. Распределение заряда зависит от соотношения длина/диаметр, а не от величины малых дискретных зарядов. Эту задачу изначально надо формулировать в трёхмерном виде, чтобы получить однозначное решение.