2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 13:59 


04/03/14
176
Произведение всех делителей некоторого натурального числа $N$ заканчивается на $399$ нулей.
На сколько нулей может заканчиваться число $N$?

Если разложить на простые множители

$N=2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$

Ясно, что тут завязано все на игре с $2$ и $5$.

Я пока что вижу вот что.$N$ имеет $m$ нулей в 2 случаях

1) если $k_2=m$, при этом $k_5\ge m$

2) если $k_5=m$, при этом $k_2\ge m$

Число делителей числа $N$ будет равно $n=(k_1\cdot k_2\cdot ...\cdot k_p)+1$.

Верно, если да, то как дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
Верно, только всё немножко наоборот. Вот, например, $30=2^1\cdot3^1\cdot5^1$. Сколько делителей у числа 30?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 14:22 


04/03/14
176
ИСН в сообщении #977675 писал(а):
Верно, только всё немножко наоборот. Вот, например, $30=2^1\cdot3^1\cdot5^1$. Сколько делителей у числа 30?


Спасибо.

$6$ делителей.

$n=(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Теперь будет верно?

Если да, то и в 1) и, и во 2) ситуации:

1) Число $N$ имеет $m$ нулей, если $k_2=m$, при этом $k_5\ge m$

2) Число $N$ имеет $m$ нулей, если $k_5=m$, при этом $k_2\ge m$

Справедлива оценка $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)\ge (m+1)^2$

Верно? Если да, то как дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
Ну, попробуйте посчитать, сколько будет двоек и пятерок в "новом" числе $P(N)$. Кстати, можно рассмотреть только один случай (например, двоек больше), второй рассматривается аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 14:35 


04/03/14
176
provincialka в сообщении #977681 писал(а):
Ну, попробуйте посчитать, сколько будет двоек и пятерок в "новом" числе $P(N)$. Кстати, можно рассмотреть только один случай (например, двоек больше), второй рассматривается аналогично.

А что это за новое число $P(N)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11485
Казань
Don-Don в сообщении #977685 писал(а):
А что это за новое число $P(N)$?

Don-Don в сообщении #977673 писал(а):
Произведение всех делителей некоторого натурального числа $N$

Вы же его никак не обозначили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
Не надо, не надо считать двоек. Чему вообще равно это произведение всех делителей $N$? Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 15:51 


04/03/14
176
ИСН в сообщении #977692 писал(а):
Не надо, не надо считать двоек. Чему вообще равно это произведение всех делителей $N$? Да.

В смысле -- чему? Некоторому натуральному числу, у которого такие же простые множители, но, вероятно в других степенях...
$2^{l_2}3^{l_3}5^{l_5}...p^{l_p}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
Это хорошо. Но в каких степенях?
(Ну и... я вообще не думал бы об этом в терминах простых множителей. Но это уж как хотите.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 16:27 


04/03/14
176
ИСН в сообщении #977719 писал(а):
Это хорошо. Но в каких степенях?
(Ну и... я вообще не думал бы об этом в терминах простых множителей. Но это уж как хотите.)

Если число делителей четно, то их можно разбить на пары $(d_i;\frac{N}{d-i})$.
Тогда произведение будет равно $N^{0,5n}$

А если нечетное, то не понятно -- как, а может ли вообще быть нечетное число делителей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 16:29 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
В исключительных случаях. А в каких?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13176
с Территории
Don-Don в сообщении #977737 писал(а):
Тогда произведение будет равно $N^{0,5n}$
Ну да, так и есть.
Don-Don в сообщении #977737 писал(а):
а может ли вообще быть нечетное число делителей?
Тоже очень интересный вопрос. Задумайтесь над этим. Попробуйте для примера ощупать какие-нибудь небольшие числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 16:41 


04/03/14
176
Например, $4$, его делители $1,2,4$. Значит может быть. Ну хорошо, пусть $n$ --нечетно. Тогда $n-1$ -- четно.
Тогда произведение будет равно $N^{0,5(n-1)}\cdot d_n$. Но как учесть этот последний делитель?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:04 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
А в каких случаях он возникает? Каков механизм его возникновения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:08 


04/03/14
176
svv в сообщении #977763 писал(а):
А в каких случаях он возникает? Каков механизм его возникновения?

Мне кажется, что когда $N$ является квадратом некоторого числа. Только в этих случаях. А как доказать, что других нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group