Чему равен коэффициент замедления времени?

[aa_dav]

IGOR1 в сообщении #954073 писал(а):

Что вы считаете первой системой?

Та, которая первая встретилась в рассмотрении, т.е. здесь:

Цитата:

Ну я же сказал - берете одну ИСО в которой есть два события, (t0, x0) и (t0+dt,x0) и пересчитываете. Получаете координаты в новой ИСО и смотрите какой там получится временной промежуток и какой коэффициент в нём фигурирует при dt.

[IGOR1]

aa_dav в сообщении #954076 писал(а):

Та, которая первая встретилась в рассмотрении, т.е. здесь:

Ну хорошо - допустим в выражении $dt = \frac{dt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ у вас величина $x_0$ отсутствует. Но чтобы от $dt$ перейти к $t$ вам необходимо проинтегрировать выражение $dt = \frac{dt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, и величина $x_0$ туда опять попадет как постоянная интегрирования

[aa_dav]

IGOR1 в сообщении #954082 писал(а):

Но чтобы от $dt$ перейти к $t$...

Что, простите?

-- 29.12.2014, 17:13 --

Если непонятен вопрос - то поясню. $dt$ ведь и была искомой величиной, разве нет? Её физический смысл - промежуток времени между двумя обозначенными событиями во второй ИСО. А какое еще $t$ вы собрались дальше искать и какой физический смысл в эту величину вкладываете?

[IGOR1]

aa_dav в сообщении #954085 писал(а):

Если непонятен вопрос - то поясню. $dt$ ведь и была искомой величиной, разве нет? Её физический смысл - промежуток времени между двумя обозначенными событиями во второй ИСО. А какое еще $t$ вы собрались дальше искать и какой физический смысл в эту величину вкладываете?

$dt$ есть бесконечно малая величина - она не имеет конкретного смысла пока не проинтегрирована. Необходимо от $dt$ перейти к $t$ путем интегрирования, при котором в результат у вас опять попадет неопределенная величина $x_0$. Наивно полагать что от нее можно избавиться путем дифференцирования. Профессиональный математик это поймет. То есть один близнец у вас будет моложе другого на неопределенное количество лет

[rustot]

в некоторой исо обнаружили что два события произошли по координатам $\vec{r_1},t_1$ и $\vec{r_2},t_2$ соответственно. относительно другой исо их обнаружили по координатам $\vec{r_1'},t_1'$ и $\vec{r_2'},t_2'$.

вторую пару можно получить двояко. можно непосредственно измерить инструментами (и на основе измерений можно в будущем вывести преобразования) или можно, не измеряя второй раз, просто преобразовать результаты первого измерения в другую исо с помощью выведенных ранее преобразований.

теперь сравнив временной промежуток между событиями относительно первой исо $t_2-t_1$ с временным промежутком $t_2'-t_1'$ относительно второй исо, вы обнаружите что они не всегда совпадают. иногда совпадают, иногда первый больше, иногда второй больше, все зависит только от конкретной пары событий. если генератором случайных чисел подбирать пары событий, то в половине случаев первый временной промежуток будет больше, а в половине второй.

если рассмотреть ОЧЕНЬ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ когда события в одной исо произошли по одним и тем же пространственным координатам, допустим два раза вспыхнула неподвижная относительно этой исо лампочка, то в этом очень частном случае временной промежуток между этими событиям в этой исо будет заведомо меньше чем в любой другой исо, относительно которой лампочка двигалась между вспышками и события произошли в разных местах.

на основании только ОДНОГО ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ нельзя говорить что "время в этой исо течет медленнее", иначе можно вывести закон что кошки тяжелее собак, найдя единственный частный случай когда это действительно так

[IGOR1]

rustot в сообщении #954158 писал(а):

в некоторой исо обнаружили что два события произошли по координатам $\vec{r_1},t_1$ и $\vec{r_2},t_2$ соответственно. относительно другой исо их обнаружили по координатам $\vec{r_1'},t_1'$ и $\vec{r_2'},t_2'$.

Думаю целесообразнее обратиться к математике. На мой взгляд возможен следующий выход из этой ситуации. Та самая точка движется в подвижной системе B со скоростью $u$ т.е. по закону $x'=ut'$. Подставим это значение $x'$ в уравнение $ t = \frac{ t' + \frac{v}{c^2} x'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Получим:
$ t = \frac{ t' + \frac{v}{c^2} ut'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Откуда коэффициент замедления времени равен
$ \frac {t}{t'} = \frac{1 + \frac{vu}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
Только теперь этот коэффициент зависит не только от скорости $v$, но и от скорости $u$. То есть течение времени в системе зависит не только от ее скорости, но и от скорости любой точки относительно этой системы - это уже интересно

[warlock66613]

IGOR1 в сообщении #954111 писал(а):

Необходимо от $dt$ перейти к $t$ путем интегрирования

Перейти от $dt$ к $t$ нельзя, потому что формула для $dt$ получается вовсе не дифференцированием $t$, а рассмотрением частного случая (см. выше пост rustot). А что касается возраста, возраста - это не $t$. Возраст - это разность двух времён $\Delta t = t_2 - t_1$, и его как раз (для рассматриваемого частного случая) можно получить из $dt$ интегрированием.

-- 29.12.2014, 20:07 --

IGOR1 в сообщении #954170 писал(а):

Откуда коэффициент замедления времени равен

$t$ - это мгновенное время, цифры на часах. Бессмысленно делить показания одних часов на другие, если только так не случилось, что когда на одних был $0$, то и на других тоже. В нашем случае этого как раз не случилось.

[rustot]

IGOR1 в сообщении #954170 писал(а):

Думаю целесообразнее обратиться к математике

так и обратитесь, вычислите чему равно $t_2'-t_1'$ с помощью преобразований лоренца и поймете как это зависит от координат событий и что сравнивать "как течет время вообще" в двух системах отсчета занятие бессмысленное без указания о каком частном случае идет речь

[IGOR1]

warlock66613 в сообщении #954173 писал(а):

Перейти от $dt$ к $t$ нельзя, потому что формула для $dt$ получается вовсе не дифференцированием $t$

От $t$ к $dt$ можно прийти только при помощи математической операции. Следовательно и обратный переход так же возможен (посредством математической операции). То есть в результате у вас все равно должно получиться $ t = \frac{ t' + \frac{v}{c^2} x'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. От этого никуда не уйти. Выход я уже предложил

-- 29.12.2014, 19:20 --

rustot в сообщении #954176 писал(а):

так и обратитесь, вычислите чему равно $t_2'-t_1'$ с помощью преобразований лоренца и поймете как это зависит от координат событий и что сравнивать "как течет время вообще" в двух системах отсчета занятие бессмысленное без указания о каком частном случае идет речь

Вы предлагаете продифференцировать преобразования Лоренца а результат проинтегрировать. Если все проделать правильно то в итоге должны опять получиться ПЛ

[rustot]

IGOR1 в сообщении #954178 писал(а):

Вы предлагаете продифференцировать преобразования Лоренца а результат проинтегрировать. Если все проделать правильно то в итоге должны опять получиться ПЛ

я предлагаю воспользоваться школьной алгеброй без интегрирований и дифферинцирований. посчитать сколько времени между двумя событиями произошло в разных исо и посмотреть как связаны эти временые промежутки, в каких именно случаях один больше другого

[warlock66613]

IGOR1 в сообщении #954178 писал(а):

От $t$ к $dt$ можно прийти только при помощи математической операции.

От $t$ к $dt$ можно прийти ещё проще - приписав букву $d$ и зачеркнув лишее. Проблема не в том, чтобы "прийти", а в том чтобы сделать что-то осмысленное. Пока я не вижу, чтобы вы это сделали.

[aa_dav]

IGOR1 в сообщении #954111 писал(а):

$dt$ есть бесконечно малая величина

Нет, нигде выше не говорилось, что dt это бесконечно малая величина, напротив, все утверждения и формулы сделаны и написаны для dt как конечной величины. Случай совершенно линейный, здесь более правильно писать дельту символом треугольника, стилистически это более понятно, но никаких интегрирований и дифференцирований даже близко не упоминалось, так что и так можно было понять без лишних мудрствований лукавых.
P.S.
$\Delta t$ научился писать.

[Cos(x-pi/2)]

IGOR1

Вы раньше говорили (по другому поводу), что пониманию способствуют рисунки. В связи с СТО это тоже верно. Попробуйте подойти к вашему вопросу как раз таким способом.

Переменные $ct$ и $x$ трактуйте как координаты всевозможных точек на плоском чертеже. На этом чертеже можно нарисовать разные линии (кривые или прямые; начать рассуждать лучше с прямыми линиями, это проще). Линию можно трактовать как график функции $x(ct)$, который в свою очередь можно трактовать как график движения материальной точки относительно данной ИСО (если он "хороший" - не слишком вычурный, без петель, без скачков, без слишком больших значений $dx/cdt = v/c$).

Преобразование Лоренца это просто способ сопоставить точкам $(ct, \, x)$ исходного чертежа точки $(ct', \, x')$ другого аналогичного чертежа. Понятно, что любая линия $x(ct)$ первого чертежа отобразится преобразованием Лоренца в некоторую линию $x'(ct')$ на втором чертеже, а по смыслу это будет график движения той же материальной точки относительно второй ИСО.

Но чтобы обсуждать "возрасты близнецов" надо осмыслить ещё одно понятие из СТО, очень важное, которое называется интервал. Пусть линия $x(ct)$ задана. Тогда короткий отрезок этой линии (бесконечно малый отрезок в окрестности какой-либо точки $(ct, \, x)$ на этой линии) задаётся величиной $c\,dt$ и характеризуется соответствующим приращением координаты $x(ct):$

$dx = \frac{dx}{c\,dt}c\,dt=\frac{v}{c}\,c\,dt$

Здесь $v=dx/dt$ есть мгновенная (т.е. в общем случае зависящая от $t$) скорость материальной точки относительно данной ИСО на данном коротком отрезке графика $x(ct)$. Интервал на этом отрезке можно обозначить как $c \, d\tau$, а вычисляется он по определению как корень квадратный из величины вида

$(c\,d\tau)^2=(c\,dt)^2-(dx)^2$ .

То есть:

$cd \tau=\sqrt{(cdt)^2-(dx)^2}=cdt \, \sqrt{1-(dx/cdt)^2} $ ,

так что:

$d \tau = dt \, \sqrt{1-(v/c)^2}$ .

Важнейшее свойство так определённого интервала - это его неизменность при преобразованиях Лоренца: в другой ИСО (т.е. на другом чертеже) данный отрезок линии характеризуется другими приращениями $(cdt', \, dx'),$ но величина $(cdt')^2-(dx')^2$ равна $(cdt)^2-(dx)^2.$ Можете проверить это в качестве математического упражнения.

Физический смысл интервала $d \tau$ легко уяснить из принципа относительности. Ведь можно подобрать (для данного отрезка линии) такое преобразование Лоренца, что в новой ИСО мгновенная скорость той материальной точки $v'=dx'/dt'$ обратится в ноль (т.е. можно перейти в ИСО, движущуюся со скоростью, равной мгновенной скорости нашей материальной точки на данном отрезке её графика). В такой ИСО имеем $v'=0,$ но $dt' \ne 0$, и следовательно $dx'=0$. А поскольку интервал численно остался тем же, то в этой ИСО имеем равенство: $d\tau = dt'$. Отсюда ясно, что это есть интервал времени, отсчитанный по часам той ИСО, относительно которой материальная точка в данный момент покоится; его называют интервалом собственного времени материальной точки.

Интегрируя указанное выше выражение $d\tau$ (т.е. суммируя интервалы на малых отрезках линии $x(t)$), получим интервал собственного времени этой материальной точки между какими-либо двумя заданными точками на её графике; кстати, следует сказать, что такие графики на чертежах заданной ИСО принято называть мировыми линиями материальных точек. Аналогично вычисляется и интервал на мировой линии любой другой материальной точки. Постоянную интегрирования надо брать равной нулю, т.к. если верхний и нижний пределы интеграла совпадают, то интервал на таком отрезке - сжавшемся в точку - с очевидностью должен равняться нулю.

В "парадоксе близнецов" сравниваются интервалы собственного времени на отрезках двух разных мировых линий, но имеющих общую для них "начальную" точку (она описывает ситуацию, в которой два "близнеца" оказались в одной и той же точке пространства $x$ в один и тот же момент $ct$ по часам данной ИСО ) и имеющих общую для них "конечную" точку (она описывает ещё одну встречу близнецов). Т.е. сравниваем два интеграла; который из них окажется большим, тот "близнец " и получается более постаревшим. Ответ зависит от конкретной формы мировых линий; т.е. "парадокса" нет, а надо лишь разобрать несколько конкретных примеров. В частности, можно заметить, что на отрезке прямой мировой линии интервал собственного времени оказывается большим, чем на проходящем через те же две мировые точки отрезке криволинейной мировой линии.

(Оффтоп)

Советую Вам всё это продумать самостоятельно с помощью рисунков и простейших примеров - с прямыми и ломаными линиями (и в книгах почитать). Если уж ну прям совсем никак не будет получаться, тогда что же... задавайте вопросы. Однако, мой небольшой опыт общения здесь уже показал, что написать подробный ответ с продуманными рисунками да ещё и с формулами - это значит потратить целый вечер, а то и два. А в итоге корреспондент частенько не желает или не может вникнуть, и все труды оказываются напрасными. Так что подробные подсказки пусть уж остаются на самый-самый крайний случай.

[IGOR1]

rustot в сообщении #954182 писал(а):

я предлагаю воспользоваться школьной алгеброй без интегрирований и дифферинцирований. посчитать сколько времени между двумя событиями произошло в разных исо и посмотреть как связаны эти временые промежутки, в каких именно случаях один больше другого

Время между двумя событиями, неограниченно стремящееся к нулю, есть дифференциал времени. Предлагаю использовать только этот термин, чтобы в итоге не получить ошибку.

[rustot]

IGOR1 в сообщении #954234 писал(а):

Время между двумя событиями, неограниченно стремящееся к нулю, есть дифференциал времени. Предлагая использовать только этот термин, чтобы в итоге не получить ошибку.

предлагаю не использовать понятия в которых вы путаетесь в ситуации когда они вовсе необязательны. в данном случае обычного вычитания достаточно. часы показали 12:13, часы показали 12:40, промежуток времени между этими событиями находится обычным вычитанием. от того что вы накрутите вокруг интегрирований с дифференцированиями никому лучше не станет

путь равен скорости умноженной на время. для того чтобы разобраться как путь, время и скорость связаны между собой этого вполне достаточно. для нахождения пути при плавно нелинейно меняющейся скорости нужно переходить от умножения к интегрированию, но ничего к пониманию того как они связаны между собой эта "высшая математика" не добавит, лишь добавит "умных слов". чтобы разобраться с временными интервалами в сто достаточно математики начальных классов школы