Если группа мультипликативна, вводится обратный элемент

, если аддитивна - противоположный

.
Нет такого свойства у группы "мультипликативна" или "аддитивна". Есть просто две системы обозначений, которые обе могут применяться к одной и той же группе, только не одновременно:
- обозначение операции:

или

;
- нейтральный (единичный) элемент: для

используются обозначения

и

; для

используются обозначения

(редко) и

;
- обратный (в смысле групповой операции) элемент: для

используется обозначение

; для

используется обозначение

(есть и вариант

с разными символами операции, причём символ

обычно "работает" так же как

а все остальные - как умножение).
Обычно "аддитивные" обозначения используются, и то не всегда, для абелевых (коммутативных) групп, а "мультипликативные" - для групп, о которых не известно, что они абелевы. Это помогает интуиции при работе с формулами: все привыкли, что переставлять слагаемые можно свободно, а вот множители - не всегда (нельзя, например, в алгебре матриц или операторов).
-- 24.01.2015 17:41:59 --Такие алгебраические системы, как кольцо и поле, включают в себя две группы, так что символы операций для них специально разведены: одна группа (аддитивная группа кольца или поля) обозначается "аддитивным стилем", а другая (мультипликативная группа кольца или поля) - "мультипликативным стилем".
Аналогично поступают и с другими схожими алгебраическими системами. Например,
алгебры Ли включают в себя две операции: одна из них групповая, а другая нет. Принято одну из них обозначать "в аддитивном стиле", а другую - скобкой
![$[x,y].$ $[x,y].$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/8/88849d26bed2e1f42a7bd0c88dcc75a882.png)
В частности, для них выполняется дистрибутивность, запись которой вполне интуитивна:
![$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$ $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/9/139858a1cdb2dd50ce0f4200d6178e7182.png)
и
![$[x,y+z]=[x,y]+[x,z].$ $[x,y+z]=[x,y]+[x,z].$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/1/ce1a60b6a395359e1d50a4f814bb202382.png)