Странные мысли о размерностях физических величин

[warlock66613]

Периодически приходят в голову странные мысли о размерностях.

Известно, что при переходе от одной системы единиц к другой в формулах могут появляться дополнительные коэффициенты. Ну, скажем
в СГС
$\varphi=-q/r$
а в СИ приходится добавлять размерный коэффициент, которого не было в СГС в явном виде, так как в СГС он безразмерный и равен единице:
$\varphi=-kq/r$.

Такая же по сути ситуация с кельвинами и градусами Цельсия. При использовании в качестве единицы температуры кельвина формула выглядит просто:
$E=kT/2$
А при использовании градусов Цельсия приходится добавлять размерную величину - только не коэффициент, а слагаемое:
$E=k(T+T_0)/2$
Здесь $T_0 = 273^{\circ}\text{ C}$. При этом при использовании кельвинов $T_0 = 0\text{ K}$, поэтому в явном виде эта константа отсутствует.

Всё вроде хорошо и логично. Однако далее начинаются проблемы. В последней формуле постоянная Больцмана $k$ должна быть выражена в $\frac {\text{J}} {{}^{\circ}\text{ C}}$. В предпоследней - в $\frac {\text{J}} {\text{ K}}$. Однако числовое их значение одно и то же, поэтому мы чисто алгебраически немедленно получаем $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$, что никак не согласуется с $T_0=273^{\circ}\text{ C} = 0 \text{ K}$.

Я чувствую, что это можно как-то всё решить и получить действительно стройную теорию размерностей, однако все попадавшиеся мне на эту тему книги обходят такие странные вопросы - про градусы, децибеллы, радианы - стороной. Может кто-нибудь из участников форума имеет что сказать про это?

[Aritaborian]

Но ведь и в самом деле $1^{\circ}\text{C} = 1 \text{K}$.

[provincialka]

Насчет градусов не вижу ничего странного. Да, эталоны в обеих системах равны, а точки отсчета разные. При этом в шкале Кельвина используется "естественный" нуль, поэтому получается шкала отношений. А в остальных нули произвольны, так что при их помощи температура измеряется в шкале интервалов.
По идее, шкала отношений "сильнее", но на практике, в быту она неудобна.

[warlock66613]

Я к тому, что с размерностями обращаются обычно как с некоторой алгебраической системой. Берём $1\text{ m}=100\text{ cm}$, возводим в квадрат и получаем $1\text{ m}^2=10000\text{ cm}^2$ - верное соотношение. Но как так получилось? Ведь нет на самом деле обоснования почему так можно делать. Более того, легко придти к противоречию, как я показал выше.

[arseniiv]

Нельзя-нельзя, если добавить ещё немного информации о типах (см. в оффтопе).

warlock66613 в сообщении #943387 писал(а):

Может кто-нибудь из участников форума имеет что сказать про это?

Точно скажу, что было не менее двух интересных постов в не менее двух темах, но ещё точнее уже пока не помню.

(Оффтоп)

Здесь и сейчас могу добавить, что есть «векторные» величины, а есть «аффинные». С температурой vs. разностью температур получается всё, как будто, понятно. А как будто и нет — температура, абсолютная, в Кельвинах, нами на то и выбрана, что у неё ясно какой ноль. А это не то же самое что выделенный ноль у разностей температур! Как мы узнали, где у прямой без выделенных точек — ноль? Что-то тут не так, но я потому и пойду спать.

[Hyper_Tor]

Вот нашел статью на сайте омского университета, человек занимался вопросами размерности физических величин, но по современным меркам его работы считаются лженаукой, может Вы что- либо поймете:http://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/Bartini/s2.htm

[warlock66613]

Почему вообще мы представляем величины как произведение числового значения на единицу измерения? Почему бы не прибавлять? Или умножать на тангенс единицы измерения? Чем так умножение выделено, с чего?

[kp9r4d]

warlock66613
В книге Зорича «Математический анализ задач естествознания» первая глава посвящена построению «теории размерностей», не знаю, насколько то в тему, сам не читал, но может вам полезно будет.

[Munin]

provincialka
Вот у вас есть литература по этим самым шкалам?

[provincialka]

warlock66613 в сообщении #943397 писал(а):

Берём $1\text{ m}=100\text{ cm}$, возводим в квадрат и получаем $1\text{ m}^2=10000\text{ cm}^2$ - верное соотношение.

Именно потому, что длина измеряется в шкале отношений, а не интервалов.
Есть такая "Теория измерений", там это все обосновывается аккуратно. Вводятся понятия:

- численная модель (отображение объектов в множество чисел)
- шкала как набор численных моделей. Переход от одной численной модели к другой происходит с помощью допустимого преобразования.
- тип шкалы, определяемый набором (группой) допустимых преобразований.
- допустимое высказывание и, на основе его, допустимая операция: высказывание, инвариантное относительно группы преобразований.

В частности, в шкале отношений допустимы преобразования $y=kx$, а в шкале интервалов - $y = kx+b$
В шкале отношений допустима сумма (1 кг + 2 кг = 3 кг), а в шкале интервалов - нет (1 мая + 2 мая не равно 3 мая). Но и там, и там допустимо среднее.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #943403 писал(а):

Почему вообще мы представляем величины как произведение числового значения на единицу измерения? Почему бы не прибавлять?

Да хосподи, хотите прибавлять - прибавляйте! :-)
$12\text{ кг}=12\cdot\text{кг}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\ln(12\text{ кг})=\ln 12+\ln\text{кг}.$

[Aritaborian]

warlock66613 в сообщении #943403 писал(а):

Почему вообще мы представляем величины как произведение числового значения на единицу измерения? Почему бы не прибавлять?

Потому что перемножать разнородные штуки можно, а складывать — нельзя. Умножая число на метры, мы получаем метры, а что мы получим, складывая безразмерную штуку с метрами? Умножая метры на ньютоны, получим ньютон-метры, они же джоули, а что получим, складывая их?

[provincialka]

Munin в сообщении #943406 писал(а):

Вот у вас есть литература по этим самым шкалам?

У меня есть старая книжка 1992 года, изданная в МГУ для психологов. Наверное, существуют и более новые.

[Hyper_Tor]

Может потому, что структура Вселенной эквивалентна некой алгебраической структуре?

[Munin]

warlock66613 в сообщении #943403 писал(а):

Чем так умножение выделено, с чего?

Я подозреваю, что телега впереди лошади. Мы имеем некое векторное пространство (касательное в общем случае к чему-то ещё более гнутому), и вводим на этом векторном пространстве аддитивные обозначения. Могли бы ввести мультипликативные - рассматривая векторы просто как группу. Ну, потом, конечно, все эти векторные пространства сшиваются между собой в какую-то алгебру...