Хочу попросить Вашей помощи по оценке сложности нахождения непримитивных целочисленных решений уравнения
![$x^3=ay^3+1$ $x^3=ay^3+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/8/a4894fd41c6ef71b0a582acb3e73f4e382.png)
(1)
Рассмотрим подобные уравнения.
![$ax^3+by^3=1$ $ax^3+by^3=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/8/5d8dbb3ad9cd54483e951037171b820282.png)
(2) - сравнимо по сложности с уравнением
![$x^3+y^3=z^3$ $x^3+y^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/8/a7894bcb34304fa5dde145d2a56776db82.png)
(3)
![$x^3=y^3+1$ $x^3=y^3+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/8/158260728b0187a8a96547b787da2c7482.png)
(4) - не имеет решений с простым доказательством.
В русском издании книги Рибенбойма на стр. 51 приводится уравнение
![$x^3+y^3=Az^3$ $x^3+y^3=Az^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/b/eabeda9ee7deed9c53f15023f8c27f2482.png)
(5), которое имеет непримитивные целочисленные решения. При
![$y=-1$ $y=-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/f/1bff0e95fdc5dc5190c88c0a706c22ac82.png)
это уравнение подобно уравнению (1).
Подскажите, пожалуйста, насколько- сложно найти решения уравнения (1)?
Может быть это единственный путь?
![$$x^3=ay^3+1$$ $$x^3=ay^3+1$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/2/ee20a71429490bad90d124a52b7f129282.png)
![$$x^3-1=ay^3$$ $$x^3-1=ay^3$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/1/011a1749e6d321631828f5d4e1e40ada82.png)
![$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=ay^3$$ $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=ay^3$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/4/9e4a11ecd99d845ee870f626e32b33e682.png)
Тогда одно из возможных решений:
-- Ср окт 29, 2014 10:39:00 --В соседней теме
http://dxdy.ru/post921481.html#p921481 было показано, что при
![$q=3y^2-1$ $q=3y^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/1/2d147df26e4a5bd0688b592d8af311f782.png)
(т.о.
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
подменяет переменную
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
уравнения (1)) и, при подмене
![$y^3$ $y^3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/0/8f039b2f9ee9b91356d653eb8dee1d3882.png)
на
![$X^3$ $X^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/d/a5dad8549891a28858760ce148cc344982.png)
уравнение (1) принимает вид:
![$q^3=AX^3+1$ $q^3=AX^3+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/7/8b7c56f3fae5827c781b2bec3ff9649182.png)
(5), но оно не имеет решения, т.к. верна ВТФ,
![$q^3=(y^3-(y-1)^3)((y+1)^3-y^3)+1$ $q^3=(y^3-(y-1)^3)((y+1)^3-y^3)+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/f/95f99b8ad86f65e4e166b4c7ce653dea82.png)
, что соответствует при гипотетическом решение ВТФ уравнению (1) или:
![$$q^3=(y^3-(y-1)^3)X^3+1$$ $$q^3=(y^3-(y-1)^3)X^3+1$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/a/60a724b255bcd508ee3c34ca52f42cc482.png)
Которое равносильно
![$$q^3=AX^3+1$$ $$q^3=AX^3+1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5de4d6a56f63127888e268605910f8ec82.png)
Если абстрогироваться от доказательства через ВТФ и доказать отсутствие решений, то мы докажем ВТФ.
(Оффтоп)
Так я думаю.