Вывод зависимости для «векторного потенциала» в точке, находящейся на расстоянии d от бесконечного проводника с током приведен у А. Анго «Математика для электро и радио инженеров» на стр. 152 -153. Там приведено следующее выражение для А:
![\[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln d^2 )
\] \[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln d^2 )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/6/62620a64fd2d006e5693d3c8ce2bd2d082.png)
. Там, также, оговаривается, что «векторный потенциал определен лишь с точностью до градиента скалярной функции».
Воспользуемся этим выражением:
![\[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln d^2 ) = - \frac{{2\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I\ln d
\] \[
\vec A = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I( - \ln d^2 ) = - \frac{{2\mu _0 }}{{4\pi }}\vec I\ln d
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/d/b1da5bf1f3d4cba91e287d25fd48a3f082.png)
.
Тогда, если
![\[
\vec E = - \frac{{d\vec A}}{{dt}}
\] \[
\vec E = - \frac{{d\vec A}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/e/2ee0f4cc6d32ef668e7f3a53004dea8882.png)
, то:
![\[
E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln d\frac{{dI}}{{dt}}
\] \[
E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln d\frac{{dI}}{{dt}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/4/9d464be3bd80d7aa094a447c5a2b4d2582.png)
, и ЭДС, наведенная в отрезке будет равна:
![\[
U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln d\frac{{dI}}{{dt}}
\] \[
U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln d\frac{{dI}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/b/edbe64cb2c014630ccf2f46ab145227f82.png)
.
Абсурдность формулы, полученной для ЭДС, наведенной в отрезке
![\[
\Delta L
\] \[
\Delta L
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c647cd727caad2d302d3c0cc2abbfd82.png)
с «помощью векторного потенциала», очевидна – напряженность поля Е и ЭДС тем больше, чем дальше отрезок
![\[
\Delta L
\] \[
\Delta L
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c647cd727caad2d302d3c0cc2abbfd82.png)
от проводника с током. Более того, формула не описывает случай самоиндукции, так как при
![\[
E \to \infty
\] \[
E \to \infty
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/6/a66fbfb358cbe6499820f8514135042f82.png)
.
В то же время, формула для контура получается вполне нормального вида:
![\[
U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{d_2 }}{{d_1 }}\frac{{dI}}{{dt}}
\] \[
U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{d_2 }}{{d_1 }}\frac{{dI}}{{dt}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/f/7af5f75393e9ead5823748c7f7fa424182.png)
.
Далее, если рассмотреть прямоугольный контур, в который входят два проводника длиной
![\[
\Delta L
\] \[
\Delta L
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c647cd727caad2d302d3c0cc2abbfd82.png)
, которые расположены на расстояниях d1 и d2, то видно, что ЭДС первого вычитается (не складывается) из ЭДС второго.
Анализируя полученные выражения можно видеть, что в зависимости, полученные с помощью «векторного потенциала» входит член ln... . Очевидно, что под логарифмом обязана стоять безразмерная величина, например, отношение, иначе выражение становится бессмысленным (какая, например, размерность у
![\[
\ln d
\] \[
\ln d
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/9/c096d9568b884f23cb5805577eba50ef82.png)
, если d имеет размерность в метрах?). Совершенно очевидно, что полученные выражения могут работать только для замкнутого контура.
Таким образом, можно утверждать, что «векторный потенциал» не позволяет найти выражение для ЭДС, наведенной в отрезке проводника.
В то же время, для этого случая формально можно определить Е при движении отрезка проводника со скоростью V в направлении х (I = const).
![\[
E = - \frac{{\mu _0 2I}}{{4\pi }}\frac{{d(\ln x)}}{{dt}} = - \frac{{\mu _0 2I}}{{4\pi }}\frac{1}{x}V = - B_x V
\] \[
E = - \frac{{\mu _0 2I}}{{4\pi }}\frac{{d(\ln x)}}{{dt}} = - \frac{{\mu _0 2I}}{{4\pi }}\frac{1}{x}V = - B_x V
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e97015aad2624ff15cd405ec71c480c82.png)
, где
![\[
V = \frac{{dx}}{{dt}}
\] \[
V = \frac{{dx}}{{dt}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/0/510cbc15136eccfa36c05a4e1fdb299e82.png)
.
У Л&Л это
![\[
\vec E = - \left[ {\vec v \times \vec B} \right]
\] \[
\vec E = - \left[ {\vec v \times \vec B} \right]
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/5/af5ce173b27a6deb7de9fccfd4b6c4a482.png)
.
Выходит, что здесь формула «работает»? Сомневаюсь....
По поводу первого уравнения Максвелла :
Для данного случая (бесконечный провод с током) оно преобразуется в
![\[
\frac{{dE_y }}{{dx}} = - \frac{{dB}}{{dt}}
\] \[
\frac{{dE_y }}{{dx}} = - \frac{{dB}}{{dt}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/2/45246ef6e311262ecab4e661ab0b726482.png)
, где
![\[
B_x = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{x}
\] \[
B_x = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{x}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/e/37e7e7da5c9380227a1439c12ebfcfde82.png)
.
Тогда (при I = f(t))
![\[
B_x = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{x}
\] \[
B_x = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{x}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/e/37e7e7da5c9380227a1439c12ebfcfde82.png)
, следовательно
![\[
E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\frac{{dI}}{{dt}}\int\limits_0^{x_1 } {\frac{{dx}}{x}} = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln \left( {\frac{{x_1 }}{0}} \right)\frac{{dI}}{{dt}}
\] \[
E = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\frac{{dI}}{{dt}}\int\limits_0^{x_1 } {\frac{{dx}}{x}} = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln \left( {\frac{{x_1 }}{0}} \right)\frac{{dI}}{{dt}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/b/d2b2c2588132956871db834e933be7e182.png)
в точке
![\[
x_1
\] \[
x_1
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/1/ec19abbfc6ffb60d584424752edf889282.png)
и
![\[
U = E\Delta L = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln \left( {\frac{{x_2 }}{{x_1 }}} \right)\frac{{dI}}{{dt}}\Delta L
\] \[
U = E\Delta L = \frac{{\mu _0 }}{{2\pi }}\ln \left( {\frac{{x_2 }}{{x_1 }}} \right)\frac{{dI}}{{dt}}\Delta L
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/6/8c68fbaeca793622370de2eae84406ba82.png)
для контура. Как видно, выражения точно такие же, как и с векторным потенциалом. Очевидно, что оно работает только для контура.
Попробуем определить Е при движении отрезка проводника
![\[
\Delta L
\] \[
\Delta L
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c647cd727caad2d302d3c0cc2abbfd82.png)
со скоростью V в направлении х (I = const).
![\[
\frac{{dE}}{{dx}} = - \frac{{dB}}{{dt}}
\] \[
\frac{{dE}}{{dx}} = - \frac{{dB}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/6/2c6693e2ce5529e767aded76e0fb938e82.png)
тогда
![\[
\frac{{dB}}{{dt}} = - \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{1}{{t^2 }}
\] \[
\frac{{dB}}{{dt}} = - \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{1}{{t^2 }}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/e/7aeb0319d8e20e73cc89da4f99b8090782.png)
и
![\[
dE = - \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{1}{{t^2 }}dx
\] \[
dE = - \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{1}{{t^2 }}dx
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/9/ad9d372ebd59989336f61ccb770f22fd82.png)
, следовательно
![\[
E_x = \left[ {\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{1}{{t^2 }}x} \right]_0^x = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{{vt}}{{t^2 }} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{x}v = B_x v
\] \[
E_x = \left[ {\frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{1}{{t^2 }}x} \right]_0^x = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{v}\frac{{vt}}{{t^2 }} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{2I}}{x}v = B_x v
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/9/78931bb55d4da893fb5ccc80008e233482.png)
.
Точно то же самое, что и с векторным потенциалом.
К уравнениям Максвелла претензий нет. Насколько я знаю, Максвелл понимал ограниченность применимости своей системы, в частности, первого уравнения, и последователей просил дополнить. Они и дополнили... "векторным потенциалом" (кстати, кто автор).