Принцип неразличимости тождественных частиц

[warlock66613]

studentmk_32 в сообщении #917406 писал(а):

Хорошо. А в чем тогда порочность такого рассуждения: возьмем два электрона, пронумеруем их. Через какое-то время снова посмотрим на них. В силу неравенства Гейзенберга траекторий нет, следовательно и где какай электрон мы не знаем. Значит мы принципиально не можем различить электроны -> принцип тождественности.

В таком принципе тождественности мало проку. Ну не можем и не можем, ну и что? В действительности же принцип тождественности имеет вполне конкретную и юзабельную математическую формулировку: при перестановке двух тождественных частиц местами квадрат модуля волновой функции не меняется.

(Оффтоп)

studentmk_32 в сообщении #917406 писал(а):

Немного оффтопа. А как различать инструментальный принцип и закон природы?

Закон природы можно проверить экспериментально. Принцип наименьшего действия вообще проверить экспериментально нельзя. Можно проверить только какой-то конкретный принцип наименьшего действия, т. е. (принцип наименьшего действия + какое-то конкретное действие).

[Red_Herring]

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

amon в сообщении #917222
писал(а):
1. Какова волновая функция частицы, если точно известно, что сейчас (в момент времени $t=0$) она сидит в точке $x_0$.
Я бы сказал, что дельта-функция. Т.е. $\psi_0(x) = \delta(x - x_0)$.

amon в сообщении #917306 писал(а):

Засчитано (условно)

Этого не может быть, потому что не может быть никогда. И дело здесь даже не в бесконечной энергии, а в бесконечной полной вероятности. Рассмотрим к примеру такую $\delta$–образную последовательность $\phi_\varepsilon= \varepsilon^{-3}\phi( (x-x_0)/\varepsilon)$ с $\|\phi\|=1$ (все нормы—в $L^2(\mathbb{R}^3)$). Увы, $\|\phi_\varepsilon\|=\varepsilon^{-3/2}$. Чтобы $\|\phi_\varepsilon\|=1$ нужно брать $\phi_\varepsilon= \varepsilon^{-3/2}\phi( (x-x_0)/\varepsilon)$, но тогда $\phi_\varepsilon\to 0$ в смысле распределений при $\varepsilon\to 0$.

(Оффтоп)

My Cousin Vinny, http://www.imdb.com/title/tt0104952/quotes писал(а):

D.A. Jim Trotter: Now, uh, Ms. Vito, being an expert on general automotive knowledge, can you tell me... what would the correct ignition timing be on a 1955 Bel Air Chevrolet, with a 327 cubic-inch engine and a four-barrel carburetor?
Mona Lisa Vito: It's a bullshit question.
D.A. Jim Trotter: Does that mean that you can't answer it?
Mona Lisa Vito: It's a bullshit question, it's impossible to answer.
D.A. Jim Trotter: Impossible because you don't know the answer!
Mona Lisa Vito: Nobody could answer that question!
D.A. Jim Trotter: Your Honor, I move to disqualify Ms. Vito as a "expert witness"!
Judge Chamberlain Haller: Can you answer the question?
Mona Lisa Vito: No, it is a trick question!
Judge Chamberlain Haller: Why is it a trick question?
Vinny Gambini: [to Bill] Watch this.
Mona Lisa Vito: 'Cause Chevy didn't make a 327 in '55, the 327 didn't come out till '62. And it wasn't offered in the Bel Air with a four-barrel carb till '64. However, in 1964, the correct ignition timing would be four degrees before top-dead-center.
D.A. Jim Trotter: Well... um... she's acceptable, Your Honor.

[amon]

Red_Herring в сообщении #917420 писал(а):

Этого не может быть, потому что не может быть никогда.

Поэтому и условно. Но в таких тонкостях пока, на мой взгляд, разбираться рано. Задача у нас одномерная, поэтому все "почти хорошо" - можно регуляризоваться.

[arseniiv]

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Я понимаю, как это соотношение получается математически. Но я не понимаю его физический смысл. Это принципиальное ограничение на точность, с которой мы знаем координату и импульс частицы?

На точность, с которой они вообще есть. У классической точечной частицы есть положение и импульс, всегда, да. Не зная их, мы ничего не посчитаем, а вот зная — обязательно. Их достаточно. А у волновой функции (или даже просто возьмите волны на воде) этого добра «изначально» нет, но мы старательно вводим аналогичные величины с помощью принципа соответствия.

Ну а волнам (и водяным) от этого ни горячо, ни холодно! Волновое уравнение никак не включает средние координат и импульса, и, напротив, позволяет узнать, что произойдёт в следующий момент в кусочке пространства по тому, что творится сейчас в этом кусочке, не требуя знания всего сразу (ибо дифур).

[Munin]

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

То есть принцип тождественности стоит понимать, как что-то данное свыше?

Для начала, его надо понимать.

-- 11.10.2014 00:21:30 --

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Это принципиальное ограничение на точность, с которой мы знаем координату и импульс частицы?

Это принципиальное ограничение на точность, с которой в природе существуют понятия координаты и импульса частицы.

[amon]

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Но я не понимаю его физический смысл. Это принципиальное ограничение на точность, с которой мы знаем координату и импульс частицы?

Отдельно координату и отдельно импульс мы можем (в рамках КМ) знать с любой точностью. Иглу сканирующего туннельного микроскопа контролируемо сдвигают на величину меньше диаметра атома. Ограничение есть на возможность одновременного измерения координаты и импульса.

studentmk_32 в сообщении #917406 писал(а):

А в чем тогда порочность такого рассуждения: возьмем два электрона, пронумеруем их.

Порочность в том, что электроны нельзя пронумеровать.Прямого эксперимента, доказывающего это, я не знаю, но из этого масса хорошо проверенных следствий (именно из факта невозможности самой нумерации).

Если Вы правильно решите задачу Коши (а я почему-то думаю, что решите), то получите что-то вроде (с точностью до $m,\hbar$ итп)
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi i t}}\exp i\frac{(x-x_0)^2}{t}$
Отсюда видно, что "если положение электрона точно известно в настоящий момент времени", т.е. волновая функция является собственной функцией оператора координаты $\hat{x}$ с собственным значением $x_0$,

(Оффтоп)

Red_Herring, я все знаю, но так пишут во всех учебниках про импульс, почему нельзя про координату?

то "уже в следующий момент" никакой такой катастрофы не будет. Состояние чуть-чуть размажется вокруг $x_0$ и боле - ничего. Посему, первые три абзаца можно смело пропустить и начинать с четвертого, а к этим абзацам вернуться, когда все будет прочитано и слегка понято, с целью попытаться угадать, что же на самом деле хотели сказать академики.

[amon]

amon в сообщении #917483 писал(а):

о "уже в следующий момент" никакой такой катастрофы не будет. Состояние чуть-чуть размажется вокруг $x_0$ и боле - ничего. Посему, первые три абзаца можно смело пропустить и начинать с четвертого, а к этим абзацам вернуться, когда все будет прочитано и слегка понято, с целью попытаться угадать, что же на самом деле хотели сказать академики.

Что-то какую-то чушь сегодня несу и не краснею. Полученное решение как раз точку зрения академиков подтверждает. Через сколь угодно короткий промежуток от $\delta$-функции ничего не останется. Но утверждение про три абзаца остается в силе.

[Red_Herring]

amon в сообщении #917483 писал(а):

Red_Herring, я все знаю, но так пишут во всех учебниках про импульс, почему нельзя про координату?

Им можно, а мне нельзя? Разумеется оба рассуждения одинаково некошерны, в том смысле что ни $\delta (x-x_0)$, ни $e^{i\hbar^{-1}\langle x, p-p_0\rangle}$ не принадлежат пространству $L^2(\mathbb{R}^3)$, т.е. допустимыми функциями не являются. И то, и другое рассуждения можно сформулировать строго, если говорить о подходящих последовательностях или если использовать нестандартный анализ и разумеется окончательный вывод стоит, хотя его строгая формулировка должна быть более громоздкой.

[Munin]

amon в сообщении #917483 писал(а):

Порочность в том, что электроны нельзя пронумеровать.Прямого эксперимента, доказывающего это, я не знаю

Достаточно послать два электрона на две щели. Интерференционные полосы будут сформированы "частью одного электрона и частью другого электрона". Если с щелями не хочется возиться (на практике это сложновато), то гораздо проще интерференция на кристалле.

-- 11.10.2014 13:27:14 --

Да что там. Любой эксперимент, в котором проявляется принцип запрета Паули, демонстрирует, что электроны нельзя пронумеровать.

[studentmk_32]

warlock66613

Спасибо.

arseniiv и Munin

Вы глубоко копнули. То есть Вы утверждаете, что неравенстно Гейзенберга устанавливает границы применимости таких понятий, как координата и импульс? Причем определение одновременное?

amon

Почти получилось, как Вы говорили.
Я взял нестационарное уравнение Шредингера, перешел в импульсное представление, решил его, а потом обратно в координтаное.
Итого:
$\psi(x,t) = \frac{1}{2\pi\hbar}\sqrt{\frac{2m}{t}}\exp{\frac{i}{\hbar}\sqrt{\frac{m}{2t}}(x - x_0)^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp{\frac{-i}{\hbar}y^2\,dy}$
И вот последний интеграл - он берется? Или я где-то ошибся?

[Munin]

studentmk_32 в сообщении #917597 писал(а):

Вы глубоко копнули. То есть Вы утверждаете, что неравенстно Гейзенберга устанавливает границы применимости таких понятий, как координата и импульс? Причем определение одновременное?

Нет. Неравенство Гейзенберга устанавливает границы применимости такого понятия, как точечная частица. Если вы перейдёте к волновой функции, и будете понимать понятия координаты и импульса в соответствующем смысле, то границ их применимости нет. (По крайней мере, по неравенству Гейзенберга в нерелятивистской квантовой механике. В квантовой теории поля (которая является релятивистским обобщением квантовой механики) всё несколько веселее.)

Надо только "сменить рамку восприятия", и понять, что старые привычные понятия координаты и импульса устарели, и их надо заменить на другие, более мощные и более сложные. Вместо одного числа - координаты - есть волновая функция, которая даёт распределение разных значений координат. И аналогично, вместо одного числа - импульса - есть спектр по импульсам (или волновая функция в импульсном представлении), который даёт распределение разных значений импульса. И то и другое распределение существует в точном смысле. Одновременно.

[studentmk_32]

Munin

Спасибо. Начало проясняться. Я еще подумаю на этот счет.

[Munin]

Очень помогает в этом деле знание, как из квантовой механики возникает классическая (квазиклассическое приближение).

[chislo_avogadro]

studentmk_32 в сообщении #917597 писал(а):

И вот последний интеграл - он берется? Или я где-то ошибся?

А вот не надо считать на счётах то, что можно посчитать на пальцах :) Просто взять n микрочастиц в состоянии с определённым импульсом и прикинуть разброс измерений импульса и разброс измерений координаты.

[amon]

studentmk_32 в сообщении #917597 писал(а):

И вот последний интеграл - он берется? Или я где-то ошибся?

Вы будете удивлены, но он сходится и берется. Сходимость проверяется заменой переменных $y^2=z$, а интеграл можно взять либо левым способом (математики его не одобрят): сосчитать $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(-\alpha x^2)dx$ (знаете как считать?), и положить $\alpha=-i$ в ответе, либо честно, с помощью функций комплексного переменного, - проинтегрировать по 45 градусному углу.

-- 11.10.2014, 21:28 --

Munin в сообщении #917585 писал(а):

Любой эксперимент, в котором проявляется принцип запрета Паули, демонстрирует, что электроны нельзя пронумеровать.

IMHO это, все-таки, косвенные эксперименты, но это - дело вкуса.

-- 11.10.2014, 21:32 --

Red_Herring в сообщении #917525 писал(а):

если использовать нестандартный анализ

Спасибо! Про обобщенные функции знаю, про нестандартный анализ - нет. Дурацкий вопрос. А к функциональному интегралу его пробовали присобачить, и если пробовали, то где почитать что получилось?