Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[DVN]

Mihr в сообщении #974717 писал(а):

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Повторю ещё раз: из того, что бесконечные множества равномощны, ещё не следует, что их разность - пустое множество.

Я ж тоже об этом: если множество положенных в ящик и вынутых из него шаров равномощно, это не означает, что ящик пуст.

-- Сб фев 07, 2015 09:40:53 --

Aritaborian в сообщении #974723 писал(а):

DVN в сообщении #974620 писал(а):

Но ведь множества вынутых и положенных шаров все равно равномощны, и если придерживаться единого подхода, о нужно утверждать что ящик тоже будет пустым.

Множества натуральных чисел и чётных натуральных чисел равномощны. Но первое минус второе даёт не пустое множество, а множество нечётных чисел, равномощное с ними. Бесконечность — хитрая штука.

Я же не утверждаю, что приведенная фраза истинна. Я просто настаиваю на единстве подхода к решению однотипных задач. Если это не соблюдать, а применять к одной задаче одну аксиому, а к другой подобной другую, прямо противоположную, с целью получить нужный ответ, то...

[Лукомор]

DVN в сообщении #974905 писал(а):

Я ж тоже об этом: если множество положенных в ящик и вынутых из него шаров равномощно, это не означает, что ящик пуст.

Вот более простая задача:
Есть ящик, в который помещается ровно два шара.
За минуту до полудня положим в ящик два шара и вытащим один из них.
В ящике останется шар №2.
За полминуты до полудня положим в ящик шар №3 и вытащим шар №2.
За треть минуты до полудня положим шар №4 и вынем шар №3.
продолжаем далее по алгоритму Литтлвуда до полудня.
Вопрос: Сколько шаров будет в ящике в полдень?!
Варианты ответов:
a) $0$
b) $0,5$
c) $1$
d) $1,5$
e) $2$
f) Другое количество.

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #974917 писал(а):

Сколько шаров будет в ящике в полдень?!

Если рассматривать помещение и вытаскивание шаров на каждом шаге как одномоментный акт, то в полдень в ящике будет 1 шар.
Если же предполагать разномоментность помещения и вытаскивания шаров, то просто отвечаем, что данная последовательность предела в полдень не имеет, т.к. она попеременно принимает значения 1 и 2 шара.

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #974922 писал(а):

Если рассматривать помещение и вытаскивание шаров на каждом шаге как одномоментный акт, то в полдень в ящике будет 1 шар.

Современная наука, однако, полагает, что все шары будут извлечены до полудня.
И после полудня в ящике будет ноль шаров. Или нуль шаров...

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #975009 писал(а):

Современная наука, однако, полагает, что все шары будут извлечены до полудня.

Мы рассматриваем предел последовательности. Последовательность эта полдня просто никогда не достигает. И любой её член, кроме первого, равен единице.
Рассуждать о том, сколько будет шаров ровно и после полудня можно, но это уже не будет теорией пределов, а неким произвольным допущением.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #115007 писал(а):

Грустно как-то всё это читать.
Есть такие замечательные конструкции, в которых техника перекладывания шаров по бесконечным ящикам доводится до совершенства. А тут какие-то настолько глупые споры разводят...
Вспоминается кто-то из древних греков, задавшийся неразрешимым вопросом:
«Что более нравственно: считать число звёзд на небе чётным или нечётным?»

P.S. Эх... Я до сих пор скучаю по Профессору...

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #975045 писал(а):

Рассуждать о том, сколько будет шаров ровно и после полудня можно, но это уже не будет теорией пределов, а неким произвольным допущением.

И всё же...
Мне непонятен механизм, позволяющий одномоментно уложить в ящик шар с номером $N+1$ и вынуть шар с номером $N$, таким образом, чтобы в ящике не осталось ни одного шара. Я верю в то, что это возможно, но не знаю, как такое может быть.

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #975298 писал(а):

Мне непонятен механизм, позволяющий одномоментно уложить в ящик шар с номером $N+1$ и вынуть шар с номером $N$, таким образом, чтобы в ящике не осталось ни одного шара.

Что Вы называете "механизмом"? У человека две руки. Правой он вынимает шар, левой - одномоментно - кладёт другой. Однорукий может попросить класть шар тёщу.
И почему "в ящике не осталось ни одного шара"? Вы ж сами сформулировали задачу:

Лукомор в сообщении #974917 писал(а):

За минуту до полудня положим в ящик два шара и вытащим один из них.
В ящике останется шар №2.
За полминуты до полудня положим в ящик шар №3 и вытащим шар №2.
За треть минуты до полудня положим шар №4 и вынем шар №3.

После каждого шага всегда в ящике $1$ шар. Что за упорное апеллирование к

Лукомор в сообщении #975009 писал(а):

Современная наука, однако, полагает, что все шары будут извлечены до полудня.
И после полудня в ящике будет ноль шаров.

Где "современная наука" подобное утверждает?

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #975302 писал(а):

Где "современная наука" подобное утверждает?

А что мы вообще сейчас обсуждаем?!
Задача Литтлвуда.
Ящик, в который укладываются шары и извлекаются шары.
В полдень ящик пуст.
В полночь черепаха догонит Ахиллеса.

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #974917 писал(а):

Есть ящик, в который помещается ровно два шара.
За минуту до полудня положим в ящик два шара и вытащим один из них.
В ящике останется шар №2.
За полминуты до полудня положим в ящик шар №3 и вытащим шар №2.
За треть минуты до полудня положим шар №4 и вынем шар №3.
продолжаем далее по алгоритму Литтлвуда до полудня.
Вопрос: Сколько шаров будет в ящике в полдень?!

Мы обсуждаем эту задачу.

[DVN]

Mihr в сообщении #974717 писал(а):

Как-то малопонятно. Вы имеете в виду, что Ахиллес кладёт шары в ящики А (1-й забег), В (2-й забег), а черепаха их перекладывает в Б (1-й забег), Г (2-й забег)? Так? И что в первом забеге черепаха всегда перекладывает шар с наименьшим номером, а во втором - с наибольшим?

Вы правильно поняли. Обе задачи уже обсуждались по отдельности. Вторую задачу (2-й забег) можно взять любую, для которой ящик не пустой, например, не трогать первый шар, брать всегда второй. Я просто провожу процесс паралельно.
Попробую детальнее.
Пусть в ящики А и В кладут одновременно по 10 шаров тем же макаром, как и у Литлвуда. Обозначим буквами Д и Е соответственно множество шаров в ящиках в полдень (если он наступит, как вы выражаетесь ). Мне представляется очевидным, что Д=Е. Если вы не согласны, то почему?
Далее. На следующий день из наполненных ящиков А и В перекладываем в ящики Б и Г соответственно по одному шару тем же макаром, как и у Литлвуда. Для меня очевидно, что Б=Г.
Теперь начнем с начала, ложить и вытаскивать шары будем одновременно. И вот тут мне говорят, множества Б и Г не равны: Ящик Б пуст, а в ящике Г есть шары (один или бесконечное множество, в зависимости от формулировки 2-го забега). Ну не верю я в такие чудеса.

Лукомор в сообщении #975298 писал(а):

atlakatl в сообщении #975045 писал(а):

Рассуждать о том, сколько будет шаров ровно и после полудня можно, но это уже не будет теорией пределов, а неким произвольным допущением.

И всё же...
Мне непонятен механизм, позволяющий одномоментно уложить в ящик шар с номером $N+1$ и вынуть шар с номером $N$, таким образом, чтобы в ящике не осталось ни одного шара. Я верю в то, что это возможно, но не знаю, как такое может быть.

Если вы верите в это, то как верующий человек, должны верить в чудо. Ибо только чудом такое возможно. Или "ловкость рук и никакого мошенства".

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #975305 писал(а):

Мы обсуждаем эту задачу.

Эта задача эквивалентна задаче Литтлвуда.
Или "найдите десять отличий".
К сожалению, мне сейчас несподручно отвечать, вечером дам полный ответ.

-- Вс фев 08, 2015 11:56:16 --

DVN в сообщении #975368 писал(а):

Если вы верите в это, то как верующий человек, должны верить в чудо. Ибо только чудом такое возможно. Или "ловкость рук и никакого мошенства".

Математика - это чудо!
Я верю в математику!
Но я не ученый, я инженер - "рядовой солдат науки".
И, как инженер, я должен "прочувствовать" "принцип работы" той или иной математической конструкции.
Если в апории Зенона "Ахиллес и черепаха" я этот механизм понимаю, и могу объяснить своими словами, объяснял уже неоднократно, то в задаче Литтлвуда, я вижу чудо, но не нахожу ему объяснения.
Может быть, просто потому, что Теория Множеств бесполезна для практического применения.

[arseniiv]

Лукомор в сообщении #975368 писал(а):

Математика - это чудо!
Я верю в математику!
Но я не ученый, я инженер - "рядовой солдат науки".
И, как инженер, я должен "прочувствовать" "принцип работы" той или иной математической конструкции.

Какой конструкции? Определите сначала задачу чётко. На языке той самой теории множеств. Чтобы никаких шаров и полудней. Задача недоопределена (и я не понимаю, как можно эту тему в очередной раз так долго жевать, но это я — я вообще многого не понимаю).

-- Вс фев 08, 2015 20:57:35 --

P. S. И черепах с Ахиллесами тоже никаких.

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #975305 писал(а):

Мы обсуждаем эту задачу.

Прекрасно, я уже готов показать, что эта задача, и классическая задача Литтлвуда ничем не отличаются, за исключением несущественных деталей.
Я лишь доработаю напильником слегка усовершенствую конструкцию самого ящика для шаров, дабы шарики не терялись.
Итак я беру ящик, разделенный перегородками на бесконечное число рядов.
Каждый ряд состоит из девяти ячеек, в каждую ячейку может поместиться не более двух шаров.
За минуту до полудня я заполняю шарами первый ряд ячеек.
В первую ячейку первого ряда я положу шар с номером $1$, и так далее, всего девять шаров в девять ячеек первого ряда, по одному в каждую ячейку.
Десятый шар я положу в первую ячейку, и сразу же выну из нее первый шар.
Итак, первый ряд заполнен шарами, девять шаров в девяти ячейках вот так:
$\parallel {10}\parallel {2}\parallel {3}\parallel {4}\parallel {5}\parallel{6}\parallel {7}\parallel {8}\parallel {9}\parallel$.
За полминуты до полудня заполняем второй ряд из девяти ячеек шарами с номерами от $11$ до $19$, а двадцатый шар кладем во вторую ячейку первого ряда, и из этой ячейки вынимаем шар №$2$.
Заполнено, таким образом, уже два ряда по 9 ячеек:
$\parallel {10}\parallel {20}\parallel {03}\parallel {04}\parallel {05}\parallel{06}\parallel {07}\parallel {08}\parallel {09}\parallel$
$\parallel {11}\parallel {12}\parallel {13}\parallel {14}\parallel {15}\parallel{16}\parallel {17}\parallel {18}\parallel {19}\parallel$.
Аналогично заполняем следующие ряды, например, десятый ряд ячеек заполняем шарами с номерами $91\dots 99$, а сотый шар положим в первую ячейку первого ряда, и вынем из нее десятый шар...
Итак, мы каждый раз заполняем один ряд ячеек, а десятый шар с номером $10\cdot N$ кладем в ту ячейку, из которой вынимаем шар с номером $N$.
В результате такой созидательной деятельности мы каждый раз заполняем девять новых ячеек, но ни одна ячейка не освобождается. Никогда.
Рассмотрим, например первую ячейку первого ряда.
Мы кладем туда шары с номерами $1$ и $10$, и сразу же вынимаем шар номер $1$.
Когда приходит время, мы положим в эту ячейку шар номер $100$ и в тот же момент вынем шар №$10$. В ячейке, таким образом всегда будет минимум один шар, поскольку моменты вложения туда шара с номером $10\cdot N$ и выемки оттуда шара $N$ всегда совпадают.
Сказанное относится к любой ячейке любого ряда, и к любому моменту времени. Ни одна ячейка не может быть освобождена, новые ячейки исправно заполняются.
Тем не менее в полдень ящик пуст, все шары оказываются извлечены из ящика.
Но каким образом ???!!!

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #975623 писал(а):

Сказанное относится к любой ячейке любого ряда, и к любому моменту времени. Ни одна ячейка не может быть освобождена, новые ячейки исправно заполняются.
Тем не менее в полдень ящик пуст, все шары оказываются извлечены из ящика.
Но каким образом ???!!!

Ваши хитрые перекладывания просто финт руками, не больше.
Действительно, мы в каждую $1/n$-минуты до полдня кладём в ящик $10$ шаров и вынимаем $1$ шар с номером $n$.
Так что Вам не нравится в утверждении, что ровно в полдень в ящике будет пусто?
Для подтверждения просто назовите любой номер шара, - и сразу узнаете, в какой момент до полудня он исчезнет из ящика. А если любой шар из ящика исчезает до полудня, то как в ящике может что-то остаться?
Ряды у Вас, говорите, заполняются последовательно... Подождите, ещё не вечер не полдень, дойдёт дело и до них. Шагов у нас бесконечно много, спешить некуда. До всех доберёмся.