Линейное пространство

[Kras]

tolstopuz
Нигде. А $\mathbf{x}\alpha$ можно вообще определить как угодно?

[Padawan]

Иногда (видел у Бурбаки) различают левое линейное пространство и правое линейное пространство. В левых скаляр ставится слева $\alpha\mathbf{x}$, в правых скаляр ставится справа $\mathbf{x}\alpha$. Если для левых пространств принимается аксиомиа $\alpha(\beta\mathbf x)=(\alpha\beta)\mathbf x$, то для правых принимается аксиома $(\mathbf x\beta)\alpha=\mathbf x (\beta\alpha)$. А это разные вещи. В случае поля скаляров, которое коммутативно, это одно и то же, и отличие только в форме записи. Но в случае линейного пространства над произвольным телом, это уже будут существенно разные объекты.

[Munin]

arseniiv в сообщении #988513 писал(а):

$(\mathbb R,\mathbb R,+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R})$ — не линейное пространство?

И вообще, $(F,F,+_F,\cdot_F)$ - линейное пространство.

-- 11.03.2015 13:44:57 --

Padawan в сообщении #988570 писал(а):

Иногда (видел у Бурбаки) различают левое линейное пространство и правое линейное пространство.

Конечно, это разные объекты. Дело не в том, что в других местах их не различают - дело в том, что в других местах рассматриваются только левые, и их так и называют просто линейными пространствами. Теория правых пространств в точности аналогична теории левых (на категорном языке это, наверное, можно сформулировать как точный изоморфизм). Так что разница между ними будет играть роль (чтобы вводить оба понятия), только если им "сделать очную ставку" - использовать в какой-то теории одновременно и те и другие. А где это?

[Geen]

arseniiv в сообщении #988550 писал(а):

Но подставлять их в теоремы о линейных пространствах, полях и упорядоченных множествах никто не помешает.

Безобразие Придумали такой замечательный объект $\mathbb{R}$, который (почти) куда угодно можно подставлять... и все учебники этим беззастенчиво пользуются. А потом и возникают вопросы вроде этого:

Kras в сообщении #988553 писал(а):

пример ЛП, в котором $\alpha\mathbf{x} \ne \mathbf{x}\alpha$

arseniiv в сообщении #988550 писал(а):

Можно, но будет слишком много ненужных скобок. Нам же всего-то отличить одну операцию от другой и ненароком не перепутать с множеством векторов.

Munin в сообщении #988683 писал(а):

И вообще, $(F,F,+_F,\cdot_F)$ - линейное пространство.

Вот именно
А правильнее было бы как-то так: $((F,+_F),(F,+_F,\cdot_F),\cdot_F)$, как мне кажется

[Munin]

Geen в сообщении #988699 писал(а):

А правильнее было бы как-то так: $((F,+_F),(F,+_F,\cdot_F),\cdot_F)$, как мне кажется :-)

Простите, а что это будет? Что такое вся внешняя скобочка, что в первой скобочке? Я думал, самое большее $(F,(F,+,\cdot),+,\cdot).$

[arseniiv]

Kras в сообщении #988553 писал(а):

Я просто доказал теорему для всех $n$, чтобы исключить недоразумения вроде $(0,1,1)=(0,0,1)$.

Да, но вы мне затем предложили что-то сделать с парами и/или индукцией — так и не понял, что именно.

Kras в сообщении #988553 писал(а):

поэтому с новым определением уже не будет таких проблем

Конечно, не будет. Оно обычно и даётся в книгах по теории множеств, но откуда вы тогда взяли $\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\}$?

[Geen]

Munin в сообщении #988776 писал(а):

Что такое вся внешняя скобочка, что в первой скобочке?

Группа $G$, поле $F$ и отображение $G\times F \to G$ (и это ЛП всё вместе)

-- 11.03.2015, 19:20 --

Munin в сообщении #988776 писал(а):

Я думал, самое большее $(F,(F,+,\cdot),+,\cdot).$

Ну да, в таком виде, почему-то, и дают определение - видимо полагается, что поле более известное понятие чем группа (видимо всё из-за того же $\mathbb{R}$)

[Munin]

А, понял.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

У меня есть коллега, очень серьезный математик, в своей области один из самых сильных, и математик он разумный, т.е. знает откуда у его науки ноги растут, что неудивительно. Но вот ученики его—чегой-то очень абстрактное доказывают, слова длинные говорят

Цитата:

При этом так ругался по латыни
Что скифы эти корчились в гробах.

И не в состоянии привести ни одного простого примера того, чего они изучают.

Ну не надо начинать изучать линейные пространства с пространств над полем (а то и с модулей над кольцом).

[tolstopuz]

Munin в сообщении #988683 писал(а):

Так что разница между ними будет играть роль (чтобы вводить оба понятия), только если им "сделать очную ставку" - использовать в какой-то теории одновременно и те и другие. А где это?

Есть интересная структура под названием бимодуль. Он, правда, не над полем, а над кольцом, точнее, над двумя кольцами, но по сравнению с полем разница только в отсутствии деления.

Возьмем, например, группу матриц $n\times m$, ну, скажем, комплексных. Они, конечно, образуют векторное пространство размерности $nm$ над $\mathbb{C}$, но это достаточно тривиальный факт.

Интереснее другое. Друг на друга эти матрицы умножать нельзя - это не операторы. Зато слева эти матрицы можно умножать на матрицы $n\times n$, образующие кольцо линейных операторов. То есть из матрицы $A$ можно получать всякие выражения вида $UA$, $U_1U_2A$, $(U_1^2+U_2)A$, и они будут матрицами той же размерности, что и $A$.

А справа их можно умножать на матрицы $m\times m$, тоже образующие кольцо, но другое. Мы имеем возможность посчитать $AV$, $A(V_1+V_2V_3)$ и так далее.

Вот и бимодуль: $UAV=(UA)V=U(AV)$. О коммутативности, кстати, здесь речи в принципе не идет - просто не сойдутся размерности.

А теперь маленький финт ушами. Для матрицы $V$ размера $m\times m$ определим $V\cdot A$ как $AV^*$ (звездочка - эрмитово сопряжение). Можно взять и просто транспонирование, но так интереснее. То есть мы будем чисто формально писать правое умножение слева, а сопряжение дает правильный порядок множителей: $V_1V_2\cdot A=A(V_1V_2)^*=AV_2^*V_1^*=V_1\cdot(V_2\cdot A)$. И теперь левое умножение на $U$ (там точка обозначает обычное матричное умножение) и $V$ можно перемешивать: $UV\cdot A=UAV^*$, $U_1VU_2\cdot A=U_1U_2AV^*$. Фактически мы упрятали произвольное преобразование $UAV^*$ в один объект $UV$, и эти объекты тоже образуют кольцо, мы можем складывать и умножать двусторонние преобразования матриц $n\times m$ почти как обычные линейные операторы, имеет смысл даже запись $(U+V)\cdot A$, которая расшифровывается как $UA+AV^*$. В результате матрицы $n\times m$ становятся левым модулем над кольцом $L(\mathbb{C}^n)\otimes_\mathbb{C}L^*(\mathbb{C}^m)$.

Интересно посмотреть с этой точки зрения на сингулярное разложение, которое SVD. Я нашел одну статью про его связь с бимодулями, но она для меня слишком сложная.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #988978 писал(а):

Ну не надо начинать изучать линейные пространства с пространств над полем (а то и с модулей над кольцом).

У меня ситуация хуже: я не знаю, где бы прочитать про модули над кольцом. Так чтобы пощадить мои нервы, знающие только линейные пространства над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ (и то, в основном конечномерные).

tolstopuz
Забавная конструкция, спасибо!

Но здесь всё-таки "умножение слева" и "умножение справа" надуманны. Они мотивированы тем, что мы матрицы "умножаем слева" и "умножаем справа". А если рассматривать некоторое абстрактное векторное пространство $\mathcal{A},$ то его сразу аксиоматически можно включить в состав модуля над кольцом $\mathcal{U},$ и модуля над кольцом $\mathcal{V}$ (тоже левого!), и построить из них бимодуль аналогично. Да и тримодуль, и $n$-модуль. Если пытаться это возвести к "умножениям с разных сторон", то вам потребуются и умножение сверху, и умножение снизу, и так далее... :-)

[AV_77]

По сути все эти конструкции --- частный случай абелевой группы с областью операторов. Так что да, достаточно рассматривать только односторонние операторы, так как любой оператор, записываемый хоть справа, хоть слева, это не что иное как эндоморфизм данной группы. Но бимодули изучать удобнее.

[Geen]

Red_Herring в сообщении #988978 писал(а):

Ну не надо начинать изучать линейные пространства с пространств над полем (а то и с модулей над кольцом).

Да, но если год долбали действительными пространствами (под сотню теорем), а потом говорят что можно и $\mathbb{C}$ или $\mathbb{Z}_p$ взять, то значит всю сотню теорем (доказательства) надо пересмотреть заново - а вдруг где-то использовалось от $\mathbb{R}$ что-то кроме поля....

[Munin]

AV_77 в сообщении #989043 писал(а):

Но бимодули изучать удобнее

...если записывать в строчку. Я правильно понял?

Geen в сообщении #989050 писал(а):

Да, но если год долбали действительными пространствами (под сотню теорем), а потом говорят что можно и $\mathbb{C}$ или $\mathbb{Z}_p$ взять, то значит всю сотню теорем (доказательства) надо пересмотреть заново - а вдруг где-то использовалось от $\mathbb{R}$ что-то кроме поля....

В хороших местах долбают одновременно над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}.$ И скажем, в физике (и тем более в технике) этого за глаза достаточно. Например, все дифуры этим покрыты.

[AV_77]

Munin в сообщении #989054 писал(а):

...если записывать в строчку. Я правильно понял?

Да, более наглядно получается. А потом это удобно, например, для случая спаривания модулей.