объем срезанного конуса

[arseniiv]

math_lover в сообщении #910660 писал(а):

а что за код Вы имеете ввиду, я не представляю

Тот текст, что вы вводили в Mathematica / Альфу. Даже если это был свободный ввод, стоит посмотреть.

[math_lover]

Я в Mathematica просто ввожу так, как мне удобно, и заодно программа понимает. Седьмая версия еще свободный ввод как Wolfram Alpha, не понимает.



В Wolfram Alpha я по одному интегралу ввожу, тройной она упорно не хочет "понимать".

Я скорее склонен считать, что пределы неправильно решены. Но мне об этом напрямую еще никто не подтвердил—вот я и не знаю, где моя ошибка.

[Munin]

math_lover в сообщении #910702 писал(а):

Я скорее склонен считать, что пределы неправильно решены.

Я тоже. Мне очень подозрительны косинусы в знаменателях.

[arseniiv]

math_lover, у меня вашей картинки не видно. Если открыть отдельно, открывается Dropbox’ова страница 404. Ссылка битая, попробуйте ещё раз?

(Оффтоп)

Пределы я бы проверил, но лень. Проще попытаться вывести с нуля, но и это лень.

[Aritaborian]

arseniiv, перезалил для вас ;-)

[math_lover]

arseniiv в сообщении #910759 писал(а):

math_lover, у меня вашей картинки не видно. Если открыть отдельно, открывается Dropbox’ова страница 404. Ссылка битая, попробуйте ещё раз?

(Оффтоп)

Пределы я бы проверил, но лень. Проще попытаться вывести с нуля, но и это лень.

Я и площадь боковой поверхности решил $\[M = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_{\frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}}^6 {{u_1}} } d{u_1}d{v_1} = \frac{{9\pi }}{{16}}\left( {64\sqrt 2 - 27} \right)\]$, и косинус в знаменателе, правда в этот раз предел не может до бесконечности расти, как это в тройном интеграле при нахождении объема случается: $\[r\left( {{u_1},{v_1}} \right) = \frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}}\]$ при $\[{v_1} = \frac{\pi }{2},{v_1} = \frac{{3\pi }}{2}\]$

Может попробуете все-таки, arseniiv?

[arseniiv]

Попробовал взять интеграл от площадей круговых сегментов, или как их там — берёт-берёт, и всё никак не возьмёт…

[redicka]

А зачем брать тройные интегралы? Объем косо отсеченной части конуса со стороны вершины считается элементарно.
А значит и сам объем косо отсеченного конуса.

[arseniiv]

О, действительно! Выходит такое выражение:

$$\frac{4 \pi B (l L)^{3/2} \sqrt{\frac{B^2 (l-L)^2}{L^2}+(l+L)^2}}{3 \sqrt{B^2 (l-L)^2+L^2 (l+L)^2}},$$

где $B$ — высота неразрезанного конуса, $L$ и $l$ — радиусы основания наименьшего усечённого конуса, являющегося частью неразрезанного и включающего получаемый в сечении эллипс.

[redicka]

arseniiv , Вы проверили свою формулу на конкретном примере?
Если правильно ее понял - сейчас проверю.
P.S. $L $ и $ l $ ни полуоси эллипса?

[arseniiv]

redicka в сообщении #912863 писал(а):

Вы проверили свою формулу на конкретном примере?

А как? Анализ размерностей и частные случаи можно применить, да.

-- Сб сен 27, 2014 23:17:19 --

Размерности хотя бы правильные.

При $L=l$ должен получиться обычный конус объёма $\pi BL^2/3$, а получается $4\pi BL^2/3$. Может, нечайно множитель лишний появился, хотя это может быть и совпадением.

При $l=0$ объём должен быть нулевым — совпадает.

-- Сб сен 27, 2014 23:20:20 --

Происхождение четвёрки стало ясным: я вместо полуосей эллипса взял оси. Убираем этот множитель, и уже все три теста проходят. Уже что-то.

[redicka]

Проверил Вашу формулу - получается слишком много.
Уточните, пожалуйста, ( на картинке, что есть $L$ и $ l $)

-- 27.09.2014, 21:36 --

Проверил Вашу формулу без множителя $4$ - не получается правильный ответ.
У меня формула гораздо проще - через полуоси эллипса и радиус основания конуса и высоты.

[arseniiv]

А без четвёрки, может, сходится?

Картинка сейчас будет.

[redicka]

У меня такая формула:
$V=pi/3(R^2H-abh)$
где:
$a,b$ - полуоси эллипса
$R$ - радиус основания основного конуса
$H$ - высота основного конуса
$h$ - расстояние плоскости сечения основного конуса до вершины конуса.

[arseniiv]

Вот сечение фигуры, проходящее через большую ось эллипса:

$a$ — длина большой оси (надо было написать $2a$, чтобы это была длина полуоси, как полагается. Отвлёкся ), $L,l,B$ — те самые.

Моя-то формула относится к верхней части, а вы, получается, сравнивали её с объёмом нижней?

-- Вс сен 28, 2014 00:29:05 --

redicka в сообщении #912880 писал(а):

У меня формула гораздо проще - через полуоси эллипса и радиус основания конуса и высоты.

У меня-то $a,b,h$ выражены через $L,l,B$ — вот и усложнение. Исходная формула была та же $\pi abh/3$.