Магические квадраты

[Nataly-Mak]

У меня хорошая новость

Идеальные магические квадраты из простых чисел ожидает конкурс
http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

S. Tognon (ice00) назначил дату старта - 21 февраля. Ему надо подготовить программное обеспечение конкурса.
Ну, описание задачи уже есть, поэтому можно начинать решать задачу прямо сейчас.
Приглашаются все!

Приз я в этот раз учредила в рублях. А почему, собственно, доллары? Я живу в России и валюта у меня - рубли.
Если победителем вдруг окажется иностранец, переведу приз в доллары по официальному курсу на день окончания конкурса.

Об идеальных магических квадратах вы найдёте в этой теме. Здесь были найдены минимальные идеальные квадраты из различных простых чисел 5-го и 6-го порядков (первый найден мной, второй - maxal).

Кроме того, специальная тема, посвящённая идеальным магическим квадратам, создана недавно
в моей группе на форуме ПЕН

Обсуждение конкурсной задачи можно вести здесь и в указанной теме на ПЕН.

Кстати, совсем недавно svb представил здесь программу получения общей формулы идеальных магических квадратов. Пример он показал для $n=6$. Как я понимаю, программа работает для любого порядка. Правда, сама не опробовала программу.

[Nataly-Mak]

Dmitriy40
смотрю, вы стесняетесь сообщить о своих замечательных решениях на сайте ice00 (на котором проходил конкурс по пандиагональным квадратам из последовательных простых чисел; решений в этом конкурсе никто не представил).
Ну, я сделала это сама:
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... /#post-279

Давайте выходите на международную арену

Кстати, на сайте ice00 вот конкурс новый намечается по идеальным магическим квадратам. Регистрируйтесь и участвуйте!

-- Пн фев 09, 2015 12:06:06 --

Теперь о совершенных квадратах 8-го порядка из простых чисел

12d3
вы тоже стесняетесь?

Я предложила вам создать последовательность магических констант совершенных квадратов 8-го порядка из простых чисел в OEIS.
Почему бы нет? Результаты классные.
Это первые два квадрата, найденные мной:

№1 (минимальный)

19 5923 1019 4423 4793 1277 3793 2777
4877 1193 3877 2693 103 5839 1103 4339
499 5443 1499 3943 5273 797 4273 2297
5297 773 4297 2273 523 5419 1523 3919
1213 4729 2213 3229 5987 83 4987 1583
5903 167 4903 1667 1129 4813 2129 3313
733 5209 1733 3709 5507 563 4507 2063
5483 587 4483 2087 709 5233 1709 3733

$S=24024$

№2

61 6229 661 5563 2087 4643 1487 5309
3719 3011 3119 3677 1693 4597 2293 3931
1777 4513 2377 3847 3803 2927 3203 3593
4139 2591 3539 3257 2113 4177 2713 3511
4423 1867 5023 1201 6449 281 5849 947
4817 1913 4217 2579 2791 3499 3391 2833
2707 3583 3307 2917 4733 1997 4133 2663
4397 2333 3797 2999 2371 3919 2971 3253

$S=26040$

Вы замечательно продолжили эту серию квадратов.
Я уже превратила найденные вами ассоциативные квадраты Стенли (выложенные на форуме ПЕН) в совершенные квадраты.

№3

229 10457 859 9767 7393 3761 6763 4451
7841 3313 7211 4003 677 10009 1307 9319
953 9733 1583 9043 8117 3037 7487 3727
8623 2531 7993 3221 1459 9227 2089 8537
3527 7159 4157 6469 10691 463 10061 1153
10243 911 9613 1601 3079 7607 3709 6917
2803 7883 3433 7193 9967 1187 9337 1877
9461 1693 8831 2383 2297 8389 2927 7699

$S=43680$

№4

197 10831 457 8291 6067 5081 5807 7621
6271 4877 6011 7417 401 10627 661 8087
1367 9661 1627 7121 7237 3911 6977 6451
8269 2879 8009 5419 2399 8629 2659 6089
5021 6007 5281 3467 10891 257 10631 2797
10687 461 10427 3001 4817 6211 5077 3671
3851 7177 4111 4637 9721 1427 9461 3967
8689 2459 8429 4999 2819 8209 3079 5669

$S=44352$

№5

241 10627 773 7717 8273 3119 7741 6029
8861 2531 8329 5441 829 10039 1361 7129
919 9949 1451 7039 8951 2441 8419 5351
8999 2393 8467 5303 967 9901 1499 6991
2857 8011 3389 5101 10889 503 10357 3413
10301 1091 9769 4001 2269 8599 2801 5689
2179 8689 2711 5779 10211 1181 9679 4091
10163 1229 9631 4139 2131 8737 2663 5827

$S=44520$

№6

241 10889 631 9767 5413 5897 5023 7019
6211 5099 5821 6221 1039 10091 1429 8969
1481 9649 1871 8527 6653 4657 6263 5779
6961 4349 6571 5471 1789 9341 2179 8219
5807 5323 6197 4201 10979 331 10589 1453
10181 1129 9791 2251 5009 6121 5399 4999
4567 6563 4957 5441 9739 1571 9349 2693
9431 1879 9041 3001 4259 6871 4649 5749

$S=44880$

Последовательность магических констант получается такая:

24024, 26040, 43680, 44352, 44520, 44880

Работа проделана, решения найдены. Насколько я знаю, решения оригинальные; в Интернете я таких не встречала.
Почему бы не написать статью в OEIS?

[Dmitriy40]

Nataly-Mak в сообщении #975769 писал(а):

Dmitriy40
смотрю, вы стесняетесь сообщить о своих замечательных решениях на сайте ice00 (на котором проходил конкурс по пандиагональным квадратам из последовательных простых чисел; решений в этом конкурсе никто не представил).
Ну, я сделала это сама:
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... /#post-279

Спасибо. Лень мне региться на посторонних сайтах, да ещё и не русских.

[Nataly-Mak]

Dmitriy40 в сообщении #975901 писал(а):

Лень мне региться на посторонних сайтах, да ещё и не русских.

В-о-о-о-т! И ещё одно чистосердечное признание... (не от первого форумчанина).

Поэтому о наших достижениях почти никто ничего не знает в мире. Я смотрела энциклопедию по магическим квадратам/кубам (иностранную, конечно). В ней нет ни одного (!) из полученных мной и коллегами результатов.
А таких результатов очень много.
Хорошо хоть что-то есть в OEIS благодаря нескольким моим статьям, которые дались мне очень не просто (через тернии бесконечных просьб, выполняемых далеко не всегда).

-- Вт фев 10, 2015 04:27:22 --

Итак, пандиагональные квадраты 4-го порядка из последовательных простых чисел сдвинулись с мёртвой точки с лёгкой руки Jarek. Их найдено уже 4 штуки.
А вот пандиагональные квадраты 5-го порядка из последовательных простых чисел пока сидят крепко за неприступной крепостью. Попытались штурмовать эту крепость, пока безрезультатно.

То же самое с пандиагональными квадратами 6-го порядка из последовательных простых чисел.
Есть, правда, отличие: для этих квадратов известно одно - минимальное - решение (A073523).
И всё! Второй квадрат не находится. Я попыталась, быстро сломала зубки об этот орешек.
Уверена, что второй квадрат существует.
Кто не боится зубки сломать (и кому не лень!) - поищите

[Nataly-Mak]

С ассоциативными квадратами 10-го порядка Стенли из различных простых чисел, удовлетворяющими дополнительным условиям, пока ничего не получилось. Массивы для потенциальных констант ассоциативности получаются огромные, программа проверки работает очень медленно. Кроме того, 12d3 нашёл необходимое условие для построения такого квадрата. И нет у нас пока ни одной потенциальной константы ассоциативности, удовлетворяющей этому условию. Всё плохо

Тогда решила проделать то же самое для порядка 6. Предполагаю, что это будет работать для любого порядка $n=4k+2, k=1,2,3,…$

Итак, рассказываю получение общей формулы ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям, которые гарантируют превращение этого квадрата в совершенный магический квадрат и в идеальный магический квадрат.

Схема ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка:

x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7 x8 x9 x10 x11 x12
x13 x14 x15 x16 x17 x18
k-x18 k-x17 k-x16 k-x15 k-x14 k-x13
k-x12 k-x11 k-x10 k-x9 k-x8 k-x7
k-x6 k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Здесь k – константа ассоциативности квадрата, связанная с индексом квадрата S следующим соотношением:
$S=3k$.

Составляю систему линейных уравнений, описывающих квадрат по данной схеме:

x1+x12+x17-x15-x10-x5=0
x2+x7+x18-x14-x9-x4=0
x6+x7+x14-x16-x9-x2=0
x5+x12+x13-x17-x10-x3=0
x1+x8-x2-x7=0
x2+x9-x3-x8=0
x3+x10-x4-x9=0
x4+x11-x5-x10=0
x5+x12-x6-x11=0
x7+x14-x8-x13=0
x8+x15-x9-x14=0
x9+x16-x10-x15=0
x10+x17-x11-x16=0
x11+x18-x12-x17=0
x13+x18-x14-x17=0
x14+x17-x15-x16=0

Для того чтобы данный ассоциативный квадрат Стенли превратился в совершенный магический квадрат (и в идеальный магический квадрат) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

x1-x2+x4-x6+x5-x3=0
x1-x7-x18+x6-x12-x13=-k

Условия получены экспериментальным путём.
Добавляю эти два условия к системе уравнений и решаю полученную систему. Решение решатель выдал такое:

k = r1,
x1 = - r5- r4-2 r3+3 r2+ r1, 
x10 = -(-2 r4-4 r3+2 r2+ r1)/2, 
x11 = -2 r5- r3+2 r2+ r1, 
x12 = - r5+ r4+ r3, 
x13 = - r4-2 r3+2 r2+ r1, 
x14 = r5, 
x15 = (-2 r5-2 r4-6 r3+6 r2+3 r1)/2, 
x16 = -(-2 r5-2 r4-2 r3+2 r2+ r1)/2, 
x17 = - r5-2 r3+2 r2+ r1, 
x18 = r4, 
x2 = r2, 
x3 = (-4 r5-2 r4-6 r3+8 r2+3 r1)/2, 
x4 = -(-2 r4-2 r3+ r1)/2, 
x5 = -2 r5-2 r3+3 r2+ r1, 
x6 = - r5+ r4+ r2, 
x7 = - r5- r4- r3+2 r2+ r1, 
x8 = r3, 
x9 = (-4 r5-2 r4-4 r3+6 r2+3 r1)/2

При заданной константе ассоциативности k имеем всего 4 свободные переменные из 18.
Не буду показывать преобразование решения к привычному виду.
Покажу полученные результаты; все квадраты составляются из различных простых чисел.

Первый комплект из 3-х квадратов (ассоциативный квадрат Стенли, удовлетворяющий дополнительным условиям – совершенный магический квадрат – идеальный магический квадрат) был получен мной давно.
Сейчас я доказала минимальность совершенного магического квадрата из данного комплекта (полным перебором всех потенциальных констант ассоциативности).

Итак, комплект №1

ассоциативный квадрат Стенли, удовлетворяющий дополнительным условиям:

149 769 1069 2309 2609 3229
863 1483 1783 3023 3323 3943
2711 3331 3631 4871 5171 5791
4139 4759 5059 6299 6599 7219
5987 6607 6907 8147 8447 9067
6701 7321 7621 8861 9161 9781

$K=9930, S=29790$

совершенный магический квадрат:

149 9161 2309 6701 2609 8861
9067 1483 6907 3943 6607 1783
4139 5171 6299 2711 6599 4871
3229 7321 1069 9781 769 7621
5987 3323 8147 863 8447 3023
7219 3331 5059 5791 4759 3631

$S=29790$

идеальный магический квадрат

149 9161 2309 8861 2609 6701
9067 1483 6907 1783 6607 3943
4139 5171 6299 4871 6599 2711
7219 3331 5059 3631 4759 5791
5987 3323 8147 3023 8447 863
3229 7321 1069 7621 769 9781

$K=9930, S=29790$

Важно отметить, что идеальный магический квадрат не является минимальным. Минимальный идеальный магический квадрат из различных простых чисел найден maxal и имеет магическую константу 990.

Далее мне захотелось найти второй такой комплект и второй совершенный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел. Нашла его довольно быстро.

Комплект №2

ассоциативный квадрат Стенли, удовлетворяющий дополнительным условиям:

1627 2243 3329 4561 5647 6263
2347 2963 4049 5281 6367 6983
3217 3833 4919 6151 7237 7853
4657 5273 6359 7591 8677 9293
5527 6143 7229 8461 9547 10163
6247 6863 7949 9181 10267 10883

$K=12510, S=37530$

совершенный магический квадрат:

1627 10267 4561 6247 5647 9181
10163 2963 7229 6983 6143 4049
4657 7237 7591 3217 8677 6151
6263 6863 3329 10883 2243 7949
5527 6367 8461 2347 9547 5281
9293 3833 6359 7853 5273 4919

$S=37530$

идеальный магический квадрат

1627 10267 4561 9181 5647 6247
10163 2963 7229 4049 6143 6983
4657 7237 7591 6151 8677 3217
9293 3833 6359 4919 5273 7853
5527 6367 8461 5281 9547 2347
6263 6863 3329 7949 2243 10883

$K=12510, S=37530$

(надеюсь, что моя программа ничего не пропустила и верно нашла второй совершенный квадрат; но, конечно, хотелось бы независимого подтверждения результата)

Сейчас запустила программу на поиск третьего совершенного квадрата 6-го порядка из различных простых чисел.

В заключение покажу матричное преобразование, превращающее ассоциативный квадрат Стенли 6-го порядка, удовлетворяющий дополнительным условиям, в совершенный магический квадрат.
Пусть исходный ассоциативный квадрат Стенли 6-го порядка имеет матрицу 6х6 $A(i,j)$ с естественной нумерацией элементов.
Тогда полученный из данного квадрата совершенный магический квадрат будет иметь следующий вид:

a11 a65 a14 a61 a15 a64
a56 a22 a53 a26 a52 a23
a41 a35 a44 a31 a45 a34
a16 a62 a13 a66 a12 a63
a51 a25 a54 a21 a55 a24
a46 a32 a43 a36 a42 a33

Совершенный магический квадрат (в рассматриваемых комплектах из 3-х квадратов) превращается в идеальный магический квадрат с помощью преобразования 3-х квадрантов.

[Nataly-Mak]

Два комплекта нашлись прямо рядышком

Комплект №3

ассоциативный квадрат Стенли, удовлетворяющий дополнительным условиям:

233 443 1013 1433 2003 2213
1637 1847 2417 2837 3407 3617
5273 5483 6053 6473 7043 7253
8081 8291 8861 9281 9851 10061
11717 11927 12497 12917 13487 13697
13121 13331 13901 14321 14891 15101

$K=15334, S=46002$

совершенный магический квадрат:

233 14891 1433 13121 2003 14321
13697 1847 12497 3617 11927 2417
8081 7043 9281 5273 9851 6473
2213 13331 1013 15101 443 13901
11717 3407 12917 1637 13487 2837
10061 5483 8861 7253 8291 6053

$S=46002$

идеальный магический квадрат:

233 14891 1433 14321 2003 13121
13697 1847 12497 2417 11927 3617
8081 7043 9281 6473 9851 5273
10061 5483 8861 6053 8291 7253
11717 3407 12917 2837 13487 1637
2213 13331 1013 13901 443 15101

$K=15334, S=46002$

Комплект №4

ассоциативный квадрат Стенли, удовлетворяющий дополнительным условиям:

2971 3343 3853 4597 5107 5479
4111 4483 4993 5737 6247 6619
5281 5653 6163 6907 7417 7789
7561 7933 8443 9187 9697 10069
8731 9103 9613 10357 10867 11239
9871 10243 10753 11497 12007 12379

$K=15350, S=46050$

совершенный магический квадрат:

2971 12007 4597 9871 5107 11497
11239 4483 9613 6619 9103 4993
7561 7417 9187 5281 9697 6907
5479 10243 3853 12379 3343 10753
8731 6247 10357 4111 10867 5737
10069 5653 8443 7789 7933 6163

$S=46050$

идеальный магический квадрат:

2971 12007 4597 11497 5107 9871
11239 4483 9613 4993 9103 6619
7561 7417 9187 6907 9697 5281
10069 5653 8443 6163 7933 7789
8731 6247 10357 5737 10867 4111
5479 10243 3853 10753 3343 12379

$K=15350, S=46050$

Итак, имеем следующую последовательность магических констант совершенных квадратов 6-го порядка из различных простых чисел:

29790, 37530, 46002, 46050

Можно поискать и пятый квадрат. Для порядка 6 программа работает быстро, в отличие от порядка 10.

[Nataly-Mak]

А вот и пятый совершенный квадратик:

5443 13691 3733 7211 11923 5501
11887 647 13597 7127 5407 8837
4831 14303 3121 7823 11311 6113
8623 3911 10333 10391 2143 12101
8707 10427 6997 3947 15187 2237
8011 4523 9721 11003 1531 12713

$S= 47502$

(не показываю весь комплект из 3-х квадратов, а только совершенный квадрат)

Ну, с совершенными квадратами 6-го порядка из различных простых чисел всё довольно просто, можно их хоть 10 штук найти, предполагаю, что без особых трудностей.

А не добавить ли последовательность магичесикх констант в OEIS? Нет ведь такой
Нет, кроме шуток. Вот последовательность магических констант совершенных квадратов 4-го порядка из различных простых чисел есть - A191533 (для порядка 4 совершенные квадраты = пандиагональные квадраты). А чем совершенные квадраты 6-го порядка из различных простых чисел хуже?
А ещё у нас с 12d3 есть последовательность магических констант совершенных квадратов 8-го порядка из различных простых чисел. Эту последовательность тоже надо добавить, что уже давно предложила сделать 12d3, но от него ни гу-гу.

[Nataly-Mak]

В преддверии конкурса по идеальным магическим квадратам решила поработать с этими квадратами.

Для порядка 7 уже удалось немного минимизировать решение, найденное очень давно alexBlack.
У него решение было с магической константой 5411, я нашла решение с магической константой 4613, но в минимальности этого решения не уверена: остались не проверрены две потенциальные магические константы.

Теперь смотрю, что мы имеем для квадратов порядка 8.
В моей статье написано о построении идеального квадрата 8-го порядка из различных простых чисел очень кратко:

Цитата:

В общей формуле идеального квадрата 8-го порядка 18 независимых переменных (при заданной магической константе), мне удалось уменьшить количество независимых переменных до 15, используя различные зависимости, в том числе и по решёткам Россера.

Мне удалось найти такое решение:

67 59 641 487 617 419 277 73
643 379 227 137 181 263 347 463
53 311 409 613 379 431 293 151
571 557 29 97 157 193 389 647
13 271 467 503 563 631 103 89
509 367 229 281 47 251 349 607
197 313 397 479 523 433 281 17
587 383 241 43 173 19 601 593

$S=2640$

Является ли это решение минимальным? Нижняя граница (вычитала в указанной статье) для магической константы таких квадратов равна 2040. Мне удалось построить пандиагональный квадрат и ассоциативный квадрат с такой магической константой. А вот чтобы он был оновременно и пандиагональным, и ассоциативным... Можно ли построить такой квадрат

Поскольку общей формулы идеального квадрата 8-го порядка у меня нет, решила обратиться к программе svb, которую он представил здесь совсем недавно.
По его программе у меня получилась такая общая формула идеального квадрата 8-го порядка (если я всё правильно сделала):

(Оффтоп)

€¤Ґ «м­л© Єў ¤а в N=8
A[0,0]=+p2
A[0,1]=+p3
A[0,2]=+p4
A[0,3]=+p5
A[0,4]=+p6
A[0,5]=+p7
A[0,6]=+p8
A[0,7]=+8S/8-p2-p3-p4-p5-p6-p7-p8
A[1,0]=+p9
A[1,1]=+p10
A[1,2]=+p11
A[1,3]=+p12
A[1,4]=+p13
A[1,5]=+p14
A[1,6]=+p15
A[1,7]=+8S/8-p9-p10-p11-p12-p13-p14-p15
A[2,0]=+p16
A[2,1]=+p17
A[2,2]=+p18
A[2,3]=+16S/8-2p2-3p3-3p4-2p5+p7+p8-p9-2p10-2p11-p12+p14+p15-p16-p17-p18
A[2,4]=+18S/8-2p1-2p2-2p3-3p4-p5-p6+p7-p9-2p10-p11-p12+p15-p16-p17-p18
A[2,5]=-10S/8+2p1+2p2+2p3+3p4+p5+p6-p7+p10+p11+p12-p13-p14-p15+p18
A[2,6]=-6S/8-2p1+2p3+p4+p5-p6-p7-2p8+2p9+2p10+2p11+p12+p13+p17
A[2,7]=-10S/8+2p1+2p2+p3+2p4+p5+p6+p8+p10-p15+p16
A[3,0]=+16S/8-2p2-2p3-2p4-p5-2p9-2p10-p11-2p16-p17
A[3,1]=+10S/8-2p1-2p2-2p3-2p4-p5-p6+p7-p10+p13+p14+2p15-p16-p17-p18
A[3,2]=-10S/8+2p1+2p2+2p3+2p4+p5+p6+p8+p10-p13-p15+p16
A[3,3]=-16S/8+3p2+4p3+4p4+2p5-2p7-2p8+2p9+3p10+2p11-2p14-2p15+2p16+2p17+p18
A[3,4]=-18S/8+2p1+3p2+3p3+4p4+2p5-2p7-p8+2p9+3p10+p11+p12-p13-p14-2p15+2p16+2p17+p18
A[3,5]=+p8-p12+p16
A[3,6]=+16S/8-2p2-3p3-3p4-2p5+2p7+p8-2p9-2p10-2p11-p12+p14+p15-p16-p17-p18
A[3,7]=+10S/8-2p1-2p2-2p3-3p4-p5+p7-2p10+p12+p13+p14+2p15-2p16-p17
A[4,0]=-8S/8+2p1+2p2+2p3+3p4+p5-p7+2p10-p12-p13-p14-2p15+2p16+p17
A[4,1]=-14S/8+2p2+3p3+3p4+2p5-2p7-p8+2p9+2p10+2p11+p12-p14-p15+p16+p17+p18
A[4,2]=+2S/8-p8+p12-p16
A[4,3]=+20S/8-2p1-3p2-3p3-4p4-2p5+2p7+p8-2p9-3p10-p11-p12+p13+p14+2p15-2p16-2p17-p18
A[4,4]=+18S/8-3p2-4p3-4p4-2p5+2p7+2p8-2p9-3p10-2p11+2p14+2p15-2p16-2p17-p18
A[4,5]=+12S/8-2p1-2p2-2p3-2p4-p5-p6-p8-p10+p13+p15-p16
A[4,6]=-8S/8+2p1+2p2+2p3+2p4+p5+p6-p7+p10-p13-p14-2p15+p16+p17+p18
A[4,7]=-14S/8+2p2+2p3+2p4+p5+2p9+2p10+p11+2p16+p17
A[5,0]=+12S/8-2p1-2p2-p3-2p4-p5-p6-p8-p10+p15-p16
A[5,1]=+8S/8+2p1-2p3-p4-p5+p6+p7+2p8-2p9-2p10-2p11-p12-p13-p17
A[5,2]=+12S/8-2p1-2p2-2p3-3p4-p5-p6+p7-p10-p11-p12+p13+p14+p15-p18
A[5,3]=-16S/8+2p1+2p2+2p3+3p4+p5+p6-p7+p9+2p10+p11+p12-p15+p16+p17+p18
A[5,4]=-14S/8+2p2+3p3+3p4+2p5-p7-p8+p9+2p10+2p11+p12-p14-p15+p16+p17+p18
A[5,5]=+2S/8-p18
A[5,6]=+2S/8-p17
A[5,7]=+2S/8-p16
A[6,0]=-6S/8+p9+p10+p11+p12+p13+p14+p15
A[6,1]=+2S/8-p15
A[6,2]=+2S/8-p14
A[6,3]=+2S/8-p13
A[6,4]=+2S/8-p12
A[6,5]=+2S/8-p11
A[6,6]=+2S/8-p10
A[6,7]=+2S/8-p9
A[7,0]=-6S/8+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8
A[7,1]=+2S/8-p8
A[7,2]=+2S/8-p7
A[7,3]=+2S/8-p6
A[7,4]=+2S/8-p5
A[7,5]=+2S/8-p4
A[7,6]=+2S/8-p3
A[7,7]=+2S/8-p2

Начинаем искать решение по данной формуле.

A[0,0]=+p2
A[0,1]=+p3
A[0,2]=+p4
A[0,3]=+p5
A[0,4]=+p6
A[0,5]=+p7
A[0,6]=+p8
A[0,7]=+8S/8-p2-p3-p4-p5-p6-p7-p8

Тут всё понятно, магическая константа S задана у нас. Задали свободные переменные (элементы квадрата), которые обозначены как параметры pi, вычислили зависимый элемент A[0,7].

A[1,0]=+p9
A[1,1]=+p10
A[1,2]=+p11
A[1,3]=+p12
A[1,4]=+p13
A[1,5]=+p14
A[1,6]=+p15
A[1,7]=+8S/8-p9-p10-p11-p12-p13-p14-p15

Здесь аналогично. Идём дальше.

A[2,0]=+p16
A[2,1]=+p17
A[2,2]=+p18
A[2,3]=+16S/8-2p2-3p3-3p4-2p5+p7+p8-p9-2p10-2p11-p12+p14+p15-p16-p17-p18
A[2,4]=+18S/8-2p1-2p2-2p3-3p4-p5-p6+p7-p9-2p10-p11-p12+p15-p16-p17-p18

Задали значения свободных переменных (элементов квадрата) A[2,0], A[2,1], A[2,2] и вычисляем значения зависимых элементов A[2,3], A[2,4].
Да, значение элемента A[2,3] вычисляем без вопросов.
А вот в формулу для элемента A[2,4] входит параметр p1, который нигде не определён.

И где же брать значение этого параметра
Подскажите, пожалуйста.

Я с такой ситуацией сталкивалась, конечно. Тогда на другом форуме мы с одним товарищем получали общую формулу какого-то магического куба.
Получается, что параметр p1 надо выразить через элемент A[2,4] (тогда этот элемент будет свободным) и остальные параметры. А иначе никак! Ибо негде взять значение параметра p1.

У кого какие есть соображения?
Может, я чего-то неправильно поняла в этой общей формуле?

P.S. Интересно: в указанной статье написано, что мне удалось свести количество свободных переменных с 18 до 15, используя зависимости по решёткам Россера. А это уже большое облегчение для перебора.

[Nataly-Mak]

Шестой совершенный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел:

7253  13691  4691  8273  12671  5711 
13807  109  16369  5527  8389  8089 
4133  16811  1571  11393  9551  8831 
9157  4759  11719  10177  3739  12739 
11903  9041  9341  3623  17321  1061 
6037  7879  8599  13297  619  15859 

$S= 52290$

Пора начинать писать статью в OEIS
Эх, тряхнуть что ли стариной?
Написать статью на ломаном английском, авось, как обещал maxal, команда редакторов OEIS всё приведёт к нужному стандарту.

[Nataly-Mak]

Похоже, ответ на вопрос я не получу. Поэтому получила свою общую формулу для идеального квадрата 8-го порядка.

Nataly-Mak в сообщении #977181 писал(а):

P.S. Интересно: в указанной статье написано, что мне удалось свести количество свободных переменных с 18 до 15, используя зависимости по решёткам Россера. А это уже большое облегчение для перебора.

Сейчас у меня получилось даже не 15, а 14 свободных переменных.

Общая формула идеального квадрата 8-го порядка

X(1)= X(28)+ X(14)- X(23)
X(10)= X(14)+ X(19)- X(23)
X(11)= - X(24)+ X(25)+ X(28)+ X(30)+ X(31)- X(19)- X(16)
X(13)= X(24)- X(14)+ X(23)
X(15)= - X(24)+ X(25)+ X(26)+ X(27)+ X(28)- X(16)- X(23)
X(18)= - X(26)- X(27)+ X(30)+ X(31)- X(19)+ X(22)+ X(23)
X(2)= X(27)- X(14)+ X(23)
X(21)= - X(24)+ X(25)+ X(26)+ X(27)+ X(28)- X(22)- X(23)
X(3)= X(24)- X(25)- X(27)- X(28)+ X(16)+ X(22)+ X(23)
X(32)= 4*K-X(25)-X(26)-X(27)-X(28)-X(29)-X(30)-X(31)
X(12)= X(24)- X(25)- X(28)+ X(29)- X(20)+ X(16)+ X(32)
X(17)= X(26)+ X(27)+ X(29)- X(20)- X(22)- X(23)+ X(32) 
X(4)= - X(24)+2*X(25)+ X(26)+ X(27)+ X(28)- X(16)- X(22)- X(23)
X(5)= X(14)- X(23)+ X(32)
X(6)= X(31)- X(14)+ X(23)
X(7)= X(24)- X(25)- X(26)- X(27)- X(28)+ X(30)+ X(16)+ X(22)+ X(23)
X(8)= - X(24)+ X(25)+ X(26)+ X(27)+ X(28)+ X(29)- X(16)- X(22)- X(23)
X(9)= - X(14)+ X(20)+ X(23)

Здесь K - константа ассоциативности, считается заданной. Имеем 14 свободных переменных из 32 (элементы квадрата).

Уменьшение количества свободных переменных получено засчёт того, что я добавила к системе уравнений, описывающих идеальный квадрат, условия по решёткам Россера.

Общую формулу проверила на известном решении:

67 59 641 487 617 419 277 73
643 379 227 137 181 263 347 463
53 311 409 613 379 431 293 151
571 557 29 97 157 193 389 647
13 271 467 503 563 631 103 89
509 367 229 281 47 251 349 607
197 313 397 479 523 433 281 17
587 383 241 43 173 19 601 593

$S=2640$

Это решение получается при следующих значениях свободных переменных:

K=660:X(32)=647:X(31)=389:X(30)=193:X(29)=157:X(28)=97:X(27)=29:X(26)=557:X(25)=571
X(24)=151:X(23)=293:X(22)=431:X(16)=463:X(20)=613:X(19)=409:X(14)=263

Теперь попробую программно реализовать полученную общую формулу и поискать идеальные квадраты 8-го порядка из различных простых чисел с магической константой меньше 2640.

-- Чт фев 12, 2015 17:36:39 --

Ещё проверила общую формулу на классическом идеальном квадрате 8-го порядка.
Задаю значения свободных переменных:

K=65:X(32)=59:X(31)=38:X(30)=19:X(29)=14:X(28)=11:X(27)=22:X(26)=35:X(25)=62
X(24)=21:X(23)=28:X(22)=45:X(16)=42:X(20)=53:X(19)=60:X(14)=18

Решение по формуле получается такое:

1  32  41  56  49  48  25  8 
63  50  7  10  31  18  39  42 
4  13  60  53  36  45  28  21 
62  35  22  11  14  19  38  59 
6  27  46  51  54  43  30  3 
44  37  20  29  12  5  52  61 
23  26  47  34  55  58  15  2 
57  40  17  16  9  24  33  64 

$K=65, S=260$

что в точности совпадает с проверяемым квадратом.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #977181 писал(а):

И где же брать значение этого параметра
Подскажите, пожалуйста.

Увы, это особенность четных порядков и обойти эту особенность невозможно. Но вместо параметра $p_1$ можно выбрать и более "осмысленный" свободный параметр. Сейчас он достаточно случайный, хотя и необходимый, чтобы не потерять возможные квадраты. Нужно исследовать.

[Nataly-Mak]

svb
к сожалению, из вашего ответа я не поняла, какое же значение надо выбрать для параметра p1.
Вот вы привели выше пример для квадрата порядка 6. Там точно такая же ситуация.

Когда вы проверяли формулу на конкретном квадрате, вы как задали значение параметра p1?
Ведь элемент A[2,4] в проверяемом квадрате существует вполне определённый. Верно? Значит, вы как-то подобрали значение параметра p1, чтобы получить значение элемента A[2,4]. Так?

Но тогда и получается, как я говорю: параметр p1 надо выразить через элемент квадрата A[2,4] и остальные параметры. И этот параметр получится вроде как и не совсем свободный. Свободным тогда будет элемент квадрата A[2,4].

А что вы скажете о полученной мной формуле идеального квадрата 8-го порядка, в которой всего 14 свободных переменных (вместо положенных 18)?
Это действительно общая формула? Или же это частная формула?
Я вот пока не поняла. Идеальные квадраты по этой формуле строятся при задании конкретных значений свободных переменных (выше привела два примера).
Сейчас допишу программу, реализующую эту формулу) и посмотрю, что она мне будет строить.

maxal
очень хотелось бы услышать и ваше мнение по этому вопросу.
У вас есть общая формула идеального квадрата 8-го порядка?
Если да, выложите, пожалуйста.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #977562 писал(а):

Но тогда и получается, как я говорю: параметр p1 надо выразить через элемент квадрата A[2,4] и остальные параметры. И этот параметр получится вроде как и не совсем свободный. Свободным тогда будет элемент квадрата A[2,4].

А почему бы и нет? Формулы только будут другими, без p1 - попробуйте.

Nataly-Mak в сообщении #977562 писал(а):

А что вы скажете о полученной мной формуле идеального квадрата 8-го порядка, в которой всего 14 свободных переменных (вместо положенных 18)?
Это действительно общая формула? Или же это частная формула?

Если бы можно было выразить через 14 переменных любой идеальный квадрат 8-го порядка, то это обозначало бы, что параметры p1..p18 нельзя задавать произвольным образом и между ними существует какая-то зависимость, но это не так. При замене p1 на A[2,4] число свободных переменных не меняется и p1 становится вычисляемым.

Выбор свободных параметров можно производить самыми различными способами. Вопрос только в том, какой набор "лучше"? Например, для проверки конкретного квадрата удобнее выбрать A[2,4] вместо p1, как предложили вы. С точки зрения "красоты" лучше выбирать p1. Но понятие "красоты" не имеет четкого определения.

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #977624 писал(а):

Если бы можно было выразить через 14 переменных любой идеальный квадрат 8-го порядка, то это обозначало бы, что параметры p1..p18 нельзя задавать произвольным образом и между ними существует какая-то зависимость, но это не так. При замене p1 на A[2,4] число свободных переменных не меняется и p1 становится вычисляемым.

А почему "это не так"?

Я утверждаю, что любой идеальный квадрат 8-го порядка построится по моей формуле с 14 свободными переменными.
Приведите, пожалуйста, такой идеальный квадрат 8-го порядка, который по этой формуле не построится при заданных из этого квадрата значениях 14 свободных элементов.
[к примеру, вы строите по вашей формуле (c 18 свободными переменными) любой числовой идеальный квадрат 8-го порядка, а я вам показываю, как этот квадрат получается по моей формуле (с 14 свободными переменными); если это получится, значит, моя формула работает и моё утверждение верное - до тех пор, пока вы не приведёте контрпример]

(Дело в том, что я применила свойства решёток Россера в пандиагональном квадрате 8-го порядка. Эти зависимости у меня связали 4 свободных переменных; говоря вашим языком - связали 4 параметра. Я написала по этим свойствам уравнения и добавила их к системе уравнений, описывающих идеальный квадрат 8-го порядка; затем решила полученную систему уравнений. Вот и получилась у меня такая формула.)

Цитата:

Выбор свободных параметров можно производить самыми различными способами. Вопрос только в том, какой набор "лучше"? Например, для проверки конкретного квадрата удобнее выбрать A[2,4] вместо p1, как предложили вы. С точки зрения "красоты" лучше выбирать p1. Но понятие "красоты" не имеет четкого определения.

То есть вы хотите сказать, что параметр p1 в вашей формуле можно задать какой угодно, с потолка?
Это очень интересно.

Обычно при реализации общей формулы мы выбираем из заданного массива чисел свободные элементы квадрата и вычисляем зависимые элементы по формулам, в которых участвуют свободные элементы квадрата.
Куда тут "пришить" параметр p1

По моей формуле можете сами попробовать построить идеальный квадрат. В моей формуле всё понятно: задаётся константа ассоциативности квадрата и значения свободных элементов квадрата, вычисляются значения зависимых элементов квадрата. Нет никаких непонятных параметров.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #977627 писал(а):

То есть вы хотите сказать, что параметр p1 в вашей формуле можно задать какой угодно, с потолка?
Это очень интересно.

Конечно. Проверить идеальность получаемого квадрата можно прямо по формулам, хотя это и нудно. Любой из свободных параметров можно задавать с потолка.