2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:10 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Превосходный ответ — на вопрос «когда возникает?».
А на вопрос «каков механизм?»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
Don-Don в сообщении #977680 писал(а):
ИСН в сообщении #977675 писал(а):
Верно, только всё немножко наоборот. Вот, например, $30=2^1\cdot3^1\cdot5^1$. Сколько делителей у числа 30?


Спасибо.

$6$ делителей.

$n=(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Теперь будет верно?
Вы хотите сказать, что $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=6$? И, кстати, перечислите все делители числа $30$.

С решением Вы как-то мудрите, по-моему.
Ясно, что количество нулей на "конце" десятичной записи произведения определяется количествами двоек и пятёрок в разложении числа на простые множители, а остальные простые делители играют второстепенную роль. Вот и запишем число $N$ в виде $N=A\cdot 2^{k_1}\cdot 5^{k_2}$, где натуральное число $A$ не делится ни на $2$, ни на $5$, и пусть оно имеет $m$ делителей $d_1,d_2,\ldots,d_m$. Как записать произвольный делитель числа $N$? Сколько их? Чему равно их произведение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:18 


04/03/14
176
svv в сообщении #977773 писал(а):
Превосходный ответ — на вопрос «когда возникает?».
А на вопрос «каков механизм?»?

Это когда в разложении на простые множители у какого-то множителя четная степень.
Потому как он участвовать в произведении может только один раз, потому и возникает такая ситуация, верно?

-- 13.02.2015, 18:21 --

Кстати, а можно ли как-то доказать, что количество делителей натурального числа $N$ при разложении на простые множители

$N=2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$

будет равно $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Считается ли это общеизвестным фактом?

-- 13.02.2015, 18:23 --

Теперь будет верно?[/quote] Вы хотите сказать, что $(1+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=6$? И, кстати, перечислите все делители числа $30$.

Делители: $1,2,5,6,30,10,3,15$

Небольшая накладочка выходит, пока что не знаю -- как ее разрулить

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:28 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Как ИСН уже намекал, Вы усложняете.
Подсказка — Ваши же слова:
Don-Don в сообщении #977737 писал(а):
Если число делителей четно, то их можно разбить на пары
Что может помешать разбить на пары?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:43 


04/03/14
176
Нечетное число делителей, писал уже об этом

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Когда оно бывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
Don-Don в сообщении #977806 писал(а):
Нечетное число делителей, писал уже об этом
В каком случае число делителей $(k_1+1)(k_2+1)\cdot(k_p+1)$ будет нечётным? И чему равен этот делитель, не имеющий пары?

Don-Don в сообщении #977778 писал(а):
Считается ли это общеизвестным фактом?
Ну, факт-то этот весьма простой… Рассмотрите для начала случай, когда простых множителей всего два, расположите делители в виде прямоугольной таблицы… Там и увидите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Don-Don в сообщении #977778 писал(а):
$N=2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$

будет равно $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot ...\cdot (k_p+1)$

Считается ли это общеизвестным фактом?
Да, если вы правильно напишете индексы.
Don-Don в сообщении #977778 писал(а):
Небольшая накладочка выходит, пока что не знаю -- как ее разрулить

Ну, как... $2\cdot2\cdot 2 =  ...$ Чему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 18:11 


04/03/14
176
Ахахаха; ) ясно) спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 18:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Someone в сообщении #977833 писал(а):
И чему равен этот делитель, не имеющий пары?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
ИСН в сообщении #977827 писал(а):
Когда оно бывает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение13.02.2015, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань

(Оффтоп)

А на кружке (когда еще вела) давала такую задачу: карточки с номерами выкладываем по возрастанию, обратной стороной. Потом переворачиваем каждую первую. Потом - каждую вторую. Потом -- каждую третью. И так далее. Какие карточки оказываются в конце "лицом"? Почему? Получается очень наглядно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение14.02.2015, 17:03 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Тренер школьного шахматного кружка раздал каждому юному шахматисту по карточке, на которой был записан некоторый делитель числа 36. Каждый делитель встречался на одной из карточек ровно один раз. Далее каждая пара шахматистов, у которых произведение чисел было 36, должны были сыграть учебную партию. Вася пришёл домой в слезах и заявил, что больше в этом кружке заниматься не будет. Что произошло?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение14.02.2015, 17:10 
Заморожен


20/12/10
5623
svv в сообщении #978293 писал(а):
Вася пришёл домой в слезах и заявил, что больше в этом кружке заниматься не будет.
:D

Кстати, а зачем разбивать делители на пары? Можно ведь написать ряд всех делителей по возрастанию, а потом его же, но в обратном порядке. И перемножить всё это. (Кажется, этому трюку мы обязаны Гауссу.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение делителей числа заканчивается на 399 нулей...
Сообщение15.02.2015, 17:41 


04/03/14
176
Получается, что вне зависимости от четности количества делителей, их произведение равно $N^{\frac{k}{2}}$ (где $k$ -- количество делителей).
Тогда произведение всех делителей будет заканчиваться $\dfrac{nk}2$ нулями, где $n$ -- количество нулей на конце числа $N$.

Тогда $nk=798$ (по условию задачи). Но $798=nk\ge n(n+1)^2>n^3$. Тогда $10^3>798>n^3$. Значит $n<10$.

При этом $798$ делится не только на $n$, но и на $n+1$. Потому возможные варианты $n=1,2,6$.

При $n=1$ получаем $k=798$

При $n=2$ получаем $k=399$

При $n=3$ получаем $k=133$

Пока что такие варианты. А как найти теперь степени двоек и пятерок в разложении на простые множители числа $n$?

-- 15.02.2015, 18:43 --

ИСН в сообщении #977827 писал(а):
Когда оно бывает?

Когда $N=d^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group