IGOR1Вы раньше говорили (по другому поводу), что пониманию способствуют рисунки. В связи с СТО это тоже верно. Попробуйте подойти к вашему вопросу как раз таким способом.
Переменные
и
трактуйте как координаты всевозможных точек на плоском чертеже. На этом чертеже можно нарисовать разные линии (кривые или прямые; начать рассуждать лучше с прямыми линиями, это проще). Линию можно трактовать как график функции
, который в свою очередь можно трактовать как график движения материальной точки относительно данной ИСО (если он "хороший" - не слишком вычурный, без петель, без скачков, без слишком больших значений
).
Преобразование Лоренца это просто способ сопоставить точкам
исходного чертежа точки
другого аналогичного чертежа. Понятно, что любая линия
первого чертежа отобразится преобразованием Лоренца в некоторую линию
на втором чертеже, а по смыслу это будет график движения той же материальной точки относительно второй ИСО.
Но чтобы обсуждать "возрасты близнецов" надо осмыслить ещё одно понятие из СТО, очень важное, которое называется
интервал. Пусть линия
задана. Тогда короткий отрезок этой линии (бесконечно малый отрезок в окрестности какой-либо точки
на этой линии) задаётся величиной
и характеризуется соответствующим приращением координаты
Здесь
есть мгновенная (т.е. в общем случае зависящая от
) скорость материальной точки относительно данной ИСО на данном коротком отрезке графика
. Интервал на этом отрезке можно обозначить как
, а вычисляется он по определению как корень квадратный из величины вида
.
То есть:
,
так что:
.
Важнейшее свойство так определённого интервала - это его неизменность при преобразованиях Лоренца: в другой ИСО (т.е. на другом чертеже) данный отрезок линии характеризуется другими приращениями
но величина
равна
Можете проверить это в качестве математического упражнения.
Физический смысл интервала
легко уяснить из принципа относительности. Ведь можно подобрать (для данного отрезка линии) такое преобразование Лоренца, что в новой ИСО мгновенная скорость той материальной точки
обратится в ноль (т.е. можно перейти в ИСО, движущуюся со скоростью, равной мгновенной скорости нашей материальной точки на данном отрезке её графика). В такой ИСО имеем
но
, и следовательно
. А поскольку интервал численно остался тем же, то в этой ИСО имеем равенство:
. Отсюда ясно, что это есть интервал времени, отсчитанный по часам той ИСО, относительно которой материальная точка в данный момент покоится; его называют интервалом
собственного времени материальной точки.
Интегрируя указанное выше выражение
(т.е. суммируя интервалы на малых отрезках линии
), получим интервал собственного времени этой материальной точки между какими-либо двумя заданными точками на её графике; кстати, следует сказать, что такие графики на чертежах заданной ИСО принято называть мировыми линиями материальных точек. Аналогично вычисляется и интервал на мировой линии любой другой материальной точки. Постоянную интегрирования надо брать равной нулю, т.к. если верхний и нижний пределы интеграла совпадают, то интервал на таком отрезке - сжавшемся в точку - с очевидностью должен равняться нулю.
В "парадоксе близнецов" сравниваются интервалы собственного времени на отрезках двух разных мировых линий, но имеющих общую для них "начальную" точку (она описывает ситуацию, в которой два "близнеца" оказались в одной и той же точке пространства
в один и тот же момент
по часам данной ИСО ) и имеющих общую для них "конечную" точку (она описывает ещё одну встречу близнецов). Т.е. сравниваем два интеграла; который из них окажется большим, тот "близнец " и получается более постаревшим. Ответ зависит от конкретной формы мировых линий; т.е. "парадокса" нет, а надо лишь разобрать несколько конкретных примеров. В частности, можно заметить, что на отрезке прямой мировой линии интервал собственного времени оказывается б
ольшим, чем на проходящем через те же две мировые точки отрезке криволинейной мировой линии.
(Оффтоп)
Советую Вам всё это продумать самостоятельно с помощью рисунков и простейших примеров - с прямыми и ломаными линиями (и в книгах почитать). Если уж ну прям совсем никак не будет получаться, тогда что же... задавайте вопросы. Однако, мой небольшой опыт общения здесь уже показал, что написать подробный ответ с продуманными рисунками да ещё и с формулами - это значит потратить целый вечер, а то и два. А в итоге корреспондент частенько не желает или не может вникнуть, и все труды оказываются напрасными. Так что подробные подсказки пусть уж остаются на самый-самый крайний случай.