Оценить сложность решения в целых числах x^3=ay^3+1

[ananova]

Хочу попросить Вашей помощи по оценке сложности нахождения непримитивных целочисленных решений уравнения $x^3=ay^3+1$ (1)

Рассмотрим подобные уравнения.
$ax^3+by^3=1$ (2) - сравнимо по сложности с уравнением $x^3+y^3=z^3$ (3)
$x^3=y^3+1$ (4) - не имеет решений с простым доказательством.

В русском издании книги Рибенбойма на стр. 51 приводится уравнение $x^3+y^3=Az^3$ (5), которое имеет непримитивные целочисленные решения. При $y=-1$ это уравнение подобно уравнению (1).

Подскажите, пожалуйста, насколько- сложно найти решения уравнения (1)?

Может быть это единственный путь?

$$x^3=ay^3+1$$

$$x^3-1=ay^3$$

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=ay^3$$

Тогда одно из возможных решений: $a=(x-1), y^3=(x^2+x+1)$

-- Ср окт 29, 2014 10:39:00 --

В соседней теме http://dxdy.ru/post921481.html#p921481 было показано, что при
$q=3y^2-1$ (т.о. $q$ подменяет переменную $x$ уравнения (1)) и, при подмене $y^3$ на $X^3$ уравнение (1) принимает вид: $q^3=AX^3+1$ (5), но оно не имеет решения, т.к. верна ВТФ, $q^3=(y^3-(y-1)^3)((y+1)^3-y^3)+1$, что соответствует при гипотетическом решение ВТФ уравнению (1) или:

$$q^3=(y^3-(y-1)^3)X^3+1$$

Которое равносильно

$$q^3=AX^3+1$$

Если абстрогироваться от доказательства через ВТФ и доказать отсутствие решений, то мы докажем ВТФ.

(Оффтоп)

Так я думаю.

[Sonic86]

$x^3=ay^3+1 \Leftrightarrow$
$y^3\mid x^3-1 \Leftrightarrow x^3\equiv 1\pmod {y^3} \Rightarrow x^3\equiv 1\pmod y$
$|y|=1$ - решение
и в целом получается не особо интересно:
разлагаем $y$ на простые множители:
для простых множителей $q$ вида $3k-1$ решение только $x\equiv 1\pmod q$
для простых множителей $q$ вида $3k+1$ решения ровно 3 штуки: $x\equiv \omega^{0;1;2}\pmod q$
для $q=3$ немного посложнее.
потом все это собираем в кучу и подымаем решение до решения сравнения $x^3\equiv 1\pmod {y^3}$

[alexo2]

ananova в сообщении #924019 писал(а):

принимает вид: $q^3=AX^3+1$ (5), но оно не имеет решения, т.к. верна ВТФ, $q^3=(y^3-(y-1)^3)((y+1)^3-y^3)+1$, что соответствует при гипотетическом решение ВТФ уравнению (1) или:

$$q^3=(y^3-(y-1)^3)X^3+1$$

Которое равносильно

$$q^3=AX^3+1$$

Не совсем понятно, что имеется ввиду.. Эти уравнения имеют бесконечное множество решений. Например, даже для уравнения с разностью соседних кубов: (9, 91, 2)

[ananova]

alexo2 в сообщении #924039 писал(а):

Не совсем понятно, что имеется ввиду.. Эти уравнения имеют бесконечное множество решений. Например, даже для уравнения с разностью соседних кубов: (9, 91, 2)

Не совсем понял - какие переменные принимают значения $(9, 91, 2)$?
Если $q=9$, то не "стыкуется"..

[alexo2]

а.., понятно, "стыкуется" только (2, 7, 1) ..

[ananova]

alexo2 в сообщении #924069 писал(а):

а.., понятно, "стыкуется" только (2, 7, 1) ..

Да, получается:

$y=1$
$q=3y^2-1=2$
$3y^2+q^2=7\cdot1=((y+1)^3-y^3)(y^3-(y-1)^3)$

Если методом спуска проверять все подряд возможные решения, то "упремся" в уравнение $y^3-(y-1)^3=x^3$ , $1^3-0^3=1^3$

[alexo2]

Вот список нетривиальных решений до 2000 (по всем переменным):
9, 91, 2
10, 37, 3
17, 614, 2
18, 17, 7
19, 254, 3
25, 1953, 2
28, 813, 3
37, 1876, 3
73, 1801, 6
361, 635, 42
с общим решением - туго..

[ananova]

alexo2 в сообщении #924099 писал(а):

Вот список нетривиальных решений до 2000 (по всем переменным):
9, 91, 2

Мы же вычеркнули это "решение"?

[alexo2]

ananova в сообщении #924102 писал(а):

Мы же вычеркнули это "решение"?

По тем же причинам мы можем вычеркнуть и остальные решения. Я о том, что промежуточная задача, которую Вы сами обозначили - найти метод получения (формулу, если хотите) ВСЕХ решений. А затем, исследуя полученное, доказать, что решения, получаемые не могут удовлетворять неким дополнительным условиям..

[ananova]

Можно попробовать создать систему уравнений (сравнений), но сложно найти решение.

$$x^3+y^3=(y+1)^3$$

В кольце вычетов по модулю $y^3$:

$$x^3 \equiv (y+1)^3 \mod (y^3)$$

Т.к. $(x,y)=1$, $(y,y+1)=1$, $(x,y+1)=1$, то существует $w$: $wx \equiv (y+1) \mod (y^3)$.
Тогда

$$w^3x^3 \equiv (y+1)^3 \mod (y^3)$$

$$w^3 \equiv 1 \mod (y^3)$$

$$(y+1)w^2x^2 \equiv (y+1)^2wx \equiv (y+1)^3 \mod (y^3)$$

Вариант уравнения $w^3x^3 = y^3+x^3$ невозможен.
Вариант уравнения $w^3x^3 = x^3y^3+x^3$ невозможен.
Вариант уравнения $w^3x^3 = Ax^{3k}y^3+x^3$ сомневаюсь.
Вариант уравнения $w^3x^3 = Ax^3y^3+x^3$ возможен.
После сокращения на $x^3$ приходим к виду уравнения (1):

$$w^3 = Ay^3+1$$

$$w^3-1=(w-1)(w^2+w+1) = Ay^3$$

$$w^2+w+1 = By^3$$

Напомню, что для переменной $x: x^3=3y^2+3y+1$ есть уравнение только с двумя переменными:

$$q^2+q+1=(3y^2-3y+1)(3y^2+3y+1)$$

Где $q=3y^2-1$.

[ananova]

В силу того, что все решения для пар разностей соседних кубов "проходят" через произведения разностей соседних кубов, то необходимо рассматривать вариант, что существует $y_f>y$:

$$(y_f+1)^3-y_f^3=3y_f^2+3y_f+1=y^3$$

В таком случае:

$$q_f^2+q_f+1=(y_f^3-(y_f-1)^3)y^3=(3y_f^2-3y_f+1)y^3$$

В таком случае вопрос - возможно ли равенство $w = q_f$ (см. предыдущий пост)?

[Volodar]

ananova в сообщении #924019 писал(а):

Хочу попросить Вашей помощи по оценке сложности нахождения непримитивных целочисленных решений уравнения $x^3=ay^3+1$ (1)
Подскажите, пожалуйста, насколько- сложно найти решения уравнения (1)?

Ничего сложного нет.
Дано:
$x^3=ay^3+1$ (1)
Запишем:
$ay^3=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)M$ (2)
$M=\frac{x^3-1}{x-1}$ (3)
Принимаем:
$x-1=py^3$ (4)
$p=1, 2, 3...$
Отсюда:
$x=py^3+1$ (5)
Задаваясь значениями чисел $p, y$, по формуле (5) определяем число $x$.
Из уравнений (2), (4) получим:
$ay^3=py^3M$ (6)
Отсюда:
$a=pM$ (7)

Примеры:
$y=5; p=2$
$x=2\cdot5^3+1=251$
$M=\frac{251^3-1}{251-1}=63253$
$a=pM=2\cdot63253=126506$

$y=5; p=3$
$x=3\cdot5^3+1=376$
$M=\frac{376^3-1}{376-1}=141753$
$a=pM=3\cdot141753=425259$

[ananova]

Volodar в сообщении #955379 писал(а):

ananova в сообщении #924019 писал(а):

Хочу попросить Вашей помощи по оценке сложности нахождения непримитивных целочисленных решений уравнения $x^3=ay^3+1$ (1)
Подскажите, пожалуйста, насколько- сложно найти решения уравнения (1)?

Ничего сложного нет.
Дано:
$x^3=ay^3+1$ (1)
Запишем:
$ay^3=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)M$ (2)
$M=\frac{x^3-1}{x-1}$ (3)
Принимаем:
$x-1=py^3$ (4)
$p=1, 2, 3...$
Отсюда:
$x=py^3+1$ (5)
Задаваясь значениями чисел $p, y$, по формуле (5) определяем число $x$.
Из уравнений (2), (4) получим:
$ay^3=py^3M$ (6)
Отсюда:
$a=pM$ (7)

Спасибо за вариант решения.
В приближении к проблеме ВТФ более интересно найти вариант решения, предположив, что введенная Вами переменная $M$: $M=dy^3$.

[Volodar]

ananova в сообщении #955515 писал(а):

Volodar в сообщении #955379 писал(а):

ananova в сообщении #924019 писал(а):

Хочу попросить Вашей помощи по оценке сложности нахождения непримитивных целочисленных решений уравнения $x^3=ay^3+1$ (1)
Подскажите, пожалуйста, насколько- сложно найти решения уравнения (1)?

Ничего сложного нет.
Дано:
$x^3=ay^3+1$ (1)
Запишем:
$ay^3=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)M$ (2)
$M=\frac{x^3-1}{x-1}$ (3)
Принимаем:
$x-1=py^3$ (4)
$p=1, 2, 3...$
Отсюда:
$x=py^3+1$ (5)
Задаваясь значениями чисел $p, y$, по формуле (5) определяем число $x$.
Из уравнений (2), (4) получим:
$ay^3=py^3M$ (6)
Отсюда:
$a=pM$ (7)

Спасибо за вариант решения.
В приближении к проблеме ВТФ более интересно найти вариант решения, предположив, что введенная Вами переменная $M$: $M=dy^3$.

При заданном числе $x$ $M$ вполне определенная величина.
Использовать ее как переменную величину, видимо, не получится.
$M=dy^3=x^2+x+1$
Отсюда квадратное уравнение:
$x^2+x-(dy^3-1)=0$
Скорее всего, $x$ - дробное (иррациональное) число.

[Shadow]

Интересно, один форумный знакомый (Markopolo, Козий) точно так же решал в общем виде уравнение Пелля, совершенно не понимая что такое неизвестное, что параметр. (Введение идиотской переменной $M$, числовые примеры, дробное (иррациональное) число).Volodar, он случайно не Ваш знакомый?