Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...

[svv]

Превосходный ответ — на вопрос «когда возникает?».
А на вопрос «каков механизм?»?

[Someone]

Don-Don в сообщении #977680 писал(а):

ИСН в сообщении #977675 писал(а):

Верно, только всё немножко наоборот. Вот, например, $30=2^1\cdot3^1\cdot5^1$. Сколько делителей у числа 30?

Спасибо.

$6$ делителей.

$n=(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Теперь будет верно?

Вы хотите сказать, что $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=6$? И, кстати, перечислите все делители числа $30$.

С решением Вы как-то мудрите, по-моему.
Ясно, что количество нулей на "конце" десятичной записи произведения определяется количествами двоек и пятёрок в разложении числа на простые множители, а остальные простые делители играют второстепенную роль. Вот и запишем число $N$ в виде $N=A\cdot 2^{k_1}\cdot 5^{k_2}$, где натуральное число $A$ не делится ни на $2$, ни на $5$, и пусть оно имеет $m$ делителей $d_1,d_2,\ldots,d_m$. Как записать произвольный делитель числа $N$? Сколько их? Чему равно их произведение?

[Don-Don]

svv в сообщении #977773 писал(а):

Превосходный ответ — на вопрос «когда возникает?».
А на вопрос «каков механизм?»?

Это когда в разложении на простые множители у какого-то множителя четная степень.
Потому как он участвовать в произведении может только один раз, потому и возникает такая ситуация, верно?

-- 13.02.2015, 18:21 --

Кстати, а можно ли как-то доказать, что количество делителей натурального числа $N$ при разложении на простые множители

$N=2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$

будет равно $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Считается ли это общеизвестным фактом?

-- 13.02.2015, 18:23 --

Теперь будет верно?[/quote] Вы хотите сказать, что $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=6$? И, кстати, перечислите все делители числа $30$.

Делители: $1,2,5,6,30,10,3,15$

Небольшая накладочка выходит, пока что не знаю -- как ее разрулить

[svv]

Как ИСН уже намекал, Вы усложняете.
Подсказка — Ваши же слова:

Don-Don в сообщении #977737 писал(а):

Если число делителей четно, то их можно разбить на пары

Что может помешать разбить на пары?

[Don-Don]

Нечетное число делителей, писал уже об этом

[ИСН]

Когда оно бывает?

[Someone]

Don-Don в сообщении #977806 писал(а):

Нечетное число делителей, писал уже об этом

В каком случае число делителей $(k_1+1)(k_2+1)\cdot(k_p+1)$ будет нечётным? И чему равен этот делитель, не имеющий пары?

Don-Don в сообщении #977778 писал(а):

Считается ли это общеизвестным фактом?

Ну, факт-то этот весьма простой… Рассмотрите для начала случай, когда простых множителей всего два, расположите делители в виде прямоугольной таблицы… Там и увидите.

[provincialka]

Don-Don в сообщении #977778 писал(а):

$N=2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$

будет равно $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Считается ли это общеизвестным фактом?

Да, если вы правильно напишете индексы.

Don-Don в сообщении #977778 писал(а):

Небольшая накладочка выходит, пока что не знаю -- как ее разрулить

Ну, как... $2\cdot2\cdot 2 = ...$ Чему?

[Don-Don]

Ахахаха; ) ясно) спасибо

[svv]

Someone в сообщении #977833 писал(а):

И чему равен этот делитель, не имеющий пары?

[ИСН]

ИСН в сообщении #977827 писал(а):

Когда оно бывает?

[provincialka]

(Оффтоп)

А на кружке (когда еще вела) давала такую задачу: карточки с номерами выкладываем по возрастанию, обратной стороной. Потом переворачиваем каждую первую. Потом - каждую вторую. Потом -- каждую третью. И так далее. Какие карточки оказываются в конце "лицом"? Почему? Получается очень наглядно.

[svv]

Тренер школьного шахматного кружка раздал каждому юному шахматисту по карточке, на которой был записан некоторый делитель числа 36. Каждый делитель встречался на одной из карточек ровно один раз. Далее каждая пара шахматистов, у которых произведение чисел было 36, должны были сыграть учебную партию. Вася пришёл домой в слезах и заявил, что больше в этом кружке заниматься не будет. Что произошло?

[nnosipov]

svv в сообщении #978293 писал(а):

Вася пришёл домой в слезах и заявил, что больше в этом кружке заниматься не будет.

Кстати, а зачем разбивать делители на пары? Можно ведь написать ряд всех делителей по возрастанию, а потом его же, но в обратном порядке. И перемножить всё это. (Кажется, этому трюку мы обязаны Гауссу.)

[Don-Don]

Получается, что вне зависимости от четности количества делителей, их произведение равно $N^{\frac{k}{2}}$ (где $k$ -- количество делителей).
Тогда произведение всех делителей будет заканчиваться $\dfrac{nk}2$ нулями, где $n$ -- количество нулей на конце числа $N$.

Тогда $nk=798$ (по условию задачи). Но $798=nk\ge n(n+1)^2>n^3$. Тогда $10^3>798>n^3$. Значит $n<10$.

При этом $798$ делится не только на $n$, но и на $n+1$. Потому возможные варианты $n=1,2,6$.

При $n=1$ получаем $k=798$

При $n=2$ получаем $k=399$

При $n=3$ получаем $k=133$

Пока что такие варианты. А как найти теперь степени двоек и пятерок в разложении на простые множители числа $n$?

-- 15.02.2015, 18:43 --

ИСН в сообщении #977827 писал(а):

Когда оно бывает?

Когда $N=d^2$