Линейное пространство

[Kras]

Один из участников дискуссии Munin использовал незнакомый мне термин линейное пространство. Мне интересно узнать о чём тут идёт речь. Вообще всегда приятно, если на форуме встречаются люди, которые толкают тебя вперёд... В Википедии сказано следующее:

Цитата:

Линейное, или векторное пространство $V \left( F \right)$ над полем $F$ — это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\cdot)$, где

$V$ — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
$F$ — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
$+\colon V\times V\to V$ — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, обозначаемый $\mathbf{x} + \mathbf{y}$;
$\cdot\colon F\times V\to V$ — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу $\lambda$ поля $F$ и каждому элементу $\mathbf{x}$ множества $V$ единственный элемент множества $V$, обозначаемый $\lambda\mathbf{x}$;

причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

Вопросов две штуки:
1) Я совершенно не понимаю, в чём смысл использования слова над, если речь идёт о математических структурах. Слово часто возникает в литературе. Может ли кто-нибудь пояснить что оно означает?
2) ЛП - это упорядоченная четвёрка, а четвёрка есть множество $\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\}$. Теперь такое определение

Цитата:

Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в $V$ действиям сложения и умножения на скаляр.

Проблема в том, что из всех подмножеств четвёрки, линейным пространством может быть только сама четвёрка.

[Nemiroff]

Kras в сообщении #988069 писал(а):

Я совершенно не понимаю, в чём смысл использования слова над, если речь идёт о математических структурах. Слово часто возникает в литературе. Может ли кто-нибудь пояснить что оно означает?

Ну вот такой предлог используют. По-английски over. Как-то же надо говорить.

Kras в сообщении #988069 писал(а):

ЛП - это упорядоченная четвёрка, а четвёрка есть множество $\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\}$.

Что за набор символов? Четвёрка — это четыре штуки, которые далее рассматриваются как компоненты одной штуки.

[Kras]

1. И всё же, хотелось бы знать в каких случаях его используют, а в каких - лучше не надо.
2. Это не набор символов, это Куратовский в своем репертуаре.

[Nemiroff]

Kras в сообщении #988074 писал(а):

И всё же, хотелось бы знать в каких случаях его используют, а в каких - лучше не надо.

Э-э-э. В каких случаях чего? Пространство над полем. Алгебра над кольцом. Обычно в таких случаях то, из чего "над" служит источником "чисел". Пространство над полем — из поля константы для умножения на вектор из пространства, алгебра над кольцом — из кольца элементы для умножения на элементы модуля.
Или вот летите вы на самолёте, а внизу поле. Вы над полем. А если вы землеройка и не летите на самолёте, то надо использовать другой предлог.

Kras в сообщении #988074 писал(а):

Это не набор символов, это Куратовский в своем репертуаре.

Я не знаю, причём тут Куратовский, но читать теорию множеств, не зная, что такое линейное пространство — это гениальная затея редкой степени бредовости.

[Kras]

Так легко же читается, без проблем вообще. Нет, давайте лучше вернёмся к слову над. Имеется бинарная операция $P\to Y$. Можно сказать математическая структура Y над множеством X в каком случае из двух: если $P \subset X\times Y$ или $P \subset Y\times X$? Идея понятна: векторы умножаем на скаляры, получаем векторы. Или многочлен умножаем число и получаем многочлен.

[provincialka]

Kras в сообщении #988083 писал(а):

Идея понятна: векторы умножаем на скаляры, получаем векторы. Или многочлен умножаем число и получаем многочлен.

Тогда что не понятно? В каком порядке их писать? В любом.

Скажите, а вы понимаете, что такое линейное пространство над $\mathbb{R}$? Вас только произвольное поле смущает?

[Nemiroff]

Kras в сообщении #988083 писал(а):

Можно сказать математическая структура Y над множеством X в каком случае из двух: если $P \subset X\times Y$ или $P \subset Y\times X$?

Да какая разница?

Kras в сообщении #988083 писал(а):

Так легко же читается, без проблем вообще.

Да я уже вижу насколько без проблем.

[Kras]

provincialka
Я вообще не понимаю что такое линейное пространство/подпространство. Меня смущает упорядоченная четвёрка и слово над.

provincialka в сообщении #988085 писал(а):

Тогда что не понятно?

Строгое определение не понятно. С предлогами обращаются вполне осмысленно: есть например отображение на, а есть отображение в. Это два разных понятия.

provincialka в сообщении #988085 писал(а):

В каком порядке их писать? В любом.

Почему упорядоченная пара $(x,y)$ обычно не равна $(y,x)$? Можно я не буду это объяснять? Если вы говорите в любом порядке, значит умножение слева и умножение справа должны всегда давать один и тот же результат.

[provincialka]

Конечно, упорядоченная пара на то и упорядоченная.
А вы возьмите неупорядоченную. Отождествите два объекта, $(a,b)$ и $(b,a)$.
Например, пусть элементы пространства -- это функции. Скажем, $x, x^2, \sin x$...
Чем отличаются $2x+3x^2$ от $x\cdot2+x^2\cdot3$?

Лучше пока забудьте про произвольное поле и разберитесь со случаем вещественных чисел.

(Оффтоп)

Я на работу ухожу

[Kras]

А в данной ситуации ничем не отличаются. Но само определение бинарной операции использует декартово произведение. А декартово произведение - это множество всевозможных упорядоченных пар.

[Nemiroff]

Отличная тема — сразу видно, почему математику нужно изучать, так как нужно, а не с теории множеств.
Прикольно, наверное, про какие-нибудь конечные автоматы читать.

Kras в сообщении #988089 писал(а):

С предлогами обращаются вполне осмысленно: есть например отображение на, а есть отображение в.

А это пространство над. А "на" и "в" — это убого.

Kras в сообщении #988089 писал(а):

Меня смущает упорядоченная четвёрка

В человеческом смысле четвёрка — четыре штуки. Просто четыре штуки вместе. Упорядоченная — чтоб писать удобно было.

[Kras]

Nemiroff
В 'человеческом' смысле четвёрка - четырехэлементное множество. Просто четыре штуки вместе. Но ЛП не является четырехэлементным множеством. Или вы в этом до сих пор сомневаетесь?

Тема отличная — сразу видно, насколько всё запущено, если учить 'математику', как её дают в российских вузах.

[Nemiroff]

Kras в сообщении #988098 писал(а):

Тема отличная — сразу видно, насколько всё запущено, если учить 'математику', как её дают в российских вузах.

А я не сразу понял. ОК.

[demolishka]

"Линейное пространство над полем $F$" это единое понятие и оно не разрывается на составные части. Нет там никаких предлогов.

[Xaositect]

Можно определить линейное пространство как алгебраическую структуру, в которой есть множество скаляров, множество векторов и какие-то там операции. Это четверка, или сколько там у нас всего элементов получается.
Но когда пишут, что что-то принадлежит векторному пространству, имеют в виду принадлежность не этой четверке, а носителю этой алгебраической структуры - вот тому множеству $V$, которое там в определении.
Так всегда говорят, то же самое с группами, кольцами, алгебрами и т.п. - есть носитель алгебраической структуры - множество, и когда мы говорим о принадлежности, мы говорим о принадлежности носителю, а когда мы говорим, например, о гомоморфизмах, мы говорим о структуре целиком, которая обычно формализуется как маленькое упорядоченное множество, содержащее носитель и операции. Это удобно.