2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 02:31 
Здравствуйте!

Хочу найти объем косо срезанного конуса:

Изображение
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... -beisp.png

Не получается: выбрал функции и попробовал через интеграл.

\[\mathop {{x_1}}\limits^ \to   = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{r \cdot {u_1}\cos {v_1}}\\
{r \cdot {u_1}\sin {v_1}}\\
{{u_1}}
\end{array}} \right),\mathop {{x_2}}\limits^ \to   = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{3 - 6{u_2} - 6{v_2}}\\
{{v_2}}\\
{4 - 2{u_2} - 2{v_2}}
\end{array}} \right),r \in [0,1],{u_1} \in [0,6],v \in [0,2\pi ]\]

Jacobian Det от $\[\mathop {{x_1}}\limits^ \to  \]$ получается $\[ - r \cdot u_1^2\]$.

Некоторые пределы для интеграла, которые я решил:
\[r\left( {{u_1},{v_1}} \right) = \frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}},{u_1}\left( {{v_1}} \right) = \frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}\]

Ну и теперь сам интеграл:
\[V = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_{\frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}}^6 {\int\limits_{\frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}}}^1 {r \cdot u_1^2} } } drd{u_1}d{v_1}\]

Ну и начинаются проблемы хотя-бы в Mathematica 7. Это как-то предполагалось, например $\[\mathop {\lim }\limits_{{u_1} \to 0} \frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}} = \infty \]$

Но в чем точно проблема (этот интеграл не конвергирует), и может быть я просто неправильно пределы поставил, не знаю. Помогите решить.
Спасибо.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 02:46 
Аватара пользователя
А вы не пробовали без извращений, в декартовой системе координат?

И простите, вам нужен объём или площадь боковой поверхности? А то рисунок наводит на подозрения.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 07:30 
Попробуйте без интегралов, именно в декартовой системе, как было сказано. Посчитали объем исходного конуса, выкинули объем отрезанной части (тут еще пригодится и то, что объем конуса зависит от высоты, но не зависит от угла наклона вертикальной оси к основанию). А уж подробно считать - это вы сами.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 08:46 
ratay в сообщении #910060 писал(а):
Попробуйте без интегралов, именно в декартовой системе, как было сказано. Посчитали объем исходного конуса, выкинули объем отрезанной части (тут еще пригодится и то, что объем конуса зависит от высоты, но не зависит от угла наклона вертикальной оси к основанию). А уж подробно считать - это вы сами.

А у меня вот другая идея пришла, с 1 единственным интегралом. Объём нижней части, до того места, где проходит сечение можно вычислить просто как разность соответствующих косинусов. Остаётся верхний косой кусок. Находим зависимость $S(h)$ - площади сечений параллельных основанию. По идее там будет сектор окружности определённого радиуса, и радуис, и сектор зависят от $h$, а затем считаем $\int_0^hS(x)dx$. Зависимость радиуса найти легко, поэтому ТС остаётся только найти зависимость угла сектора.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 14:23 
Аватара пользователя
ratay в сообщении #910060 писал(а):
Попробуйте без интегралов, именно в декартовой системе, как было сказано. Посчитали объем исходного конуса, выкинули объем отрезанной части (тут еще пригодится и то, что объем конуса зависит от высоты, но не зависит от угла наклона вертикальной оси к основанию).

Я имел в виду декартову систему именно для интегрирования. Ваш способ ещё проще, но он как раз декартовой системы не требует вообще. То, что я имел в виду, расписал main.c.

main.c в сообщении #910070 писал(а):
По идее там будет сектор окружности определённого радиуса

Вот только не сектор, а сегмент. И сегмент можно характеризовать не только углом, но и высотой, здесь это проще.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 15:08 
Munin в сообщении #910128 писал(а):
Вот только не сектор, а сегмент. И сегмент можно характеризовать не только углом, но и высотой, здесь это проще.

Ну да, опечатка вышла, думал об одном - написал другое.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 16:27 
Munin Да, все верно, координаты тут будут ни при чем. А способ с виду и проще, вычисления простые, но довольно длинные. С интегралами, может, проще получится.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 17:06 
Аватара пользователя
ratay в сообщении #910176 писал(а):
А способ с виду и проще, вычисления простые, но довольно длинные.

Три строчки для вас - длинные? Вы длинных вычислений в жизни не видели.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 18:49 
Так ведь всегда интересно: может, еще короче получится.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение21.09.2014, 23:30 
Спасибо за помощь.
Найти сперва объем малого конуса воспользовавшись принципом Кавальери--просто гениально и просто, хотя не берусь определять, сколько бы мне понадобилось это самому догадаться :facepalm:

Параллельная плоскость $\[\mathop {{x_3}}\limits^ \to   = {u_3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
0\\
{ - 2}
\end{array}} \right) + {v_3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 6}\\
1\\
{ - 2}
\end{array}} \right)\]$

Расстояние $\[d\left( {\mathop {{x_2}}\limits^ \to  ,\mathop {{x_3}}\limits^ \to  } \right) = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\]$ и площадь основания $\[S = 2\sqrt {10} \int\limits_{ - \frac{9}{{2\sqrt 2 }}}^{\frac{9}{{2\sqrt 2 }}} {\int\limits_{\frac{1}{{16}}\left( {5 - 16{v_2} - \sqrt {81 - 8v_2^2} } \right)}^{\frac{1}{{16}}\left( {5 - 16{v_2} + \sqrt {81 - 8v_2^2} } \right)} {d{u_2}d{v_2}} }  = \frac{{81\sqrt 5 \pi }}{{16}}\]$.

$\[{V_{\textit{Искомое}}} = \frac{1}{3}\pi  \cdot {6^2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{{81\sqrt 5 \pi }}{{16}} \cdot \frac{9}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\pi }}{{32}}\left( {128 - 81\sqrt 2 } \right)\]$.

Но все-таки меня интересует, как через те координаты ($\[\mathop {{x_1}}\limits^ \to  \]$) найти объем? Поставил я неправильные пределы? Ведь я как раз и захотел объем того тела найти, чтобы потренироваться находить объемы через интегралы. У меня такие "аномалии" уже и раньше случались--например, при отсечении плоскостью части шара.

Например, объем косо срезанного цилиндра: $\[V = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{\frac{1}{2}\left( {\cos u\left( {{s_1} - {s_2}} \right) + {s_1} + {s_2}} \right)} {\int\limits_{\frac{{R\left( {2v - {s_1} - {s_2}} \right)}}{{\cos u\left( {{s_1} - {s_2}} \right)}}}^R {rdrdvdu} } }  = \frac{1}{2}\pi {R^2}\left( {{s_1} + {s_2}} \right)\]$ но только в Wolfram Alpha. В Mathematica 7 интеграл не конвергирует, а задал $\[{s_1},{s_2},R\]$ числами--в обоих не конвергирует.

Но теперь меня "конус" интересует: неправильные пределы или что-то другое? Можно только там объемы искать, где $Jacobian Det\[ \ne \]0$ ? Ведь на практике должны инженеры и не такие находить--надеюсь, не только с CAD-помощью :?

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение22.09.2014, 00:49 
math_lover в сообщении #910365 писал(а):
не конвергирует
Расходится то бишь. Не тот интеграл, видимо, написали. Или код.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение22.09.2014, 01:55 
Аватара пользователя
Вас не учили писать всё в буквах, не подставляя конкретные числа?

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение22.09.2014, 02:26 
Как видите, я находил объем косо срезанного цилиндра через буквы. А когда конус, то я уже до того, как искать объем, постарался представить, какой будет ответ или хотя бы от каких переменных зависеть будет. В этом случае, в отличии от цилиндра, не так просто. Вот я и решил использовать числа, чтобы ответ проще получился, если решил один пример то решишь и все такие же, и наоборот. А еще, я нигде не нашел формулы для объема косо срезанного конуса, это тоже подтолкнуло меня на мысль, что формула будет сложной.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение22.09.2014, 15:21 
Ну так что будем делать с «не конвергирует»-то? У фигуры явно конечный объём. Надо разбираться с интегралами и кодом.

 
 
 
 Re: объем срезанного конуса
Сообщение22.09.2014, 20:50 
arseniiv в сообщении #910517 писал(а):
Ну так что будем делать с «не конвергирует»-то? У фигуры явно конечный объём. Надо разбираться с интегралами и кодом.


С интегралами не знаю как, а что за код Вы имеете ввиду, я не представляю.
Думаю, напрямую через тройной интеграл в декартовой системе координат искомую фигуру не задашь.
Вот так наверное максимально, что возможно через декартовы координаты: $\[{V_{\textit{Искомое}}} = \frac{1}{3}\pi  \cdot {6^2} - \int\limits_{ - \frac{9}{4}}^{\frac{9}{2}} {\int\limits_{ - \frac{1}{3}\sqrt {81 + 18x - 8{x^2}} }^{\frac{1}{3}\sqrt {81 + 18x - 8{x^2}} } {\int\limits_{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^{3 + \frac{1}{3}x} 1 } } dzdydx = \frac{1}{3}\pi  \cdot {6^2} - \frac{{243\pi }}{{16\sqrt 2 }} = ...\]$

Но с интегралом $\[{V_{\textit{Искомое}}} = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_{\frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}}^6 {\int\limits_{\frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}}}^1 {r \cdot u_1^2} } } drd{u_1}d{v_1}\]$ да, разбираться надо :oops:

 
 
 [ Сообщений: 74 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group