Внутри массивной сферы и еще несколько вопросов

[Geen]

vicont в сообщении #968930 писал(а):

На каком основании?

Попробуем по другому. В метрике Крускала нет никакого $r$ - есть только $u,v,\theta,\varphi$.

[Munin]

Geen в сообщении #968989 писал(а):

В метрике Крускала нет никакого $r$

Боюсь, этак его кондрашка хватит :-)

[vicont]

Geen в сообщении #968989 писал(а):

Попробуем по другому. В метрике Крускала нет никакого $r$ - есть только $u,v,\theta,\varphi$.

И тут ведущий поля чудес заявляет: "Нет такой буквы в алфавите!!!"
Не надо, знаете ли, путать хрен с пальцем.
В метрике Крускала нет координаты с названием $r$.
А теперь взгляните на физический смысл той буковки $r$, которую пишут в метрике Крускала.
Это корень квадратный из площадь пространственной сферы на которой находится точка, деленной на четыре пи.

Munin в сообщении #968949 писал(а):

Вот записанное вами выражение:

vicont в сообщении #968396 писал(а):

$ds^2=-(32M^3/r)e^-^r^/^2^M dv^2+(32M^3/r)e^-^r^/^2^M du^2+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$

А вот подчеркнём "что-то ещё, кроме констант":

vicont в сообщении #968396 писал(а):

$ds^2=-(32M^3/\underline{r})e^{-\underline{r}/2M}dv^2+(32M^3/\underline{r})e^{-\underline{r}/2M}du^2+\underline{r^2}(d\Theta^2+\underline{\sin^2\Theta}\,d\varphi^2)$


где $r$ выражается неявно через $u,v$ как решение уравнения (МТУ: 31.14б):

$$(r/2M-1)e^{r/2M}=u^2-v^2$$

Достаточно?

Munin, вы меня удивляете. Это вы от того, что облом думать, такие перлы выдаете? Или на полном серъезе?
Предположим у нас есть некоторая функция $y=f(x)$. Поисследуем ее. Ну можно взять ее производную $\frac{d(f(x))}{dx}$. Вы прекрасно знаете, что если $\frac{d(f(x))}{dx}=0$ для всех $x$, то мы $y$ называем константой.
А теперь используя физический смысла $r$ экспериментально проверим то, что вы наваяли.
Берете любую сферу, по большой окружности протягиваете стандартную рулетку. Ее показание можно представить как $2\pi r$. Ставите в этой точке координатные часы, показывающие координату $v$ и начинаете записывать показания рулетки при разных показаниях часов. Потом рисуете график зависимости $r(v)$. Ну и определяете $d(r(v))/dv$.
Результат понятен. $d(r(v))/dv=0$. Следовательно $r= \operatorname{const}$
И можете сколько угодно с умным видом тыкать в фигульку, в которой присутствуют буковки $r$, $v$ и $u$. Это тыканье до той части вашего тела, на которой вы сидите.
Идея понятна? Предъявляете $\partial r /\partial u$, показываете что эта производная не равна нулю. После этого я признаю, что ваш аргумент состоятелен.

Munin в сообщении #968949 писал(а):

Не знаю, что это за метрика.

Это если в СК Шварцшильда в качестве координатных часов использовать стандартные часы.

Munin в сообщении #968949 писал(а):

Конечно, можно взять ту же метрику и в другой системе координат, но тогда она будет "неявно независимой от времени", и утверждение из МТУ § 25.4, на которое вы ссылаетесь, не будет иметь места. Надо сначала сделать время явно 0-й координатой, и только после этого записывать уже $\sqrt{|g_{00}|}E=\operatorname{const}.$

Ну, почему приведенная формула не работает в СК Крускала я разобрался.
Будем плясать от печки.
В некоторой точке пространства есть два тела. Одно свободно летящее, для которого $P_0=-E$
Второе покоящееся.
$g^i^j p_i p_j=-m^2$ для покоящего тела это будет выглядеть $g^0^0p_0p_0=m^2$
Отсюда $p_0=-\frac{m}{\sqrt{|g^0^0|}}$
$E_{lok}=-\frac{mP_0}{p_0}=-\sqrt{|g^0^0|}P_0$
$\frac{E_{lok}}{\sqrt{|g^0^0|}}=-P_0$
Эта формула верна для любых СК. (Если я конечно в знаках не напутал)
В СК Шварщильда $P_0=\operatorname{const}$
При переходе в другую СК $P_0$ преобразовывается как временная координата. А поскольку преобразование при переходе к СК Крускала $v=f(r)t$, то в результате в этой СК $P_0$ для свободной частицы не $\operatorname{const}$, а функция от $r$.
Если вместо этой функции взять константу, то получится фигня. В чём я ранее и убедился.

Похоже независящими от времени метриками являются метрики систем координат, в которых все координатные часы идут в одном темпе...
Для того, чтобы метрика была независимой от времени $\frac{\partial g_i_j}{\partial x^0}=0$ недостаточно.
Вобщем это связано с транслянциооной симетрией... Если я ничего не перепутал, закон сохранения энергии связывают с трансляционной симметрией относительно времени...
Про этот аспект вы упоминали.

Munin в сообщении #968949 писал(а):

В таком случае, утверждение о независимости от времени будет звучать как существование времениподобного вектора Киллинга (то есть, вектора, задающего симметрию метрики).

С деталями буду разбираться самостоятельно.

[Geen]

vicont в сообщении #969733 писал(а):

А теперь взгляните на физический смысл той буковки $r$, которую пишут в метрике Крускала.

Прежде чем смотреть физический смысл научитесь математически правильно преобразования делать.
А предыдущий Ваш перл я, пожалуй, процитирую тут в одной теме "против Munin'а"

[vicont]

Кстати. Если взять метрику $ds^2=-(1-2M/r)dUdV+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$ и перейти от нулевых координат к времениподобной и пространственноподобной. То формула
$|g_0_0|^1^/^2E_l_o_k=\operatorname{const}$
будет в этой СК работать, хотя $r$ здесь тоже следует рассматривать как фунцию от $V$ и $U$.

[Munin]

Geen
Я-то vicont-а давно знаю. А вот вы всерьёз с ним разговариваете?

vicont в сообщении #969733 писал(а):

Идея понятна? Предъявляете $\partial r /\partial u$, показываете что эта производная не равна нулю.

А вот это, кстати, для вас упражнение: исходя из уравнения

$$(r/2M-1)e^{r/2M}=u^2-v^2,$$

найти эту частную производную.

vicont в сообщении #969733 писал(а):

Это если в СК Шварцшильда в качестве координатных часов использовать стандартные часы.

Нет, не получится такой метрики. Сделайте честно.

[Someone]

Munin в сообщении #969766 писал(а):

А вот это, кстати, для вас упражнение: исходя из уравнения

$$(r/2M-1)e^{r/2M}=u^2-v^2,$$

найти эту частную производную.

Это упражнение для студента первого курса. Ежели он на экзамене с этой задачей не справляется, получает двойку.

[Geen]

Munin в сообщении #969766 писал(а):

А вот вы всерьёз с ним разговариваете?

Ну вот пытался...

[vicont]

Munin в сообщении #969766 писал(а):

А вот это, кстати, для вас упражнение: исходя из уравнения

Тоже мне гуру нашелся, задания раздает...
Если вы уж сказали А, то теперь извольте сказать и Б. Тем более что

Someone в сообщении #969897 писал(а):

Это упражнение для студента первого курса. Ежели он на экзамене с этой задачей не справляется, получает двойку.

Или Munin у нас двоечник?

Munin в сообщении #969766 писал(а):

Нет, не получится такой метрики. Сделайте честно.

Куда уж честнее...
$T=t\sqrt{1-2M/r}$ преобразование временной координаты.
Берем $\frac{\Delta T}{\Delta t}=\sqrt{1-2M/r}$ Находим $\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{dT}{dt}=\sqrt{1-2M/r}$
Отсюда $dT=\sqrt{1-2M/r}dt$
В локальном базисе заменили вектор $\vec{dt}$ на $\vec{dT}$ другой длины, но коллинеарный первоначальному.

Кстати, Munin, Someone, а вы в курсе, что в СК Крускала-Шекереса, которой приписывают метрику
$ds^2=-(32M^3/r)e^-^r^/^2^M dv^2+(32M^3/r)e^-^r^/^2^M du^2+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$
локальный веторный базис неортогонален?

[Someone]

vicont в сообщении #970784 писал(а):

Или Munin у нас двоечник?

Видите ли, Вы, конечно, можете писать всякий бред, но учтите, что имеете дело с людьми, которые умеют вычислять частные производные неявной функции. Поэтому Ваши попытки взять на понт не пройдут.

vicont в сообщении #970784 писал(а):

$T=t\sqrt{1-2M/r}$ преобразование временной координаты.
Берем $\frac{\Delta T}{\Delta t}=\sqrt{1-2M/r}$ Находим $\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{dT}{dt}=\sqrt{1-2M/r}$
Отсюда $dT=\sqrt{1-2M/r}dt$

На экзамене по математическому анализу — "два".

[Munin]

vicont в сообщении #970784 писал(а):

Тоже мне гуру нашелся, задания раздает...

То есть, не умеете?

vicont в сообщении #970784 писал(а):

В локальном базисе заменили вектор $\vec{dt}$ на $\vec{dT}$ другой длины, но коллинеарный первоначальному.

Ну и? Преобразование метрического тензора совершается так:

$$g_{\mu\nu}=\dfrac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu}\dfrac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\nu}g_{\alpha\beta}.$$

Вот и вычисляйте честно, все частные производные.

[vicont]

Someone в сообщении #970854 писал(а):

На экзамене по математическому анализу — "два".

А при чём здесь матанализ?

Munin в сообщении #970859 писал(а):

Ну и? Преобразование метрического тензора совершается так:

$$g_{\mu\nu}=\dfrac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu}\dfrac{\partial\xi^\beta}{\partial x^\nu}g_{\alpha\beta}.$$

Вот и вычисляйте честно, все частные производные.

Т. е. вы считаете, что надо делать так?
$t=\frac{T}{\sqrt{1-2M/r}}=Tf(r)$
Тогда $dt=f(r)dT+f’(r)Tdr$ и соответствующая часть интервала превращается в:
$dt^2=f(r)^2dT^2+2f(r)f’(r)TdTdr+f’(r)^2T^2dr^2$

[Someone]

vicont в сообщении #970863 писал(а):

А при чём здесь матанализ?

При том, что вычисление производных — это самые начала математического анализа. А поскольку Вы даже начальных вопросов математического анализа не знаете и производных вычислять не умеете, то пишете полную ерунду.

[vicont]

Someone в сообщении #970898 писал(а):

При том, что вычисление производных — это самые начала математического анализа. А поскольку Вы даже начальных вопросов математического анализа не знаете и производных вычислять не умеете, то пишете полную ерунду.

Это всё лирика.
Вы лучше скажите, второй вариант вы считаете правильным?

[Munin]

vicont в сообщении #970863 писал(а):

Т. е. вы считаете, что надо делать так?
$t=\frac{T}{\sqrt{1-2M/r}}=Tf(r)$
Тогда $dt=f(r)dT+f’(r)Tdr$ и соответствующая часть интервала превращается в:
$dt^2=f(r)^2dT^2+2f(r)f’(r)TdTdr+f’(r)^2T^2dr^2$

Ну вот это уже теплее.