Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Стало быть, первое приближение к решению у меня было с 14 "дырками".
А вот и второе приближение - с 13 "дырками":

79 197 223 353 331 277 389 167
307 397 383 181 131 313 191 113
359 137 149 281 349 163 337 241
233 229 347 109 257 251 157 433
103 293 239 193 439 101 227 421
199 151 271 373 431 283 97 211
317 355* 167* 345* -87* 227* 411* 281*
419 257* 237* 181* 165* 401 207* 149*
S=2016

Пока плохо! Есть даже отрицательный элемент, такой вот "перекос". Несколько чисел в "дырках" получились простые, но повторяются.
Это я кручу программу, реализующую алгоритм цепочного построения (описан выше).

[Nataly-Mak]

Поговорим о пандиагональных квадратах 6-го порядка из простых чисел.
Порядок 6 особый; в статье Россера мы не нашли алгоритма построения нетрадиционных пандиагональных квадратов для данного порядка, а классических пандиагональных квадратов 6-го порядка не существует, что, кстати, доказано в этой статье.

Мы - это коллектив, который дружно работал над этой проблемой: maxal, Pavlovsky, svb, alexBlack (под моим чутким руководством ).
Было сделано много. Например, svb разработал уникальный алгоритм для построения таких квадратов (вы можете найти его в этой теме), основанный на псевдокомплементарных парах чисел. Он и реализовал этот алгоритм, программа его прекрасно работает и квадраты строит.
alexBlack много работал над построением таких квадратов из чисел Смита. У него тоже есть замечательная программа, реализующая его алгоритм. Эта программа годится для исходного массива, состоящего из любых чисел, а не только из чисел Смита.
Для массива, состоящего точно из 36 простых чисел, обе указанные программы работают вполне приемлемое время.

Замечу, что коллектив не стал автором самого лучшего (наименьшего) пандиагонального квадрата 6-го порядка из простых чисел. Была допущена ошибка. Много позже наименьший квадрат прислал мне Radko Nachev, о чём я уже писала.
Зато alexBlack и svb почти одновременно (с разницей в несколько минут!) нашли наименьший пандиагональный квадрат 6-го порядка из чисел Смита.

Сейчас вот (в преддверии нового конкурса) разыскала обе упомянутые программы, живы и работают!
Наверное, их можно скачать на сайтах авторов. Позже поищу ссылки для скачивания.

В новом конкурсе я выставила и задачу построения пандиагональных квадратов 6-го порядка из последовательных простых чисел (среди других порядков, от 4 до 10). Наименьший такой квадрат известен давно (A073523). И что же? Такой квадрат всего один Этого не может быть!
Я очень давно пыталась найти следующие квадраты в этом классе. Проверила несколько потенциальных магических констант, квадрат не нашла.
svb, помнится, мне немного помогал в этой проверке, он проверил по своей программе первые 6 потенциальных магических констант:
1494, 3774, 8118, 9318, 9402, 9486

Я продолжила проверку, начиная с потенциальной магической константы 12006 и проверила до константы 67482 включительно. Решение не найдено. Проверяла по программе svb.

Отмечу свойства, которым должны удовлетворять потенциальные магические константы пандиагональных квадратов 6-го порядка из простых чисел (любых - как последовательных, так и не последовательных):

1. кратны 6;
2. принадлежат одной арифметической прогрессии, первым членом которой является число 450, а разностью - число 12:

$a_n=a_1+d(n-1)$, где
$a_1=450$, $d=12$.

[Впрочем, свойство 1 следует из свойства 2.]

Исходя из этих двух свойств, надо искать потенциальные магические константы для пандиагональных квадратов 6-го порядка из последовательных простых чисел.

Сейчас запустила программу alexBlack - проверить, как работает. Прекрасно работает!
Проверила несколько следующих потенциальных магических констант. Проверка одной магической константы занимает от 20 минут до 2 часов. Такие вот разные потенциалы у констант
Как уже сказала, программу svb тоже проверила, работает. Можно искать сразу двумя программами.

-- Пн сен 22, 2014 08:36:17 --

Это окно программы alexBlack



Вы видите несколько проверенных потенциальных магических констант.

Первое число 0, видимо, означает, что пандиагональных квадратов не найдено. Что означает второе число, я не помню.
Программа запускается из командной строки. Формат очень простой - имя программы и магическая константа. Иходный массив чисел должен быть записан в файл a.txt

Сейчас запущу проверку следующей потенциальной магической константы. Может, повезёт
Ну, должен же быть второй пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых чисел!

-- Пн сен 22, 2014 09:12:17 --

Вот нашла страницу на сайте alexBlack, посвящённую пандиагональным квадратам 6-го порядка
http://alex-black.ru/article.php?content=121

Замечательная статья! Во-первых, есть общая формула пандиагонального квадрата 6-го порядка. Во-вторых, очень подробно описан алгоритм построения, приведены иллюстрации.

Однако, я не вижу программу хотя написано:

Цитата:

Ниже программа для проверки и исходники (Delphi).

Удалил автор программу? Но почему?! Такая отличная программа!

alexBlack
если вы здесь бываете, объясните, пожалуйста, почему пропала программа?
Можете ли вы выложить её снова?

[Nataly-Mak]

И сейчас нашла в теме пост о пандиагонгальных квадратах 6-го порядка
Наименьший квадрат, найденный svb, имел магическую константу 486.
Я построила по программе svb квадраты со всеми следующими магическими константами до 990 включительно. Все квадраты составились! Ни одна потенциальная магическая константа не пропущена в этой последовательности констант.
Теперь надо ещё проверить квадраты с магическими константами 462, 474. Тогда последовательность констант будет полной, начиная с минимальной - 450.
(Может быть, я уже и проверила эти константы, надо посмотреть в черновиках, да и в этой теме.)

А теперь о последовательностях в OEIS.

Прошу обратить внимание на это maxal (как редактора OEIS) и Pavlovsky (как автора последовательности).

Начну по порядку. В OEIS есть моя последовательность магических констант пандиагональных квадратов 4-го порядка из простых чисел - A191533.

Далее должна следовать такая последовательность для порядка $n=5$.
Последовательность эта давным-давно составлена Pavlovsky, но, к сожалению, в OEIS отправлена так и не была (хотя я просила об этом автора не один раз).
(Последовательность в этой теме приведена на 111 стр.)
Ну, вот очень жалко, что труды пропадают и не внесены в Энциклопедию. А почему не внесены? Pavlovsky писал, что не умеет это делать. Я тоже не умею, однако последовательности всё же вношу, когда сама (с большим трудом), когда слезно умоляю помочь того же maxal.

(Оффтоп)

(Замечу, что в последнее время умолять приходится всё слезнее и всё дольше ну, надоело, понимаю...)
Так вот, получается, что из-за нашего неумения Энциклопедия не получает целый ряд интереснейших последовательностей. Бить нас надо за наше неумение - это да. Но... и тех, кто умеет, но помочь не желает, тоже надо бить. Таково моё мнение.

Последовательность свою Pavlovsky привёл не в виде готовых пандиагональных квадратов, а в виде массивов из 25 простых чисел, из которых квадраты составляются.

395 = 5 7 11 13 17 23 31 37 41 43 53 67 71 73 83 97 101 103 113 127 131 137 167 197 227
403 = 7 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 61 67 73 103 113 127 137 139 149 157 163 173 193
. . . . . . . . 

Первое число - это магическая константа.
Наименьший пандиагональный квадрат с магической константой $S=395$ можно посмотреть в A179440.
Следующие квадраты очень просто построить по приведённому массиву чисел, например:

7 137 193 43 23
73 37 17 103 173
113 139 53 67 31
47 61 127 149 19
163 29 13 41 157
S = 403

Последовательность должна быть отправлена в OEIS.
Я не буду её отправлять по двум причинам:
1. не являюсь автором последовательности;
2. не умею отправлять последовательности в OEIS.

(Оффтоп)

Однажды General объяснил мне всю эту несложную процедуру, и я отправляла сама последовательности; ничего там нет сложного, модераторы помогут. Но!.. у меня ещё большие трудности с переводом текста на английский язык. Предпоследнюю свою последовательность (по магическим кубам) я отправляла с помощью General, последнюю отправил maxal.

Ну, и дальше у нас есть замечательная последовательность магических констант пандиагональных квадратов 6-го порядка из простых чисел, которая тоже в OEIS не помешала бы. Но сначала надо отправить последовательность для порядка $n=5$.

Может быть, автор последовательности Pavlovsky сделает это, наконец?
Или, может, редактор OEIS maxal возьмёт здесь готовую последовательность и отправит её в Энциклопедию? Ведь для него это дело 10 минут!

-- Пн сен 22, 2014 10:59:41 --

(Оффтоп)

maxal
держитесь уж, докритикую до конца

Когда я обратилась к вам с просьбой отправить мою последовательность о магических кубах 3-го порядка, вы написали, что прежде надо бы сделать аналогичную последовательность для магических квадратов 3-го порядка (ибо такой нет в OEIS).
Помните, да?
Так вот, последовательность эту я составила и вам отправила (она должна быть в вашем личном разделе).
Однако так и не дождалась, когда вы найдёте время заняться этими двумя последовательностями, и пошла на поклон к General. При этом, конечно, пропустила последовательность для магических квадратов 3-го порядка (как более простую и менее интересную), а сразу начала вводить последовательность для магических кубов.
Таким образом, последовательность для магических квадратов 3-го порядка повисла в воздухе.
А ввести бы её надо; сами же говорили, что она нужна - для кубов есть последовательность (A239671), а для квадратов нет.

[Nataly-Mak]

Нашла интересный веб-сайт, вот одна страница с этого сайта:

Nonregular Panmagic Squares
К сожалению, только классические квадраты рассматриваются.

Кстати, термины эквивалентные (кто впервые знакомится с теорией магических квадратов): panmagic - pandiagonal.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #910403 писал(а):

Сейчас запущу проверку следующей потенциальной магической константы. Может, повезёт
Ну, должен же быть второй пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых чисел!

Пока не везёт
Проверила до магической константы 144774. Ни одного квадрата не нашла.

Похоже, тоже надо делать поток. Так проверять - по одной константе - нудно и если всё это устремится в бесконечность, как для квадратов 5-го порядка, вообще невозможно.

В общем, работы с пандиагонгальными квадратами из последовательных простых чисел очень много. Надеюсь, что кто-нибудь примет участие в организованном мной конкурсе по этой проблеме, который, кстати, должен начаться завтра утром, в 8:00 по мск.
У ice00 вроде всё готово. Правда, есть одна проблема, но об этом позже.

[Nataly-Mak]

В ожидании старта конкурса... что-то очень волнуюсь...

Вот решила пока сделать табличку для пандиагональных квадратов из последовательных простых чисел (порядки 4 - 10, задействованные в конкурсе) аналогичную этой табличке



Теоретические минимумы магических констант взяла в последовательности OEIS A073520. Это минимальные магические константы для обычных МК из последовательных простых чисел. Обычные МК из последовательных простых чисел строить легко, чего никак нельзя сказать о пандиагональных квадратах.
Есть только решения для двух порядков: $n=4$ и $n=6$.

[Nataly-Mak]

Уф, кажется, поехали
что-то ice00 немного задержал старт.

http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

Пока не всё гладко. Но можно пробовать вводить решения, если таковые имеются.
Мой аккаунт пока чисто тестовый, проверка программы. Решений у меня нет.

[Nataly-Mak]

Давнишняя головоломка о магических квадратах из простых чисел-близнецов на сайте Carlos Rivera
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_080.htm

На головоломку обратил моё внимание коллега Radko Nachev. Он прислал мне свои решения для порядков $n=4$ и $n=6$ и спросил, нет ли у меня лучших решений.
У меня не было лучших решений, так как я не занималась раньше этой задачей. Но вот сейчас занялась.

Кстати, Radko Nachev автор аналогичной головоломки для пандиагональных квадратов; в этой головоломке я нашла несколько решений.

Нашла для головоломки #80 минимальное решение для $n=4$; возможно, минимальное (не уверена) для $n=5$; минимальное для $n=6$.
(Минимальное решение для $n=3$ нашёл давно Radko Nachev.)
И, к своему глубокому удивлению, застряла на поиске решения для $n=7$. Ни одного квадрата ни могу построить! Не могу понять, в чём причина.

Дальше тоже решения есть - для $n=8$, $n=9$, хотя наверняка не минимальные.
Для $n=10$ ещё не пробовала искать.

Что же происходит с квадратами порядка 7 Почему не находится ни одно решение? Чудеса!
Интересно, что в головоломке #689 я нашла пандиагональный квадрат 7-го порядка из простых чисел-близнецов, правда, с очень большой магической константой. Пандиагональный квадрат, конечно, и магический тоже.
А вот просто магический квадрат найти не могу

Интересное наблюдение: число 3 ни в одном решении (магическом квадрате из простых чисел-близнецов) не содержится.
По-моему, это вполне тянет на гипотезу, которую мог бы доказать Pavlovsky.

maxal
вы не могли бы выложить общую формулу магического квадрата 7-го порядка, аналогичную тем, что вы выложили для порядков 4 и 5

Очень интересную нашла страницу с алгебраическими (общими) формулами магических квадратов:
http://mathforum.org/te/exchange/hosted ... aform.html

Правда, формулы есть только до порядка $n=5$ (включительно).
Есть даже формула для пандиагонального квадрата 5-го порядка.
Для обычного магического квдарата 5-го порядка формула что-то, на мой взгляд, слишком громоздкая.
У maxal формула намного проще.

Вот скопировала формулу для квадрата 5-го порядка (а то страницы иногда закрывают):

5x5 square

a b c d e
f g h i j
k L m n o
p q r s t
u v w x y

Independent variables;

     f, g, i, j, n, o, q, r, s, t, v, w, x and y.

Dependent variables are;     

a = 130-g+i-j-o+q-s-t-v-w-x-3y, 
b = -260-f-2i+2j+n+3o-2q+r+2s+3t+2v+3w+3x+6y, 
c = 65+f+g+2i-o+q-r-t-v-2w-x-2y, 
d = 65-i-n-s-x, 
e = 65-j-o-t-y, 
h = 325-2g-2j-L-m-n-2o-r-2s-2t-2v-2w-2x-4y 
k = -195-f+g-i+j+o+r+2s+2t+2v+2w+2x+4y, 
L = 325+f-g+2i-2j-n-3o+q-r-2s-3t-3v-3w-3x-6y, 
m = -65-i+j+o-q+t+v+w+x+2y, 
p = 65-q-r-s-t, 
u = 65-v-w-x-y

Любопытная формула.

-- Ср дек 03, 2014 15:29:15 --

Для сравнения формула maxal

maxal в сообщении #291405 писал(а):

Вот самая эффективная формула этого класса для квадратов $5\times 5$. Квадрат представляется в виде:

$$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\ x_{20} & x_6 & x_{18} & x_{10} & x_{21} \\ x_{22} & x_7 & x_{11} & x_{15} & x_{23} \\ x_{24} & x_8 & x_{19} & x_{13} & x_{25} \\ x_{12} & x_9 & x_{16} & x_{17} & x_{14} \end{bmatrix} $$

где $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_{10}$, $x_{11}$, $x_{13}$, $x_{15}$, $x_{18}$, $x_{20}$, $x_{22}$ - независимые переменные, остальные зависимые:

$$\begin{cases} x_5 = S - x_1 - x_2 - x_3 - x_4\\ x_9 = S - x_2 - x_6 - x_7 - x_8\\ x_{12} = S - x_5 - x_8 - x_{10} - x_{11}\\ x_{14} = S - x_1 - x_6 - x_{11} - x_{13}\\ x_{16} = -x_3 - 2x_5 + 2x_6 + x_7 - 2x_{12} + 2x_{13} + x_{15}\\ x_{17} = S - x_4 - x_{10} - x_{13} - x_{15}\\ x_{19} = S - x_3 - x_{11} - x_{16} - x_{18}\\ x_{21} = S - x_6 - x_{10} - x_{18} - x_{20}\\ x_{23} = S - x_7 - x_{11} - x_{15} - x_{22}\\ x_{24} = S - x_1 - x_{12} - x_{20} - x_{22}\\ x_{25} = S - x_5 - x_{14} - x_{21} - x_{23} \end{cases}$$

Хе-х,
посмотрела внимательно на формулу с веб-страницы, она, оказывается, для классического квадрата 5х5 приведена.
В ней фигурирует магическая константа классического квадрата 65. Ну, наверное, можно заменить магическую константу 65 на произвольную константу S. Думаю, что формула будет верна и в этом случае.
Почему бы сразу не сделать формулу для произвольной (наперёд заданной) магической константы? Странно! Или они вообще на этой странице только классические магические квадраты рассматривают? Ну, это слишком узко.

[Nataly-Mak]

Да-а-а...
Что-то у меня с квадратом 7-го порядка из простых чисел-близнецов абсолютный тупик. Ни одного решения! Но пока применила только вероятностный алгоритм.

Нашла уже минимальные решения для $n=8$, $n=10$; не минимальное, скорее всего, для $n=9$ (пока не убедилась в минимальности).

Для квадрата 7-го порядка попробовала искать арифметические прогрессии из простых чисел-близнецов длиной 7. То ли я плохо искала, то ли такие прогрессии в той части массива (а у меня 815 пар простых чисел-близнецов; маловато, конечно), которую я имею, просто не существуют.

Остаётся писать программу по общей формуле для магического квадрата 7-го порядка.
Ну, пока maxal не принёс свою общую формулу, я выложу свою; нашла её в статье из цикла статей "Общие формулы магических квадратов".
Приведу иллюстрацию из статьи, на которой показана схема магического квадрата 7-го порядка:



И далее пояснения к схеме прямо из статьи:

Цитата:

Здесь $a_i$ ($i = 1, 2, …, 34$) – свободные переменные, $x_k$ ($k = 1, 2, …, 15$) – зависимые переменные. Зависимые переменные вычисляются по значениям свободных переменных и магической константы квадрата. При этом зависимые переменные надо вычислять в том порядке,в каком они пронумерованы, так как при вычислении некоторых переменных используются уже вычисленные значения предыдущих переменных.

Как вычисляются зависимые переменные, очень хорошо видно на схеме квадрата, поэтому формулы для вычисления писать не буду.
Магическая константа квадрата считается заданной.
Формула имеет тип 34+15, то есть 34 независимых переменных и 15 зависимых.

Вот по этой формуле попробую написать программу. Но... 34 свободных переменных!
А что же делать, если вероятностный алгоритм решений не даёт?
И что удивительно - для $n>7$ уже прекрасно работает вероятностный алгоритм.

-- Чт дек 04, 2014 15:43:54 --

Да, продолжает наблюдаться во всех экспериментальных данных гипотеза:
число 3 не может содержаться в магическом квадрате из простых чисел-близнецов.

Интересный факт, но пока нет доказательства этой гипотезы.
Кстати, в решениях, которые прислал мне Radko Nachev, тоже число 3 отсутствует. Вот, и у него то же самое.

[Nataly-Mak]

Память подбросила вот это

dmd в сообщении #756384 писал(а):

dimkadimon в сообщении #756330 писал(а):

Может кто поможет с общей формулой для обычного магического квадрата 7х7? У меня нет математических пакетов которые могут это сделать. Вот система из 16 уравнений. Она состоит из 30ти известных (а) и 19ти неизвестных (х) и магической суммы S:

S=a00+a01+a02+a03+a04+a05+x06
S=a10+a11+a12+a13+a14+a15+x16
S=a20+a21+a22+a23+a24+a25+x26
S=a30+a31+a32+a33+a34+a35+x36
S=a40+a41+a42+a43+a44+a45+x46
S=x50+x51+x52+x53+x54+x55+x56
S=x60+x61+x62+x63+x64+x65+x66
S=a00+a10+a20+a30+a40+x50+x60
S=a01+a11+a21+a31+a41+x51+x61
S=a02+a12+a22+a32+a42+x52+x62
S=a03+a13+a23+a33+a43+x53+x63
S=a04+a14+a24+a34+a44+x54+x64
S=a05+a15+a25+a35+a45+x55+x65
S=x06+x16+x26+x36+x46+x56+x66
S=a00+a11+a22+a33+a44+x55+x66
S=x06+a15+a24+a33+a42+x51+x60

CAS находит только схему 34+15:

S = x60 + x61 + x62 + x63 + x64 + x65 + x66
x50 = -x51 - x52 - x53 - x54 - x55 - x56 + x60 + x61 + x62 + x63 + x64 + x65 + x66
x06 = -x16 - x26 - x36 - x46 - x56 + x60 + x61 + x62 + x63 + x64 + x65
a05 = -a00 - a01 - a02 - a03 - a04 + x16 + x26 + x36 + x46 + x56 + x66
a15 = -a10 - a11 - a12 - a13 - a14 - x16 + x60 + x61 + x62 + x63 + x64 + x65 + x66
a25 = -a20 - a21 - a22 - a23 - a24 - x26 + x60 + x61 + x62 + x63 + x64 + x65 + x66
a33 = a02 + a10 + a11 + 2 a12 + a13 + a14 + a22 - a24 + a32 + 2 x16 + x26 + x36 + x46 - x51 + x52 + x56 - 3 x60 - 2 x61 - x62 - 2 x63 - 2 x64 - 2 x65 - x66
a34 = a00 + a02 - a04 + a10 + 2 a11 + 2 a12 + a13 + 2 a22 - 2 a24 + a32 + 2 x16 + x26 + x36 + x46 - x51 + x52 - x54 + x55 + x56 - 3 x60 - 2 x61 - x62 - 2 x63 - 3 x64 - 2 x65
a35 = -a00 - 2 a02 + a04 - 2 a10 - 3 a11 - 4 a12 - 2 a13 - a14 - 3 a22 + 3 a24 - a30 - a31 - 3 a32 - 4 x16 - 2 x26 - 3 x36 - 2 x46 + 2 x51 - 2 x52 + x54 - x55 - 2 x56 + 7 x60 + 5 x61 + 3 x62 + 5 x63 + 6 x64 + 5 x65 + 2 x66
a40 = -a00 - a10 - a20 - a30 + x51 + x52 + x53 + x54 + x55 + x56 - x60
a41 = -a01 - a11 - a21 - a31 - x51 + x60 + x62 + x63 + x64 + x65 + x66
a42 = -a02 - a12 - a22 - a32 - x52 + x60 + x61 + x63 + x64 + x65 + x66
a43 = -a02 - a03 - a10 - a11 - 2 a12 - 2 a13 - a14 - a22 - a23 + a24 - a32 - 2 x16 - x26 - x36 - x46 + x51 - x52 - x53 - x56 + 4 x60 + 3 x61 + 2 x62 + 2 x63 + 3 x64 + 3 x65 + 2 x66
a44 = -a00 - a02 - a10 - 2 a11 - 2 a12 - a13 - a14 - 2 a22 + a24 - a32 - 2 x16 - x26 - x36 - x46 + x51 - x52 - x55 - x56 + 4 x60 + 3 x61 + 2 x62 + 3 x63 + 3 x64 + 3 x65 + x66
a45 = 2 a00 + a01 + 3 a02 + a03 + 3 a10 + 4 a11 + 5 a12 + 3 a13 + 2 a14 + a20 + a21 + 4 a22 + a23 - 2 a24 + a30 + a31 + 3 a32 + 4 x16 + 2 x26 + 2 x36 + x46 - 2 x51 + 2 x52 - x54 + x56 - 8 x60 - 6 x61 - 4 x62 - 6 x63 - 7 x64 - 7 x65 - 4 x66

Вот и ещё одна общая формула магического квадрата 7-го порядка, альтернативная моей.
Однако, количество независимых и зависимых переменных в ней такое же, как и в моей формуле.
Иначе, наверное, быть не может.

Программу для построения магического квадрата 7-го порядка из простых чисел-близнецов пока не начинала писать. Жду с нетерпением, когда maxal выложит свою формулу.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #940161 писал(а):

Приведу иллюстрацию из статьи, на которой показана схема магического квадрата 7-го порядка:



И далее пояснения к схеме прямо из статьи:

Цитата:

Здесь $a_i$ ($i = 1, 2, …, 34$) – свободные переменные, $x_k$ ($k = 1, 2, …, 15$) – зависимые переменные. Зависимые переменные вычисляются по значениям свободных переменных и магической константы квадрата. При этом зависимые переменные надо вычислять в том порядке,в каком они пронумерованы, так как при вычислении некоторых переменных используются уже вычисленные значения предыдущих переменных.

Как вычисляются зависимые переменные, очень хорошо видно на схеме квадрата, поэтому формулы для вычисления писать не буду.
Магическая константа квадрата считается заданной.
Формула имеет тип 34+15, то есть 34 независимых переменных и 15 зависимых.

Решила написать-таки формулы для вычисления зависимых переменных.
Может быть, это не для всех очевидно. К тому же, интересно сравнить мою формулу с формулой, выложенной dmd в приведённой выше цитате. На мой взгляд, моя формула компактнее.

Итак, вот моя общая формула магического квадрата 7-го порядка (схема квадрата показана на иллюстрации):

$x_1=S-a_1-a_2-a_3-a_4-a_5-a_6$
$x_2=S-a_7-a_8-a_9-a_{10}-a_{11}-a_{12}$
$x_3=S-a_6-a_{12}-a_{16}-a_{18}-a_{21}-a_{26}$
$x_4=S-a_1-a_8-a_{14}-a_{18}-a_{22}-a_{30}$
$x_5=S-x_3-a_{31}-a_{32}-a_{33}-a_{34}-x_4$
$x_6=S-a_{25}-a_{26}-a_{27}-a_{28}-a_{29}-a_{30}$
$x_7=S-a_6-x_2-a_{17}-a_{24}-x_6-x_4$
$x_8=S-a_{4}-a_{10}-a_{15}-a_{18}-a_{28}-a_{32}$
$x_9=S-a_5-a_{11}-a_{16}-a_{22}-a_{29}-a_{33}$
$x_{10}=S-a_3-a_9-a_{14}-a_{21}-a_{27}-a_{31}$
$x_{11}=S-x_1-a_{12}-a_{19}-a_{23}-a_{30}-a_{34}$
$x_{12}=S-a_{13}-a_{14}-a_{15}-a_{16}-x_{11}-a_{17}$
$x_{13}=S-a_1-a_7-x_{12}-a_{20}-a_{25}-x_3$
$x_{14}=S-x_{13}-x_{10}-a_{18}-x_9-a_{19}-x_7$
$x_{15}=S-a_2-a_8-a_{13}-x_{14}-a_{26}-x_5$

-- Сб дек 06, 2014 13:20:22 --

Формулу проверила на классическом магическом квадрате 7-го порядка:

1 19 30 48 10 39 28
49 11 22 40 2 31 20
41 3 21 32 43 23 12
33 44 13 24 42 15 4
25 36 5 16 34 14 45
9 27 38 7 18 47 29
17 35 46 8 26 6 37

$S=175$
Это классический магический квадрат, не обладающий никакими дополнительными свойствами.
Задала из этого квадрата значения свободных переменных, вычислила значения зависимых переменных. Всё получилось правильно.

Итак, для чего я старалась общие формулы магического квдарата 7-го порядка выкладывать?
У меня задача никак не хочет решаться:
построить магический квадрат 7-го порядка из простых чисел-близнецов.

Приведу начало массива простых чисел-близнецов, из которых надо строить квадрат (здесь только первые числа из каждой пары близнецов, именно из этих первых чисел и надо строить квадрат):

3  5 11 17 29 41 59 71  101  107  137  149  179  191  197  227 239  269  281  311  347  419  431  461  521  569  
599  617  641  659  809  821  827  857  881 1019 1031 1049 1061 1091  1151 1229 1277 1289 1301 1319 1427 
1451 1481 1487 1607 1619 1667 1697 1721 1787  1871 1877 1931 1949 1997 2027 2081 2087  2111 2129 2141 
2237 2267 2309 2339 2381  2549  2591 2657 2687 2711 2729 2789 2801 2969 2999 3119 3167 3251 3257 3299 
3329 3359 3371 3389 3461 3467 3527 3539 3557 3581 3671 3767 3821 3851 3917 3929 4001 4019 4049 4091 
4127 4157 4217 4229 4241 4259 4271 4337 4421 4481 4517 4547 4637 4649 4721 4787 4799 4931 4967 5009 
5021 5099 5231 5279 5417 5441 5477 5501 5519 5639 5651 5657 5741 5849 5867 5879 6089 
6131 6197 6269 6299 6359 6449 6551 6569 6659 6689 6701 6761 6779 6791 6827 6869 
6947 6959 7127 7211 7307 7331 7349 7457 7487 7547 7559 7589 7757 7877 7949 8009 
8087 8219 8231 8291 8387 8429 8537 8597

Не могу понять, почему для порядка 7 не работает вероятностный метод. Для $n>7$ он уже замечательно работает, уже построила квадраты порядков 8, 9, 10.

Замечание: числа 3 и 5 не могут одновременно быть в массиве для построения квадрата.
Потому что: (3,5), (5,7) - пары близнецов (в первой паре 5 второе число, а во второй паре - первое).
Эксперименты показывают, что лучше выбросить число 3. Это число у меня не содержится ни в одном решении, хотя я пыталась построить с этим числом квадраты (выбрасывая число 5).

[Nataly-Mak]

Carlos Rivera действует очень оперативно.
Сегодня после обеда отправила ему решения, он их уже добавил
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_080.htm

Итак, нет решения для квадрата 7-го порядка.
Кто смелый?

Для $n=9$ не уверена в минимальности решения.
Найдите минимальное, если есть таковое.

[Nataly-Mak]

Подобрала магическую константу, сгенерировала массив из 49 чисел. Начала писать программу по своей общей формуле.
Вот это начало:

 821  281  599  347  1451  827  1667 
 29  659  5  227  1949  1427  1697 
 0  0  101  0  311  0  0 
 0  0  0  239  0  0  0 
 0  0  569  0  1091  0  0 
 1607  461  59  179  137  1931  1619 
 1319  857  71  191  1787  617  1151 

Пока всё без сучка, без задоринки и мгновенно!
Красиво, не правда ли? Какая симметрия (посмотрите на дырки - не вычисленные ещё элементы)!

На каждом шаге с замиранием жду: сейчас застопорится. Пока не застопорилось.
Очень любопытно: сколько шагов будет легко?

[Nataly-Mak]

Есть решение

821 281 599 347 1451 827 1667 
29 659 5 227 1949 1427 1697 
881 1721 101 1607 311 1301 71 
1787 1061 1229 239 857 179 641 
1049 521 569 1877 1091 269 617 
107 461 1871 1277 197 1931 149 
1319 1289 1619 419 137 59 1151 

$S=5993$

Найдено примерно за 10 минут.

Если не использовать простое число 3 [пара близнецов (3,5)], минимально возможная магическая константа для квадрата 7-го порядка равна 4393.

Теперь задача - минимизировать решение.

Вот такое у меня ретро
А общая формула очень даже ничего; может, и не самая эффективная, но решение находит довольно быстро, когда оно существует. Напомню: в формуле 34 свободных переменных. И вот такое количество вложенных циклов, оказывается, совсем не страшно:

(Оффтоп)

934 NEXT I20
936 NEXT I13
938 NEXT I23
940 NEXT I19
942 NEXT I15
944 NEXT I24
946 NEXT I17
948 NEXT I29
950 NEXT I28
952 NEXT I27
954 NEXT I25
956 NEXT I34
958 NEXT I33
960 NEXT I32
962 NEXT I31
964 NEXT I30
966 NEXT I22
968 NEXT I14
970 NEXT I26
972 NEXT I21
974 NEXT I18
976 NEXT I16
978 NEXT I12
980 NEXT I11
982 NEXT I10
984 NEXT I9
986 NEXT I8
988 NEXT I7
990 NEXT I6
992 NEXT I5
994 NEXT I4
996 NEXT I3
998 NEXT I2
1000 NEXT I1

В программной реализации общей формулы использован "перебор с возвратом".

Приглашаю всех решать задачу минимизации. Кто меньше?

[Nataly-Mak]

Всё!
Практически минимально возможная магическая константа для магического квадрата 7-го порядка из простых чисел-близнецов равна 4409.

Вот минимальное решение:

419 1061 881 71 569 107 1301
17 641 821 179 1031 1289 431
1427 41 269 1151 191 521 809
1229 857 461 659 827 137 239
599 1607 347 1319 281 29 227
101 5 1481 11 1451 1049 311
617 197 149 1019 59 1277 1091

$S=4409$

Прогулка в прошлое завершена.
Надо возвращаться к сегодняшней проблеме - построение пандиагональных квадратов из последовательных простых чисел. Тут всё пока очень туго продвигается. И помощников совсем нет
В теме "Переборная задача, есть ли шанс?" запостила вспомогательную задачку о выборке. Увы, задачка повисла...