Распределение заряда на иголке.

[Sender]

Наткнулся на архиве на статью о задаче Томсона. Там, в числе прочего, утверждается, что оптимальное распределение зарядов на отрезке близко к равномерному, на концах имеет пики, а потенциальная энергия системы обладает асимптотикой $E_N=O(N^2 \ln N)$, где $N$ - число зарядов, что совпадает с асимптотикой равномерного распределения.

[amon]

Позволю себе еще чуть-чуть тривиальщины. Почему, на мой взгляд, то, что получается предельным переходом от, например, эллипсоида, - не решение. Попробуем плясать от уравнений Максвелла. Тогда $\Delta\varphi=4\pi\rho,$ и убывающее на бесконечности решение для хорошей функции $\rho$ будет

$$\varphi(x,y,z)=\int dV'\frac{\rho(x',y',z')}{\sqrt{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')^2}}$$

Пусть теперь $\rho=\delta(z)\rho(x,y)$. Тогда

$$\varphi(x,y,z)=\int dx'dy'\frac{\rho(x',y')}{\sqrt{z^2+(x-x')^2+(y-y')^2}}.$$

Эта штука прекрасно определена при $z\ne 0$ а также там, где $\rho=0$, и имеет предел $z\to 0$ почти во всех точках, где $\rho\ne 0$. Если не вру, это называется потенциал простого слоя. Имеется однозначная связь заряда и разрыва напряженности на слое, и все это позволяет считать двумерную поверхность пределом трехмерного тела.

Если, однако, мы возьмем $\rho=\delta(z)\delta(y)\rho(x),$ то ситуация изменится радикально. По-прежнему, в области $\rho=0$ работает формула для потенциала, но на самой иголке эта формула ломается полностью. IMHO, нет никакого способа связать плотность заряда на иголке с каким-либо пределом интеграла

$$\varphi(x,y,z)=\int dx'\frac{\rho(x')}{\sqrt{z^2+(x-x')^2+y^2}}.$$

Поэтому, предельные переходы от эллипсоидов к иголкам, по меньшей мере, сомнительны и требуют обоснования.

Если вместо сплошной иголки взять заряженные шарики (дискретные точечные заряды) на ниточке, то задача, IMHO, станет корректной, и иголка будет пределом распределения таких шариков. Наивная попытка сходу написать континуальный предел из соображений "в равновесии суммарная сила - ноль, и заряд сам на себя не действует" приводит к выше обсуждавшемуся патологическому уравнению с интегралом в смысле главного значения.

PS Изучение вопроса показывает, что drug39, по крайней мере иногда, тоже считает главное значение, но почему-то это тщательно скрывает.

[Munin]

drug39 в сообщении #982193 писал(а):

дельта-функции разные бывают прямоугольные, треугольные и др.

Оуч.

Бывает такая фраза, после которой уже сразу всё ясно.

-- 26.02.2015 04:53:18 --

amon в сообщении #982693 писал(а):

IMHO, нет никакого способа связать плотность заряда на иголке с каким-либо пределом интеграла

Надо поделить этот $\varphi$ на какую-то функцию $r=\sqrt{y^2+z^2},$ и тогда свяжете. В математике это, как я понимаю, тема смежная с теорией катастроф, в физике - с каустиками и фазовыми переходами.

[Red_Herring]

amon в сообщении #982693 писал(а):

приводит к выше обсуждавшемуся патологическому уравнению с интегралом в смысле главного значения.

который как я объяснил тоже не существует (кроме $\rho=\mathsf{const}$).

[sup]

Провести некую регуляризацию (путем суммирования рядов) сравнительно легко. Но вот что из этого получится ...
Исходная задача (A)- куча одинаковых точечных зарядов на отрезке находится в равновесии. Неизвестны их координаты.
Похожая задача (B) - куча каких-то точечных зарядов расположены в узлах равномерной решетки на отрезке и находится в равновесии. Неизвестны заряды.
Задача (B) - формально существенно проще, поскольку сводится к системе линейных уравнений. Кстати, здесь же выясняется одна любопытная деталь. Решений много! Поскольку уравнений на 2 меньше чем зарядов. Поэтому надо произвольно задавать два заряда в самых крайних точках. Можно, конечно, воспользоваться симметрией задачи. Тогда произвол в одну константу. Ну или можно задавать какое-то доп. условие на краю. Примерно как у краевых задач с условиями Дирихле или Неймана. Тогда надо как-то обосновать что это за условие.
Если решение получится "гладким", то, скорее всего, можно ожидать, что задача (B) "хорошо" аппроксимирует задачу (A). Но если решение не гладкое, то мне не кажется очевидным, что эти задачи описывают одно и то же распределение заряда. Утундрий привел некие результаты, которые сигнализируют о негладкости решения. Так что вопрос о связи двух задач не слишком прост.

Так что же насчет регуляризации задачи (B)? Положим

$$S_k = \sum \limits_{j \geqslant k} \frac {1}{j^2}$$

При "больших" $k$ имеем $S_k \sim 1/(k - 0.5)$. Я буду использовать отрезок $[0,1]$. Обозначим заряд в точке $x = j/n$ через $q_j$. Тогда при $k = \overline{1,n-1}$ имеем уравнение

$$\sum \limits_{j \neq k} \frac {q_j}{(k-j)|k-j|} = 0$$

Обозначим $d_j = q_j - q_{j-1}$ и применим преобразование Абеля (вместо обратных квадратов подставим $S_l - S_{l+1}$)

$$-S_{k+1}q_0 + q_n S_{n-k+1} = \sum \limits_{j =1}^{k} S_j d_{k+1-j} + \sum \limits_{j =1}^{n-k} S_j d_{k+j}$$

Здесь идет симметрия относительно индекса $k+ \frac 12$. Стоит отметить, что по сути мы проинтегрировали по частям и понизили порядок особенности. Непрерывный аналог этого дискретного уравнения такой

$$-\frac {q_0}{x} + \frac {q_n}{1-x} = \int \frac {q'(y) dy}{|x-y|}$$

Теперь уже неизвестные - $d_j$. Дальше можно проделать этот трюк еще один раз. Получим в ядре что-то похожее на логарифмы. И вот здесь уже можно пытаться писать непрерывный аналог.
А можно моделировать уравнением ($\varepsilon = \frac {1}{2n}$)

$$-\frac {q_0}{x+\varepsilon} + \frac {q_n}{1-x+\varepsilon} = \int \frac {q'(y) dy}{|x-y|+\varepsilon}$$

или

$$-\frac {q_0}{x+\varepsilon} + \frac {q_n}{1-x+\varepsilon} = \int \limits_{|x-y| > \varepsilon}\frac {q'(y) dy}{|x-y|}$$

Так что какую-то регуляризацию провести можно. Однако в уравнениях возникают старшие производные, а они, возможно, не суммируемые. Так что хрен редьки не слаще. Видимо простой асимптотики может и не быть. Ну, например, возникают какие-нибудь агрегаты вида $\frac {1}{\sqrt {x + \frac 1n}}$. В пределе особенность, но для каждого конкретного $n$ особенности нет.
Но, еще раз повторю, мне уже не кажется очевидным, что задачи $(A)$ и $(B)$ дают "одинаковое" распределение зарядов. В центре иглы - да, равномерное. Но вот на концах - не понятно.

[drug39]

Munin в сообщении #982721 писал(а):

Бывает такая фраза, после которой уже сразу всё ясно

Munin, так Вы поняли или опять анекдот захотелось рассказать?..

amon в сообщении #982693 писал(а):

PS Изучение вопроса показывает, что drug39, по крайней мере иногда, тоже считает главное значение, но почему-то это тщательно скрывает.

Разумеется, интеграл понимается в главном смысле. Без этого невозможна краевая задача. Но здесь до сих пор не прозвучала правильная постановка краевой задачи, сколько я не подсказываю. А все чегота решают.

[Sender]

sup в сообщении #982757 писал(а):

Задача (B) - формально существенно проще, поскольку сводится к системе линейных уравнений.

Если мы будем минимизировать потенциальную энергию, не будет ли оптимальным решением единственный заряд? (ну или 2 заряда на концах, если они там приклеены)

[sup]

Я поначалу задал такой же вопрос Red_Herring
Потом уже сообразил, что так действительно можно ставить задачу. Речь идет не о минимизации энергии, а о таком выборе зарядов, чтобы они сами нашли равновесие в узлах равномерной решетки. Ну вот для примера. Фиксируем два крайних заряда равных 1. А между ними помещаем два маленьких заряда. Тогда эта четверка на отрезке расположится так, что два заряда по краям, а два близко к центру. Начинаем увеличивать промежуточные заряды. Они начнут потихоньку отходить от центра. И в какой то момент окажутся в узлах равномерной решетки. Это и есть решение нашей задачи.
На этом примере видно, что решение зависит от одного параметра - заряда на конце.
Я в предыдущем посте немного сглупил. Решения очевидно определены с точностью до множителя. Так что можно без потери общности считать заряды на концах иглы заданными.

[svv]

drug39 в сообщении #982803 писал(а):

Но здесь до сих пор не прозвучала правильная постановка краевой задачи, сколько я не подсказываю.

А если попросить Вас, Вы её озвучите? Прошу Вас, сформулируйте, пожалуйста.

[amon]

Red_Herring в сообщении #982735 писал(а):

который как я объяснил тоже не существует

Дык я и говорю, что это не уравнение, а сплошная патология.

drug39 в сообщении #982803 писал(а):

правильная постановка краевой задачи

Ну так не томите - поделитесь. drug39, лично я пока не стал полностью игнорировать Ваши посты, поскольку они являют собой удивительную смесь пурги типа "треугольной дельта-функции" и неточных утверждений, содержащих иногда правильные и не тривиальные кусочки. Это говорит либо о Ваших незаурядных способностях при отсутствии систематического образования, либо об изощренном троллинге. Помогите разобраться.

sup в сообщении #982821 писал(а):

Речь идет не о минимизации энергии, а о таком выборе зарядов, чтобы они сами нашли равновесие в узлах равномерной решетки.

А я чего-то, наоборот, начал сомневаться в эквивалентности задачи "раскидали одинаковые заряды по отрезку" и задачи о равновесии в узлах регулярной решетки. В первой задаче на концы встали два единичных заряда, не участвующих в дальнейших манипуляциях (это, как я понимаю, то, на что все время намякивает drug39). Во втором подходе с равномерной сеткой концевые заряды надо фиксировать (видимо, единичными, если хотим соответствия задаче с разбросанными единичными). Неплохо было бы на компутере прикинуть одинаковое ли получается распределение, но мне пока лень (старая программа, даже если ее найти, была на фортране).

По поводу регуляризации уравнения $\int \frac {q(x')}{(x-x')|x-x'|}dx' = 0.$ Как нас все время учит Red_Herring, оно бессмысленное, но если про это забыть, то его можно пару раз проинтегрировать в пределах отрезка ($\int\limits_{-1}^{y<1}dx\dots,$ справа - ноль, его сколько не интегрируй, он нулем и останется), то получится вполне себе сходящийся интеграл, правда, боюсь, столь же бессмысленный как и исходный.

[sup]

amon в сообщении #982835 писал(а):

А я чего-то, наоборот, начал сомневаться в эквивалентности задачи "раскидали одинаковые заряды по отрезку" и задачи о равновесии в узлах регулярной решетки.

Вот и я об том же.

sup в сообщении #982757 писал(а):

Но, еще раз повторю, мне уже не кажется очевидным, что задачи $(A)$ и $(B)$ дают "одинаковое" распределение зарядов.

Задача о равновесии выглядит несколько проще. Регуляризация, о которой я говорил, в принципе работает и приводит к каким то странным уравнениям с малым/большим параметром. Я тут вижу следующий путь. Сначала "угадаем" характер решения. Как-то там обоснуем догадку. Затем, зная распределение плотности заряда в задаче $B$, находим распределение расстояний между зарядами $A$ (обратная зависимость плотности и расстояний). А уж затем проверяем, что получилось действительно решение задачи $A$. Ну или не получилось.

[Munin]

drug39 в сообщении #982803 писал(а):

Munin, так Вы поняли или опять анекдот захотелось рассказать?..

Какие уж тут анекдоты...

amon в сообщении #982835 писал(а):

А я чего-то, наоборот, начал сомневаться в эквивалентности задачи "раскидали одинаковые заряды по отрезку" и задачи о равновесии в узлах регулярной решетки.

Они будут эквивалентны, если оба аппроксимируют задачу, в конечном счёте хорошую (хотя пока ещё не сформулированную).

[drug39]

svv в сообщении #982834 писал(а):

Прошу Вас, сформулируйте, пожалуйста.

amon в сообщении #982835 писал(а):

... Ну так не томите - поделитесь.

Обсуждалось уже. Кратко могу сказать, что нужно ещё задаться скачками потенциала на концах отрезка.
Кстати, этими скачками нужно задаваться и при логарифмическом потенциале, но тогда их можно устремить к нулю и занулить, а при Ньютоновом потенциале их принципиально занулить нельзя.

[amon]

Munin в сообщении #982846 писал(а):

Они будут эквивалентны, если оба аппроксимируют задачу, в конечном счёте хорошую (хотя пока ещё не сформулированную).

И то, и другое - хорошие (в смысле - не патологические) физические задачи. Первая - взяли нитку и повесили на нее маленькие заряженные шарики. Как шарики расставят сами себя на нитке? Вторая - есть тоненькая система, в которой равномерно распределены ловушки заряда неограниченной емкости (так устроены настоящие квазиодномерные системы). Как распределится избыточный заряд по таким ловушкам, если подождать достаточно долго? Вопрос, IMHO, в том, одинаковые или разные решения имеют эти задачи в пределе больших $N$.

drug39 в сообщении #982850 писал(а):

Обсуждалось уже
.

И что там обсуждалось? Как устроено поле и потенциал на "поверхности" одномерной иголки? Отвечаю - ни как не устроено, они не определены (для внешней задачи). Что к решению уравнения $\int_{-h/2}^{h/2} \tau(x)\frac{x-\xi}{|x-\xi|^3} dx=0 $ надо добавить дельта-функцию? Так у этого уравнения не то, что решения - смысла математического пока не видно. Хотите конструктивно участвовать - постарайтесь доводить мысли до проверяемого ответа как Red_Herring или sup, иначе с Вами разговаривать перестанут, и станете Вы очередным непризнанным гением - оно надо?

[Munin]

amon в сообщении #982855 писал(а):

И то, и другое - хорошие (в смысле - не патологические) физические задачи.

Сами по себе да. Вопрос в том, к какому пределу они стремятся.