Диск Эйнштейна

[schekn]

epros в сообщении #984946 писал(а):

Мне, например, понятно одно: Если тело отсчёта будет вращаться таким образом, чтобы скорость его периферийных частей относительно лабораторной СО не превышала скорость света, то проведённый радиус рано или поздно совьётся в такую спираль, что на радиус это будет совсем не похоже.

Думаете такое не может быть? Что-то типа спиральной галактики, состоящей из пылинок нулевой массы.

epros в сообщении #984946 писал(а):

Полагаете, что разница так уж принципиальна? По моим понятиям, система отсчёта задаётся телом отсчёта и способом определения "одновременности" в разных его точках. Координатная сетка вполне способна определить и то, и другое. Для получения полного удовольствия можно, конечно, на эту физику навесить некую математику в виде тетрады. Однако не всякая тетрада может быть сопоставлена координатной сетке.

В пар 89 сначала осуществляется переход от галилеевых координат к цилиндрическим (по другому нумеруется 3-х мерное пространство), а затем к вращающейся СК, то есть угловая координата теперь зависит от времени. То есть другая нумерация пространства-времени. Согласно ряду учебников, скажем Рашевского пар. 61, Система отсчета это нечто материальное, куда входит набор измерительных приборов и с которыми связан некий ортонормированный репер. Репер это 4-ка векторов, один из которых времениподобный. Переход в другую СО это перемещение репера или его вращение по неким законам, которые у Рашевского найдены. Соответственно, в другой СО можно ввести другую координатную сетку. Ну как-то так.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #985137 писал(а):

$x^0$[/math] и $T$ друг к другу никакого отношения не имеют.

К чему же тогда имеет отношение $T$? Что это такое и зачем нужно?

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #985188 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #985137 писал(а):

$x^0$ и $T$ друг к другу никакого отношения не имеют.

К чему же тогда имеет отношение $T$? Что это такое и зачем нужно?

Среди бесконечного количества различных систем отсчёта, существует такая система отсчёта $\bar{e}^{(a)}$, в которой дифференциальная форма времени голономна (поле $\bar{e}_{\bf (0)}$ безвихревое):

$$ \bar{e}^{\bf (0)} = \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}, \quad \bar{e}_{\bf (0)} = g^{\mu \nu} \frac{\partial T}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, $$

причём

$$g^{\mu \nu} \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial T}{\partial x^{\nu}} = 1,$$

мировые линии тел этой системы отсчёта:

$$ \frac{dx^{\mu}}{ds} = g^{\mu \nu} \frac{\partial T}{\partial x^{\nu}}. $$

Гиперповерхности постоянного времени в этой системе отсчёта:

$$ T(x) = \operatorname{const}. $$

[warlock66613]

И если выбрать подходящие координаты, то и получим ни что иное как $T=x^0$.

[epros]

SergeyGubanov, и что же Вы ответите на замечание warlock66613? А то у Вас получается какое-то раздвоение сознания: У Вас есть координаты, но "гиперповерхностью постоянного времени" Вы именуете нечто совсем иное (причём, далеко не всегда существующее).

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #985713 писал(а):

И если выбрать подходящие координаты, то и получим ни что иное как $T=x^0$.

Функция $T(x)$ существует лишь для особой (выделенной) системы отсчёта $\bar{e}^{(a)}$ (помечаю чертой сверху) обладающей голономной дифференциальной формой времени

$$d \bar{e}^{\bf (0)} = 0 \quad \to \quad \bar{e}^{\bf (0)} = \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}.$$

Если взять какую-либо другую систему отсчёта $e^{(a)}$ (без черты сверху, т. е. с неголономной дифференциальной формой времени), то не существует такой функции $T$ дифференциал которой был бы равен $e^{\bf (0)}$.

Пример:

SergeyGubanov в сообщении #984991 писал(а):

В данном случае (напоминаю, что здесь $v$ не констатнта, а произвольная функция $v(t, r, \theta, \varphi)$):

$$ e^{\bf (0)} = e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi \right) $$

Во вращающейся системе отсчёта $T$ не существует:

$$ \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi \right) \ne \frac{\partial T}{\partial t} dt + \frac{\partial T}{\partial \varphi} d\varphi $$

Другими словами, гиперповерхность постоянного времени во вращающейся системе отсчёта является неголономной.

epros в сообщении #985883 писал(а):

SergeyGubanov, и что же Вы ответите на замечание warlock66613? А то у Вас получается какое-то раздвоение сознания: У Вас есть координаты, но "гиперповерхностью постоянного времени" Вы именуете нечто совсем иное (причём, далеко не всегда существующее).

Координаты никакого отношения к системам отсчёта не имеют. Системы отсчёта задаются общековариантно, четвёркой векторных полей. В зависимости от того является ли векторное поле $e_{\mu}^{\bf (0)}$ вихревым или не является, существует или не существует такая функция $T$, градиент которой равен $e_{\mu}^{\bf (0)} = \partial_{\mu} T$.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #986017 писал(а):

Функция $T(x)$ существует лишь для особой (выделенной) системы отсчёта $\bar{e}^{(a)}$ (помечаю чертой сверху) обладающей голономной дифференциальной формой времени

Я не понимаю употребления слова "голономный" в таком контексте. По моим понятиям, такие системы отсчёта являются синхронными, вот и всё. А голономные дифференциальные формы определяются для координат.

SergeyGubanov в сообщении #986017 писал(а):

Во вращающейся системе отсчёта $T$ не существует:
...
Другими словами, гиперповерхность постоянного времени во вращающейся системе отсчёта является неголономной.

У меня сейчас мозг взорвётся от Вашей терминологии. Так гиперповерхность постоянного времени "не существует" или является "неголономной"? Вы же ведь её не по $x^0$, а по $T$ собираетесь определять? Значит всё же "не существует", а не "не является голономной".

SergeyGubanov в сообщении #986017 писал(а):

Координаты никакого отношения к системам отсчёта не имеют. Системы отсчёта задаются общековариантно, четвёркой векторных полей.

Это Ваш символ веры что ли? Системы отсчёта задаются в первую очередь телом отсчёта. А четвёрка векторных полей -- это всего лишь один из способов привязаться к телу отсчёта.

[SergeyGubanov]

epros, Вам неплохо было бы почитать какой-нибудь учебник по Картановским дифференциальным формам (внешнему дифференциальному исчислению). Возможно достаточно будет книги: Дубровин, Новиков, Фоменко Современная геометрия.

Для примера рассмотрим дифференциальную 1-форму

$${\bf e}= e_0 \, dx^0 + e_1 \, dx^1 + e_2 \, dx^2 + e_3 \, dx^3.$$

Её внешняя производная даёт 2-форму:

$$ d{\bf e} = \left(\frac{\partial e_1}{\partial x^0} - \frac{\partial e_0}{\partial x^1} \right) dx^0 \wedge dx^1 + \left(\frac{\partial e_2}{\partial x^0} - \frac{\partial e_0}{\partial x^2} \right) dx^0 \wedge dx^2 + \left(\frac{\partial e_3}{\partial x^0} - \frac{\partial e_0}{\partial x^3} \right) dx^0 \wedge dx^3+ $$

$$ + \left(\frac{\partial e_2}{\partial x^1} - \frac{\partial e_1}{\partial x^2} \right) dx^1 \wedge dx^2 + \left(\frac{\partial e_3}{\partial x^1} - \frac{\partial e_1}{\partial x^3} \right) dx^1 \wedge dx^3 + \left(\frac{\partial e_3}{\partial x^2} - \frac{\partial e_2}{\partial x^3} \right) dx^2 \wedge dx^3 $$

Дифференциальная 2-форма $d{\bf e}$ обращается в нуль тогда когда векторное поле $e_{\mu}$ безвихревое:

$$ \frac{\partial e_{\mu}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial e_{\nu}}{\partial x^{\mu}} = 0. $$

В этом случае дифференциальная 1-форма ${\bf e}$ голономна, то есть представима в виде дифференциала некоторого скаляра:

$$ {\bf e} = \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} = d T, \qquad d (d T) = 0. $$

Теперь представим, что ${\bf e}$ является дифференциальной формой времени некоторой системы отсчёта. Тогда гиперповерхность постоянного времени задаётся уравнением:

$$ {\bf e} = 0. \eqno(1) $$

В случае когда $e_{\mu}$ безвихревое всё тривиально. Отыскиваем функцию $T$ такую что $e_{\mu} = \partial_{\mu} T$ и гиперповерхности постоянного времени есть просто $T(x) = \operatorname{const}$. Трудности начинаются когда ${\bf e}$ неголономна. Тогда функции $T$ не существует и уравнение (1) задаёт неголономную гиперповерхность. Неголономная гиперповерхность определена в бесконечно малой окрестности каждой точки (каждой точки в которой существует данная система отсчёта), но не может быть непрерывно продолжена дальше бесконечно малой окрестности этой точки.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #986017 писал(а):

Функция $T(x)$ существует лишь для особой (выделенной) системы отсчёта

Да, и причём именно для системы координат, в которой $x_0=T$, эта система отсчёта также будет выделенной - голономной. Объёдиняя всё, мы и получаем - то, что вы называете $T$ и выделенной системой отсчёта, на другом языке (на языке голономных реперов) называется $x_0$ и выделенная система координат.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #986102 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #986017 писал(а):

Функция $T(x)$ существует лишь для особой (выделенной) системы отсчёта

Да, и причём именно для системы координат, в которой $x_0=T$, эта система отсчёта также будет выделенной - голономной. Объёдиняя всё, мы и получаем - то, что вы называете $T$ и выделенной системой отсчёта, на другом языке (на языке голономных реперов) называется $x_0$ и выделенная система координат.

Я говорил только про систему отсчёта с голономной дифференциальной формой времени, а не всей тетрады. Так чтобы все четыре 1-формы $e^{(a)}$ можно было бы сделать голономными $d e^{(a)} = 0$ бывает только в плоском пространстве событий. Но в плоском пространстве событий существует бесконечное количество систем отсчёта с голономной дифференциальной формой времени, поэтому про выделенность какой-то одной из них говорить не приходиться.

[svv]

SergeyGubanov, у меня к Вам вопрос, поясните, пожалуйста.

SergeyGubanov в сообщении #984991 писал(а):

$$ e^{\bf (0)} = e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi \right) $$

$$ e_{\bf (0)} = e_{\bf (0)}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{1}{c} \, \frac{\partial}{\partial t} + \frac{v}{c} \, \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\varphi} \right) $$

Далее всё просто. Сказать, что дифференциальная форма $e^{\bf (0)}$ неголономна это всё равно что сказать, что векторное поле $e_{\bf (0)}$ вихревое.

Пусть у нас есть форма $e^{\bf (0)}$, известны её компоненты в базисе $dx^{\mu}$:
$e^{(0)}=e^{(0)}_\mu\;dx^{\mu}$
Для примера это может быть Ваша форма $\Gamma(v)(dt-vr\sin\theta\;d\varphi)$.

Я хочу проверить, является ли она дифференциалом некоторой функции $T$, так, что
$e^{(0)}_\mu=\partial_{\mu} T$.
Вы говорите, что это всё равно, что проверить, является ли безвихревым векторное поле $e_{(0)}$. Я послушно беру это поле, благо Вы уже выписали его компоненты:
$e_{(0)}= \Gamma(v)\left(\partial_t}+ \dfrac{v}{r \sin\theta}\;\partial_\varphi}\right)$
И что мне с этим делать дальше?

[SergeyGubanov]

svv в сообщении #987808 писал(а):

И что мне с этим делать дальше?

Это надо превратить обратно в 1-форму, далее взять от неё внешнюю производную. Написали тензорный индекс снизу - говорим 1-форма, написали тензорный индекс сверху - говорим векторное поле. Говорим ротор векторного поля или говорим внешняя производная от 1-формы, всё равно имеем ввиду одно и то же. Кто к какой терминологии больше привык, дело вкуса.

[svv]

SergeyGubanov в сообщении #988145 писал(а):

Это надо превратить обратно в 1-форму

Да, с помощью метрики. При этом мы получим в точности $e^{\bf (0)}$. Не накручиваем ли мы лишние километры?

Формы, в частности, хороши тем, что оба взаимосвязанных утверждения:
$\omega=df$
$d\omega=0$
не выводят нас за рамки форм. Поэтому, на мой взгляд, в фразе «Сказать, что дифференциальная форма $e^{\bf (0)}$ неголономна это всё равно что сказать, что векторное поле $e_{\bf (0)}$ вихревое» имело смысл не привлекать $e_{(0)}$ как лишнюю сущность. Тогда, может быть, и epros не жаловался бы на стиль изложения.

Понятно, что здесь
$\frac{dx^{\mu}}{ds} = e^{\mu}_{(0)} (x)$
векторное поле $e_{(0)}$ абсолютно уместно.

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):

В этой системе отсчёта дифференциальная форма времени $e^{(0)}$ неголономна $e^{(0)} \ne d T$, более того, она даже не может быть сведена к голономной домножением на интегрирующий множитель $e^{(0)} \ne N d T$.

Мне понравилось, что Вы различаете эти два случая. Я для себя их когда-то назвал сильной и слабой синхронизируемостью. Диск Эйнштейна не синхронизируем ни в сильном, ни в слабом смысле. Слабо синхронизируема, например, система отсчета Мёллера.
Общепринятых терминов не знаю.

[SergeyGubanov]

svv в сообщении #988195 писал(а):

Не накручиваем ли мы лишние километры?

Это я для той части аудитории, которая ничего не слышала про дифференциальные формы, но в то же время хорошо знает, что ротор градиента равен нулю.

svv в сообщении #988195 писал(а):

Я для себя их когда-то назвал сильной и слабой синхронизируемостью.

Домножение $dT$ на интегрирующий множитель $N$ сохраняет направление соответствующего касательного (в каждой точке) вектора, меняя лишь его абсолютную величину. Я бы назвал это конформной синхронизацией - синхронизацией выполняемой с точностью до конформного множителя.

[svv]

Да. А геометрически возможность конформной синхронизации — это существование семейства гиперповерхностей, ортогональных векторному полю $e_{(0)}$. Можно сказать и так, что векторы, касательные к гиперповерхности в точке, аннулируют форму $e^{(0)}$.