Попробуем по другому. В метрике Крускала нет никакого

- есть только

.
И тут ведущий поля чудес заявляет: "Нет такой буквы в алфавите!!!"
Не надо, знаете ли, путать хрен с пальцем.
В метрике Крускала нет координаты с названием

.
А теперь взгляните на физический смысл той буковки

, которую пишут в метрике Крускала.
Это корень квадратный из площадь пространственной сферы на которой находится точка, деленной на четыре пи.
Вот записанное вами выражение:
А вот подчеркнём "что-то ещё, кроме констант":
где
выражается неявно через
как решение уравнения (МТУ: 31.14б):

Достаточно?
Munin, вы меня удивляете. Это вы от того, что облом думать, такие перлы выдаете? Или на полном серъезе?
Предположим у нас есть некоторая функция

. Поисследуем ее. Ну можно взять ее производную

. Вы прекрасно знаете, что если

для всех

, то мы

называем константой.
А теперь используя физический смысла

экспериментально проверим то, что вы наваяли.
Берете любую сферу, по большой окружности протягиваете стандартную рулетку. Ее показание можно представить как

. Ставите в этой точке координатные часы, показывающие координату

и начинаете записывать показания рулетки при разных показаниях часов. Потом рисуете график зависимости

. Ну и определяете

.
Результат понятен.

. Следовательно

И можете сколько угодно с умным видом тыкать в фигульку, в которой присутствуют буковки

,

и

. Это тыканье до той части вашего тела, на которой вы сидите.
Идея понятна? Предъявляете

, показываете что эта производная не равна нулю. После этого я признаю, что ваш аргумент состоятелен.
Не знаю, что это за метрика.
Это если в СК Шварцшильда в качестве координатных часов использовать стандартные часы.
Конечно, можно взять ту же метрику и в другой системе координат, но тогда она будет "неявно независимой от времени", и утверждение из МТУ § 25.4, на которое вы ссылаетесь, не будет иметь места. Надо сначала сделать время явно 0-й координатой, и только после этого записывать уже

Ну, почему приведенная формула не работает в СК Крускала я разобрался.
Будем плясать от печки.
В некоторой точке пространства есть два тела. Одно свободно летящее, для которого

Второе покоящееся.

для покоящего тела это будет выглядеть

Отсюда



Эта формула верна для любых СК. (Если я конечно в знаках не напутал)
В СК Шварщильда

При переходе в другую СК

преобразовывается как временная координата. А поскольку преобразование при переходе к СК Крускала

, то в результате в этой СК

для свободной частицы не

, а функция от

.
Если вместо этой функции взять константу, то получится фигня. В чём я ранее и убедился.
Похоже независящими от времени метриками являются метрики систем координат, в которых все координатные часы идут в одном темпе...
Для того, чтобы метрика была независимой от времени

недостаточно.
Вобщем это связано с транслянциооной симетрией... Если я ничего не перепутал, закон сохранения энергии связывают с трансляционной симметрией относительно времени...
Про этот аспект вы упоминали.
В таком случае, утверждение о независимости от времени будет звучать как существование времениподобного вектора Киллинга (то есть, вектора, задающего симметрию метрики).
С деталями буду разбираться самостоятельно.