Начала теории множеств

[Феликс Шмидель]

Я начал писать введение в теорию множеств:

Существуют различные варианты теории множеств, которые можно разделить на две группы:

1. Теории, которые позволяют образовывать совокупности из любых объектов, но не разрешают образовывать любые совокупности.
2. Теории, которые позволяют образовывать любые совокупности объектов, но не разрешает образовывать их из любых объектов.


К первой группе теорий относится теория множеств Цермело-Френкеля.
Эта теория является самой популярной и наиболее распространённой в математике теорией множеств.
Совокупности, которые она позволяет образовывать называются множествами.

Для сравнения, рассмотрим теорию множеств Морза-Келли и теорию множеств NFU.

Теория множеств Морза-Келли относится ко второй группе теорий.
В этой теории есть два типа совокупностей: множества и собственные классы.
Собственные классы не могут быть элементами других совокупностей.

Теория множеств Цермело-Френкеля проще, так как в ней не надо думать, являются ли объекты элементами перед тем, как образовать из них множества. Отсутствие собственных классов не является большим недостатком, поскольку они редко используются за пределами математической логики.

Теория множеств NFU относится к первой группе теорий.
В ней нет таких ограничений на образование совокупностей, как в теории множеств Цермело-Френкеля.
В теории NFU существует множество всех объектов и другие совокупности, которых нет в теории Цермело-Френкеля.
Недостатком теории NFU является то, что она накладывает существенные ограничения на свойства, объединяющие объекты в множества.
Это делает её более сложной по сравнению с теорией множеств Цермело-Френкеля.

Таким образом, теория множеств Цермело-Френкеля выигрывает, и мы приступаем к её изложению.
Мы внесли в теорию множеств Цермело-Френкеля незначительные изменения.
В этой теории есть только одно первоначальное понятие: $x \in y$, которое означает, что объект $x$ принадлежит множеству $y$.
Любые математические объекты можно определить как множества, но считать любые объекты множествами неестественно.
Поэтому мы добавили именующее понятие "$x$ - множество".
Мы исключили из теории множеств аксиому регулярности, поскольку она редко используется в математике.


В нашем варианте теории множеств есть два первоначальное понятия типа утверждения:

1. $x$ - множество,
2. $x \in y$, где $y$ - множество.

Выражение $x \in y$ означает: объект $x$ принадлежит множеству $y$.
Другими словами: $x$ является элементом множества $y$.


Интуитивное определение первоначальных понятий множества и принадлежности.


Множеством называется совокупность объектов, обладающая общим свойством.

Пусть $\alpha(x)$ - какое-либо выражение свойства.
Множество всех объектов $x$, обладающих этим свойством, обозначается выражением $\{x: \alpha(x)\}$.
Другими словами, объект $x$ принадлежит множеству $\{x: \alpha(x)\}$ тогда и только тогда, когда выполняется утверждение $\alpha(x)$.
Выражение $\{x: \alpha(x)\}$ следует читать так: множество всех объектов $x$, таких, что $\alpha(x)$.

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - два выражения свойства.
Если этими свойствами обладают одни и те же объекты то множества $\{x: \alpha(x)\}$ и $\{x: \beta(x)\}$ равны.

Не для любого выражения свойства $\alpha(x)$, множество $\{x: \alpha(x)\}$ существует.

Покажем, например, что множество $\{x: x \not \in x\}$ всех множеств, которые не принадлежат самим себе не существует.
Предположим обратное, что множество $\{x: x \not \in x\}$ существует.
Пусть $A=\{x: x \not \in x\}$.
Множество $A$ принадлежит множеству $\{x: x \not \in x\}$ тогда и только тогда, когда оно не принадлежит самому себе.
Следовательно, множество $A$ принадлежит самому себе тогда и только тогда, когда оно не принадлежит самому себе.
Полученное противоречие показывает, что множество $\{x: x \not \in x\}$ не существует.

Несуществование множества $\{x: x \not \in x\}$ называется парадоксом Рассела.

Хорошо я излагаю и имеет ли смысл продолжать?

[Феликс Шмидель]

Я перечитал это, и у меня возник вопрос: нельзя ли объеденить $ZFC$ и $NFU$?
Можно ограничить аксиому выделения $ZFC$ множествами, мощность которых меньше универсального множества, при этом разрешая любые свойства, вместе с тем принимая аксиому спецификации $NFU$, которая позволяет образовать универсальное множество.

[grizzly]

Может, есть смысл начать с того, чем Вы закончили "Введение в теорию абелевых групп"? То есть предупредить, какой базовый уровень предполагается у читателя. Ну и в двух словах сказать о цели работы. Моя гипотеза: читатель должен сколько-то свободно ориентироваться в предмете; "Введение ..." будет кратким пересказом "своими словами", а его изучение будет полезно для упорядочивания и закрепления имеющихся знаний (плюс, возможно, активации творческой жилки за счёт нестандартных ходов / подходов).

Вопрос по несуществующим множествам. Пока не совсем понятно, как эти множества будут принципиально отличатся от существующих. Поясню свои сомнения на примерах:
1) Пустое множество, например, не содержит себя в качестве подмножества. Значит ли это, что упомянутое "несуществующее множество" не пусто (раз мы можем явно указать один из его элементов-подмножеств)?
2) Множество чётных чисел не пусто. Можем ли мы быть уверены, что это множество "существует"? Нужно ли будет это специально доказывать? или проверять, что не существует какого-то доказательства "несуществования"?
Стандартные изложения обладают в этом плане одним несомненным преимуществом: "мириться лучше со знакомым злом..." :)

Предполагается ли, что из содержания учебника можно будет получить ответы на подобные вопросы или же для этого лучше подойдёт подобный формат обсуждения?

[Феликс Шмидель]

Извините, о каком "несуществующем" множестве Вы говорите? При добавлении универсального множества к $ZFC$?

[grizzly]

нет, об этом:

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

множество $\{x: x \not \in x\}$ не существует

(это был ответ только на первое сообщение)

[Феликс Шмидель]

Это множество не существует. Что значит оно не пусто? Это утверждение не имеет смысла. Оно не существует, и для доказательства этого не нужно вводить никаких аксиом теории множеств. Множество чётных чисел существует в силу аксиом $ZFC$.

-- Чт ноя 13, 2014 19:49:51 --

grizzly в сообщении #930548 писал(а):

Моя гипотеза: читатель должен сколько-то свободно ориентироваться в предмете; "Введение ..." будет кратким пересказом "своими словами", а его изучение будет полезно для упорядочивания и закрепления имеющихся знаний (плюс, возможно, активации творческой жилки за счёт нестандартных ходов / подходов).

Нет, мне бы хотелось, чтобы от читателя не требовалось никаких знаний по предмету, только умение рассуждать логически. Что в первом сообщении может быть непонятно?

[grizzly]

Феликс Шмидель в сообщении #930564 писал(а):

Это множество не существует. Что значит оно не пусто? Это утверждение не имеет смысла.

То, что это множество не существует, не является аксиомой. Это утверждение доказывается в качестве демонстрирующего примера. Следовательно, завтра я могу забыть доказательство и начать исследовать какие-нибудь множества, которые не принадлежат самим себе.

Далее я привожу цепочку своих завтрашних рассуждений, которую я прошу прокомментировать:
1) Несомненно, пустое множество не принадлежит себе.
2) Рассмотрим свойство множества "не принадлежать себе". Зададимся вопросом: "существуют ли ещё множества, удовлетворяющие такому свойству"? (находим, что ответ утвердительный).
3) Рассмотрим множество $A$ (множество таких множеств). Оно, очевидно, не пусто (см. п.1).
4) В ходе детального изучения $A$ обнаружим, что оно не существует (см. ссылка на Ваше доказательство).

В какой момент времени я допустил ошибку? Ведь нет такой аксиомы / признака, по которому любой я мог в п.3) заранее знать, что лишено смысла рассматривать множество $A$, когда уже было известно, что оно не пусто, но ещё не было известно, что его не существует?

-- 13.11.2014, 21:02 --

Феликс Шмидель в сообщении #930564 писал(а):

мне бы хотелось, чтобы от читателя не требовалось никаких знаний по предмету

Спасибо, это и есть ответ на мой вопрос (вопрос, как и другие, не предполагал критики).

-- 13.11.2014, 21:24 --

Только что пришло в голову, что мои вопросы, возможно, совсем не по сути, а по мелочам в методике изложения. Давайте я их пока сниму / отложу, потом сам разберусь.

[Феликс Шмидель]

grizzly в сообщении #930567 писал(а):

В какой момент времени я допустил ошибку? Ведь нет такой аксиомы / признака, по которому любой я мог в п.3) заранее знать, что лишено смысла рассматривать множество $A$, когда уже было известно, что оно не пусто, но ещё не было известно, что его не существует?

В ваших рассуждениях нет ошибки. Ничто не машает рассматривать множество $A$ и делать вывод, что оно не пусто. Надо только понимать, что оно может как существовать, так и не существовать.
Чтобы это было понятно, я написал:

Цитата:

Не для любого выражения свойства $\alpha(x)$, множество $\{x: \alpha(x)\}$ существует.

Если оно не существует, это не означает, что утверждение, что оно непусто не имеет смысла. Но перед тем, как это утверждать, нужно сделать предположение, что множество $A$ существует.

[grizzly]

Спасибо, пока понятно.

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Отсутствие собственных классов не является большим недостатком, поскольку они редко используются за пределами математической логики.

Именно за пределами математической логики они в основном и используются. В математической практике достаточно часто говорят о всех группах, например, и т.п.

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Мы исключили из теории множеств аксиому регулярности, поскольку она редко используется в математике.

Она используется при определении разных ординальных штук. Но без нее действительно можно обойтись.

Феликс Шмидель в сообщении #930516 писал(а):

Можно ограничить аксиому выделения $ZFC$ множествами, мощность которых меньше универсального множества, при этом разрешая любые свойства, вместе с тем принимая аксиому спецификации $NFU$, которая позволяет образовать универсальное множество.

Вряд ли получится ограничить только мощность. Если мы возьмем множество из одного элемента, у которого внутри что-то парадоксальное, не сломается ли все?

grizzly в сообщении #930567 писал(а):

В какой момент времени я допустил ошибку? Ведь нет такой аксиомы / признака, по которому любой я мог в п.3) заранее знать, что лишено смысла рассматривать множество $A$, когда уже было известно, что оно не пусто, но ещё не было известно, что его не существует?

В ZFC такой признак есть

[Someone]

grizzly в сообщении #930548 писал(а):

Пустое множество, например, не содержит себя в качестве подмножества.

В качестве подмножества как раз содержит.

grizzly в сообщении #930567 писал(а):

Рассмотрим множество $A$ (множество таких множеств). Оно, очевидно, не пусто

Высказывание "множество $A$ не пусто" ложно, если множество $A$ не существует.

В теории ZFC имеются специальные аксиомы для образования новых множеств, в том числе, аксиома выделения и аксиома замены. Существование множеств, определяемых методами, несводимыми к аксиомам ZFC, не гарантируется, даже если никакого противоречия при этом не получается (разумеется, если предположение существования такого множества приводит к противоречию, то множество не существует).

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Множество всех объектов $x$, обладающих этим свойством, обозначается выражением $\{x: \alpha(x)\}$.

Это не множество. В ZFC введение этого выражения (терма) является консервативным расширением языка. Определяемый объект называется классом. Не надо называть его множеством, если это не доказано.

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Отсутствие собственных классов не является большим недостатком, поскольку они редко используются за пределами математической логики.

В алгебре, насколько я знаю, используются достаточно часто. Да и в топологии часто приходится говорить о совокупностях топологических пространств, не являющихся множествами. И теория категорий пострадает (но её, конечно, не обязательно базировать на теории множеств, она может обсуждаться и обсуждается вполне самостоятельно).

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Мы исключили из теории множеств аксиому регулярности, поскольку она редко используется в математике.

Не знаю, не знаю. Я бы сказал, что наоборот: множества, не удовлетворяющие аксиоме регулярности, вообще ни для чего не нужны, кроме обсуждения парадокса Рассела. А без аксиомы регулярности возникают технические сложности даже в тех случаях, когда без аксиомы регулярности действительно можно обойтись.
Но, с другой стороны, есть же книга К.Куратовского и А.Мостовского "Теория множеств", в которой излагается ZFC без аксиомы регулярности.

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Несуществование множества $\{x: x \not \in x\}$ называется парадоксом Рассела.

По-моему, парадоксом Рассела называется как раз существование этого множества. Но как класс этот объект существует.

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Хорошо я излагаю и имеет ли смысл продолжать?

А что Вы пишете? Пособие для студентов?

[Феликс Шмидель]

Уважаемый Xaositect, спасибо за ответ.

grizzly в сообщении #930567 писал(а):

В какой момент времени я допустил ошибку? Ведь нет такой аксиомы / признака, по которому любой я мог в п.3) заранее знать, что лишено смысла рассматривать множество $A$, когда уже было известно, что оно не пусто, но ещё не было известно, что его не существует?

Цитата:

ZFC такой признак есть

Я думаю, здесь Вы сбиваете grizzly с толку.
Во первых, предполагается, что аксиомы $ZFC$ читателю ещё неизвестны.
Во-вторых, что это за признак?
Такого признака не может быть, потому что, предположив, что множество $A$ существует, не лишено смысла его рассматривать.

[grizzly]

Xaositect, Someone
Отдельное спасибо за исправления моих ошибок. Всё действительно так и помогло мне понимать.

Феликс Шмидель
Лучше всё же предполагать какой-то минимальный базовый уровень.
Не хотелось бы, чтоб из-за меня дискуссия ушла в неконструктив, но в любом случае прошу аккуратнее с цитированием -- я хоть и подзабыл основы, но настолько противоречивых утверждений стараюсь избегать :)

[Феликс Шмидель]

grizzly в сообщении #930606 писал(а):

Не хотелось бы, чтоб из-за меня дискуссия ушла в неконструктив, но в любом случае прошу аккуратнее с цитированием -- я хоть и подзабыл основы, но настолько противоречивых утверждений стараюсь избегать :)

Улыбнуло )).

[Феликс Шмидель]

Уважаемый Someone, большое спасибо за ответ.

Someone в сообщении #930595 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Множество всех объектов $x$, обладающих этим свойством, обозначается выражением $\{x: \alpha(x)\}$.

Это не множество. В ZFC введение этого выражения (терма) является консервативным расширением языка. Определяемый объект называется классом. Не надо называть его множеством, если это не доказано.

Здесь можно добавить, "если оно существует, обозначается ...".

Someone в сообщении #930595 писал(а):

В алгебре, насколько я знаю, используются достаточно часто. Да и в топологии часто приходится говорить о совокупностях топологических пространств, не являющихся множествами. И теория категорий пострадает (но её, конечно, не обязательно базировать на теории множеств, она может обсуждаться и обсуждается вполне самостоятельно).

Я не знал этого. Мне непонятно почему нельзя взять какое-нибудь большое множество вместо универсального класса и рассматривать все совокупности в его пределах?

Someone в сообщении #930595 писал(а):

А без аксиомы регулярности возникают технические сложности даже в тех случаях, когда без аксиомы регулярности действительно можно обойтись.
Но, с другой стороны, есть же книга К.Куратовского и А.Мостовского "Теория множеств", в которой излагается ZFC без аксиомы регулярности.

Интересно, какие технические сложности?
Я получил вторую степень по математике и никогда не встречал рассуждений, в которых была бы нужна эта аксиома.

Someone в сообщении #930595 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #930461 писал(а):

Несуществование множества $\{x: x \not \in x\}$ называется парадоксом Рассела.

По-моему, парадоксом Рассела называется как раз существование этого множества. Но как класс этот объект существует.

По-моему, именно несуществование, которое противоречит ошибочной аксиоме "наивной" теории множеств о существовании. Классы не существуют в моём сообщении с того момента, как мы выбрали теорию, в которой все объекты являются элементами.

Someone в сообщении #930595 писал(а):

А что Вы пишете? Пособие для студентов?

Я пишу для удовольствия, потому что мне не нравятся длинные и сложные объяснения, которые можно, например, прочитать в Википедии. Мне очень нравится простота Ваших объяснений. Я слышал о Ваших лекциях, хорошо бы ссылку.
Но хотелось бы, чтобы то, что я пишу было кому-то нужно и было понятно любителям математики уровня читателей журнала "Квант".