Принцип неразличимости тождественных частиц

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Никак не могу понять этот самый принцип.
Во-первых, если взять за основу ЛЛ, том 3, пар. 61, то там есть следующий слова:

Если положение электрона точно известно в настоящий момент, то уже в следующий момент его координаты не имеют никакого определенного значения.

Не понятно, что значит точно? Что дисперсия $\bigtriangleup x = 0$? Или что-то другое?
И почему же в следующий момент координаты не имеют определенного значения?

А во-вторых, почему же это "принцип"? Раз, по-видимому, его можно вывести?

[Legioner93]

Думаю, всё дело в принципе неопределённости. Если погрешность в определении координаты нулевая, то тогда погрешность импульса получается бесконечность. Т.е. мы совершенно ничего не можем сказать о скорости, а значит и о координате через любой ненулевой промежуток времени, даже самый малый.

[Mihr]

Кажется, Вы путаете принцип неразличимости одинаковых частиц с соотношением неопределённостей (которое иногда называют также принципом неопределённости).

[amon]

Вообще-то, эта фраза к неразличимости не имеет отношения, поскольку речь идет об одной частице. Тем не менее, фразу эту надо понять. Попробуйте ответить на два вопроса:
1. Какова волновая функция частицы, если точно известно, что сейчас (в момент времени $t=0$) она сидит в точке $x_0$.
2.Какова вероятность найти частицу в точке $x_1$ в момент времени $t=1$.
Если Вы найдете ответы на эти вопросы то это значит, что Вы что-то поняли в КвМех'e.

[Munin]

Полезно знать, что это свойство принадлежит конкретно уравнению Шрёдингера. При рассмотрении околорелятивистских скоростей уравнение Шрёдингера заменяется на его релятивистский аналог (проще всего рассмотреть уравнение Клейна-Гордона). А там ситуация другая: электрон может иметь какие угодно импульсы, но не имеет скорости больше $c.$

[warlock66613]

studentmk_32 в сообщении #917216 писал(а):

А во-вторых, почему же это "принцип"? Раз, по-видимому, его можно вывести?

Исторически сложившееся название.

[studentmk_32]

Legioner93 в сообщении #917219 писал(а):

Если погрешность в определении координаты нулевая, то тогда погрешность импульса получается бесконечность.

Да, так и есть. Но что Вы понимаете, под погрешностью? Дисперсию $\triangle p = \sqrt{\langle\psi\vert (\hat{p} - \bar{p})^2\vert\psi\rangle}$?

Legioner93 в сообщении #917219 писал(а):

Т.е. мы совершенно ничего не можем сказать о скорости

А каким образом скорость связана с импульсом в КМ? Оператор скорости есть оператор импульса, "деленный" на массу?

Mihr в сообщении #917220 писал(а):

Кажется, Вы путаете принцип неразличимости одинаковых частиц с соотношением неопределённостей (которое иногда называют также принципом неопределённости).

Я не путаю. Скорее я не до конца понимаю соотношение неопределенности и поэтому не могу понять принцип тождественности.

amon в сообщении #917222 писал(а):

1. Какова волновая функция частицы, если точно известно, что сейчас (в момент времени $t=0$) она сидит в точке $x_0$.

Я бы сказал, что дельта-функция. Т.е. $\psi_0(x) = \delta(x - x_0)$.

amon в сообщении #917222 писал(а):

2.Какова вероятность найти частицу в точке $x_1$ в момент времени $t=1$.

Я, как понимаю, надо решить уравнение Шредингера с гранусловием $\psi_0(x)$. Так?

Munin в сообщении #917242 писал(а):

Полезно знать, что это свойство принадлежит конкретно уравнению Шрёдингера. $c.$

Извините, не понял. Какое именно свойство?
До Клейна-Гордона еще дорасти надо. :)

warlock66613 в сообщении #917296 писал(а):

studentmk_32 в сообщении #917216 писал(а):

А во-вторых, почему же это "принцип"? Раз, по-видимому, его можно вывести?

Исторически сложившееся название.

Ага. То есть здесь
http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0% ... 6/08-1.htm
в конце четвертого абзаца фигня написана?

[amon]

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

Я бы сказал, что дельта-функция. Т.е. $\psi_0(x) = \delta(x - x_0)$.

Засчитано (условно)

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

Я, как понимаю, надо решить уравнение Шредингера с гранусловием $\psi_0(x)$. Так?

А поточнее. Пусть частица свободная, а движение одномерно. Какое уравнение с какими условиями надо решить. (Заодно, выясните, где Лев Давидович соврал в этой фразе).

[arseniiv]

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

Скорее я не до конца понимаю соотношение неопределенности

Ну, это просто соотношение между кое-какими выражениями с операторами, довольно механически вытекающее из свойств преобразования Фурье.

[warlock66613]

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

Скорее я не до конца понимаю соотношение неопределенности и поэтому не могу понять принцип тождественности.

Они друг с другом никак не связаны.

-- 10.10.2014, 20:35 --

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

в конце четвертого абзаца фигня написана?

Нет, нормально написано, но там как раз про принцип тождественности.

[Munin]

amon в сообщении #917306 писал(а):

(Заодно, выясните, где Лев Давидович соврал в этой фразе).

Ну всё ж таки не соврал. Он же говорил про электрон, а не про уравнение :-)

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

Ага. То есть здесь http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0% ... 6/08-1.htm
в конце четвертого абзаца фигня написана?

Нет, просто это совершенно другая тема, чем то, о чём вы разговор завели.

[studentmk_32]

amon в сообщении #917306 писал(а):

А поточнее. Пусть частица свободная, а движение одномерно. Какое уравнение с какими условиями надо решить. (Заодно, выясните, где Лев Давидович соврал в этой фразе).

Уравнение Шредингера: $-i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H}\psi(x,t)$.
Пусть $\psi(x,t) = \psi(x)\varphi(t)$. Тогда $\varphi(t) = \exp{i\frac{E}{\hbar}t}$, а $\psi(x) = A\exp{ikx} + B\exp{-ikx}$, где $k = \frac{2mE}{\hbar^2}$.
Условие: $\psi(x,0) = \delta(x-x_0)$.
А вот как найти $A, B$ я не знаю. Может через импульсное представление надо было?

arseniiv в сообщении #917307 писал(а):

Ну, это просто соотношение между кое-какими выражениями с операторами, довольно механически вытекающее из свойств преобразования Фурье.

Я понимаю, как это соотношение получается математически. Но я не понимаю его физический смысл. Это принципиальное ограничение на точность, с которой мы знаем координату и импульс частицы?

warlock66613 в сообщении #917356 писал(а):

studentmk_32 в сообщении #917300 писал(а):

Скорее я не до конца понимаю соотношение неопределенности и поэтому не могу понять принцип тождественности.

Они друг с другом никак не связаны.

То есть принцип тождественности стоит понимать, как что-то данное свыше?
Как принцип наименьшего действия. Он работает, поэтому мы им пользуемся.

[warlock66613]

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

То есть принцип тождественности стоит понимать, как что-то данное свыше?

Да, до тех пор пока за ним не обнаружится что-то более фундаментальное.

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Как принцип наименьшего действия. Он работает, поэтому мы им пользуемся.

Ну это не совсем одного поля ягоды. Принцип наименьшего действия вообще - это не закон природы, это инструментальный принцип, принцип построения теорий, который позволяет строить теории с наименьшими затратами сил. А принцип тождественности частиц - это действительно закон природы, выведенный из опыта.

[amon]

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Уравнение Шредингера: $-i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H}\psi(x,t)$.
Пусть $\psi(x,t) = \psi(x)\varphi(t)$. Тогда $\varphi(t) = \exp{i\frac{E}{\hbar}t}$, а $\psi(x) = A\exp{ikx} + B\exp{-ikx}$, где $k = \frac{2mE}{\hbar^2}$.
Условие: $\psi(x,0) = \delta(x-x_0)$.

Засчитана первая и третья строчки. Вторая неверная. Итого, Вам надо решить задачу Коши (не задачу на собственные значения!), и Вы все поймете.

[studentmk_32]

warlock66613 в сообщении #917372 писал(а):

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

То есть принцип тождественности стоит понимать, как что-то данное свыше?

Да, до тех пор пока за ним не обнаружится что-то более фундаментальное.

Хорошо. А в чем тогда порочность такого рассуждения: возьмем два электрона, пронумеруем их. Через какое-то время снова посмотрим на них. В силу неравенства Гейзенберга траекторий нет, следовательно и где какай электрон мы не знаем. Значит мы принципиально не можем различить электроны -> принцип тождественности.
Или этот принцип более общий? И нельзя этот пример с электронами экстраполировать?

warlock66613 в сообщении #917372 писал(а):

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

То есть принцип тождественности стоит понимать, как что-то данное свыше?

Да, до тех пор пока за ним не обнаружится что-то более фундаментальное.

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Как принцип наименьшего действия. Он работает, поэтому мы им пользуемся.

Ну это не совсем одного поля ягоды. Принцип наименьшего действия вообще - это не закон природы, это инструментальный принцип, принцип построения теорий, который позволяет строить теории с наименьшими затратами сил. А принцип тождественности частиц - это действительно закон природы, выведенный из опыта.

Спасибо за пояснение.

(Оффтоп)

Немного оффтопа. А как различать инструментальный принцип и закон природы?

amon в сообщении #917404 писал(а):

studentmk_32 в сообщении #917370 писал(а):

Уравнение Шредингера: $-i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H}\psi(x,t)$.
Пусть $\psi(x,t) = \psi(x)\varphi(t)$. Тогда $\varphi(t) = \exp{i\frac{E}{\hbar}t}$, а $\psi(x) = A\exp{ikx} + B\exp{-ikx}$, где $k = \frac{2mE}{\hbar^2}$.
Условие: $\psi(x,0) = \delta(x-x_0)$.

Засчитана первая и третья строчки. Вторая неверная. Итого, Вам надо решить задачу Коши (не задачу на собственные значения!), и Вы все поймете.

Ок. Сегодня, наверное, не успею, но завтра отпишусь об успехах.