Распределение заряда на иголке.

[amon]

Есть такие электростатические из серии "must have". Одна из них - задача о статическом распределении заряда металлического тела. Ответ известен практически всем. Заряд распределится по поверхности, объемный заряд - ноль, а поверхностное распределение заряда определяется интегральным уравнением, приведенным в некоторых учебниках. Менее известна задача о том, как распределится заряд на 2D поверхности. Для бесконечной полоски конечной ширины каждый сам может его найти, а особо продвинутые - вспомнить в этом месте решение граничной задачи Гильберта. Для прямоугольной полоски задача, насколько я помню, эквивалентна задаче Прандаля об обтекании прямоугольного крыла конечного размаха, т.е. решение существует, но не известно.

Казалось бы, то, с чего эта деятельность должна начинаться - учебная задача для дебилов и олигофренов о распределении заряда на одномерной иголке. Я ее сформулирую. Имеется металлический отрезок $[-1,1]$. На него положили заряд $Q$. Как распределится заряд? Т.е. какая будет функция $\rho(x)$, ограниченная условием

$$\int\limits_{-1}^{1}\rho(x)dx=Q.$$

Я угробил на эту задачку некоторое количество времени, но ответа не получил и, пока, свои измышления не покажу. Хотелось бы узнать мнение знающих и опытных, если таковые этой ерундой заинтересуются.

PS Модераторам. Не знал, где разместить. Перенесите, пожалуйста, по своему усмотрению вплоть до Пургатория включительно.

Pphantom:

Все правильно, пусть тут и остается.

[Munin]

(Оффтоп)

По-моему, такие обсуждения как раз подходят для корневого раздела.

Как насчёт задачки попроще (imho)? Возьмём бесконечный конус (однополостной), может, на нём можно найти распределение заряда? А потом устремить угол раствора к нулю. Другой подход к иголке - взять предел от эллипсоида. Они могут быть неэквивалентными, в том смысле, что соответствуют разным "распределениям бесконечно малой толщины вдоль длины".

[odelschwank]

Я не знающий и не опытный, но могу накидать ссылок (это из википедии, из статьи про электрическую емкость):

Maxwell, J. C. (1878). «On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness». Proc. London Math. Soc. IX: 94–101
Vainshtein, L. A. (1962). «Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas». Zh. Tekh. Fiz. 32: 1165–1173.
Jackson, J. D. (2000). «Charge density on thin straight wire, revisited». Am. J. Phys 68 (9): 789–799

В последней работе якобы показывается, что распределение в пределе нулевой толщины не зависит от формы.

[amon]

Munin в сообщении #980048 писал(а):

Другой подход к иголке - взять предел от эллипсоида

Получится $\rho=\operatorname{const}$. Согласитесь, странноватый ответ, и с другими не согласуется.

[Munin]

Хм. Ещё предложение. Возьмём цепочку точечных зарядов, соединённых между собой через пружинки. И найдём их равновесное положение. Потом предел $n\to\infty,$ и потом предел, в котором жёсткость пружинок стремится к нулю.

[amon]

Munin в сообщении #980057 писал(а):

Возьмём цепочку точечных зарядов, соединённых между собой через пружинки.

А тут, наверно, и пружинки не нужны. Просто насыпаем заряды и ищем положение равновесия. Только конфигурация резко меняется в зависимости от того, четное или нечетное число зарядов. Эту задачу я не знаю как решать, хотя золотой ключик наверняка здесь. Можно написать континуальный предел, но я пока не хочу, поскольку, боюсь, начнется обсуждение возможных решений этого уравнения, а я не уверен, что оно правильное, и надеюсь, что вдруг кто-то что-то другое напишет.

-- 19.02.2015, 03:40 --

odelschwank в сообщении #980051 писал(а):

ackson, J. D. (2000). «Charge density on thin straight wire, revisited». Am. J. Phys 68 (9): 789–799

Спасибо, не видел. Гляну.

[Munin]

amon в сообщении #980061 писал(а):

А тут, наверно, и пружинки не нужны. Просто насыпаем заряды и ищем положение равновесия.

Ну, пружинки были введены для того, чтобы сделать задачу более "хорошего поведения". Если без них решается - то и замечательно.

amon в сообщении #980061 писал(а):

Только конфигурация резко меняется в зависимости от того, четное или нечетное число зарядов.

Странно, почему? Заряды одного знака, я подразумевал. Два заряда на концах отрезка зафиксированы.

[Red_Herring]

Проблема в том, что "непосредственно" эта задача смысла не имеет. Действительно, в такой наивной постановке нам следовало бы минимизировать энергию $\frac{1}{2}\iint_{0}^{1}\rho(x)\rho(y)|x-y|^{-1}\,dxdy$ при условии $\int_0^1 \rho(y)\,dy=Q$, что должно бы привести к задаче о постоянстве потенциала $\int_0^1 \rho(y)|x-y|^{-1}\,dy = c$. К сожалению, все одномерные интегралы содержащие $|x-y|^{-1}$ расходятся логарифмически при $x=y$. Тогда, если мы рассмотрим задачу как предел трехмерной (или двумерной) с толщиной порядка $\varepsilon \to +0$ то регуляризованная таким образом энергия будет $D(\rho) |\log\varepsilon|+O(1)$ с $D= \int_0^1 \rho^2(x)\,dx $ причём вне зависимости от формы тела (лишь бы оно сохраняло её утончаясь). Тогда естественно стараться минимизировать $D(\rho)$ и стараться доказать что результат сходится именно к этому. Но здесь действительно минимайзером $D(\rho)$ при $\int_0^1 \rho(y)\,dy=Q$ будет $\rho=Q$

Вот резюме статьи Джексона (вообще, он же писал в том же журнале на ту тему раньше, и другие тоже).

Цитата:

The question of the equilibrium linear charge density on a charged straight conducting “wire” of finite length as its cross-sectional dimension becomes vanishingly small relative to the length is revisited in our didactic presentation. We first consider the wire as the limit of a prolate spheroidal conductor with semi-minor axis a and semi-major axis c when a/c<<1. We then treat an azimuthally symmetric straight conductor of length 2c and variable radius r(z) whose scale is defined by a parameter a. A procedure is developed to find the linear charge densityλ(z) as an expansion in powers of 1/Λ, where Λ≡ln(4c2/a2), beginning with a uniform line charge densityλ0. We show, for this rather general wire, that in the limit Λ>>1 the linear charge density becomes essentially uniform, but that the tiny nonuniformity (of order 1/Λ) is sufficient to produce a tangential electric field (of order Λ0) that cancels the zeroth-order field that naively seems to belie equilibrium. We specialize to a right circular cylinder and obtain the linear charge density explicitly, correct to order 1/Λ2 inclusive, and also the capacitance of a long isolated charged cylinder, a result anticipated in the published literature 37 years ago. The results for the cylinder are compared with published numerical computations. The second-order correction to the charge density is calculated numerically for a sampling of other shapes to show that the details of the distribution for finite 1/Λ vary with the shape, even though density becomes constant in the limit Λ→∞. We give a second method of finding the charge distribution on the cylinder, one that approximates the charge density by a finite polynomial in z2 and requires the solution of a coupled set of linear algebraic equations. Perhaps the most striking general observation is that the approach to uniformity as a/c→0 is extremely slow.

[Red_Herring]

Если делать дискретную модель, то такую: в точках $x_n=nh$ заряды $\rho_n h$, чтобы $\sum_n \rho_n h= Q$ и $J:=\frac{1}{2}\sum_{m\ne n}\rho_m \rho_n |m-n|^{-1} h$ была минимальной. Опять-таки, предполагая что $|\rho_m-\rho_n|=O((|m-n|h)^\delta)$ можно полазать, что $J=\sum_m \rho_n^2h|\log h| +O(1)$ и тогда $\rho_n\to Q$ при $h\to 0$.

В этой модели и в модели сжатия поверхности в иглу прямизна иглы несущественна.

[Munin]

Заряды-"сообщающиеся сосуды"?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #980114 писал(а):

Заряды-"сообщающиеся сосуды"?

Ну да, в "дискретной модели". Но зато с фиксированными позициями

[amon]

Все-таки напишу "свое" уравнение. Обсуждать готов буду позже.

$$VP\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=0$$

[Someone]

Эта задача, по-моему, обсуждалась: Заряженная жидкость на линейке.

[Red_Herring]

Someone в сообщении #980216 писал(а):

Эта задача, по-моему, обсуждалась: Заряженная жидкость на линейке.

Ну да, обсуждалась. На первой странице писались расходящиеся интегралы причём без разъяснения как их понимать, на остальных больше ругались. Впрочем кто-то поминал о расходимости интегралов и необходимости регуляризовать, но это сводилось к вычитанию самодействия на стр 8 что при логарифмической расходимости как мертвому припарки.

И задача изначально была другая: конечное число точечных зарядов, что снимает вопрос трактовки, но делает сложнее решение. Должен отметить, что в той статье Amer. J. Phys. (судя по реферату) не просто находится предел, но также и поправки (а в них и форма иглы и форма окружающей трубки—равномерной ли толщины или нет и.т.д.) играют роль.

[drug39]

Не могу не заметить, что тема ещё обсуждалась здесь.