В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[Mihr]

Someone,
но ведь и Вы употребляли выражение «противоречивый объект»:

Someone в сообщении #909646 писал(а):

В ней нет парадокса Рассела, поскольку нет аксиомы, обеспечивающей существование противоречивых объектов...

И потом, мой вопрос можно легко переформулировать, если сегодня понятие «противоречивый объект» Вам уже не нравится.
Например, так:
Почему мы должны считать противоречивым утверждение «Существует множество все множеств», но при этом уверены в непротиворечивости утверждения «Каждое множество имеет мощность»?

-- 21.09.2014, 15:28 --

epros в сообщении #910145 писал(а):

конструктивным доказательством существования является только предъявление примера. Могут быть и неконструктивные докательства (это когда сам факт существования следует из какой-то аксиоматики, но конкретные примеры неизвестны).

Отличие конструктивного доказательства существования от неконструктивного мне известно. Я не слышал, что бывают конструктивные доказательства несуществования.

[epros]

Mihr в сообщении #910146 писал(а):

Я не слышал, что бывают конструктивные доказательства несуществования.

Теперь услышьте: Сведение к противоречию предположения о существовании является конструктивным доказательством несуществования, ибо не является доказательством от противного. Поэтому противоречивые объекты (типа «белая, но не белая ворона») не существуют. И парадокса в этом нет.

[main.c]

Mihr в сообщении #910146 писал(а):

Почему мы должны считать противоречивым утверждение «Существует множество все множеств», но при этом уверены в непротиворечивости утверждения «Каждое множество имеет мощность»?

Не читал всего этого безумия на 9 страниц, но «Каждое множество имеет мощность» - по определению!

[Mihr]

main.c в сообщении #910156 писал(а):

Не читал всего этого безумия на 9 страниц, но «Каждое множество имеет мощность» - по определению!

По определению чего?
Кстати, и определение можно построить по-разному. Вот хороший вопрос:

popolznev в сообщении #910141 писал(а):

если определение предъявляет к определяемому объекту взаимоисключающие требования - отчего же не считать его противоречивым?

[main.c]

Mihr в сообщении #910163 писал(а):

По определению чего?

Возможно, это будет неожиданно, но я говорил про определение мощности.

[Mihr]

main.c в сообщении #910180 писал(а):

Возможно, это будет неожиданно, но я говорил про определение мощности.

Не то чтобы совсем неожиданно... Предположить это было можно, вот уверенности в этом не было. А вдруг Вы имели в виду определение множества в какой-нибудь формальной теории, о которой я не слышал?
Определение мощности множества несколько... туманно, что ли. Вначале вводится достаточно прозрачное понятие равномощных множеств и устанавливается, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности (в алгебраическом смысле). Следовательно, оно должно порождать разбиение на классы эквивалентности. Логично. Вот только разбиение чего? Множества всех множеств? Но его, как принято нынче считать, просто не существует. Игнорируя этот факт, мы всё же признаём, что разбиение на классы эквивалентности произведено, и каждому такому классу сопоставляем символ — мощность любого представителя этого класса. Можно ли считать это построение безупречным? Не уверен. И если употребление понятия «множество всех множеств» ведёт к противоречию, причём устанавливается это противоречие как раз с помощью понятия «мощность», то... насколько правомерно утверждать, что к противоречию привело именно предположение о существовании «множества всех множеств», но не предположение о том, что у каждого множества есть мощность? Это вопрос традиции, договорённости, или в этом есть более глубокий смысл? Вот о чём был мой вопрос.

[arseniiv]

Mihr в сообщении #910255 писал(а):

Следовательно, оно должно порождать разбиение на классы эквивалентности. Логично. Вот только разбиение чего? Множества всех множеств? Но его, как принято нынче считать, просто не существует.

Класса всех множеств. Разбиение при этом определить даже как класс не получится, но его элементы — классы (с единственным из них, являющимся множеством $\{\varnothing\}$, остальные классы — собственные). Функцию, отображающую множества в их мощности, тоже даже как класс получить не выйдет.

А вот при определённых условиях можно поставить в соответствие каждому такому классу, например, один из ординалов, принадлежащих ему (и назвать его кардиналом, и получить класс кардиналов и класс-функцию из множеств в кардиналы).

[main.c]

Mihr в сообщении #910255 писал(а):

main.c в сообщении #910180 писал(а):

Возможно, это будет неожиданно, но я говорил про определение мощности.

Не то чтобы совсем неожиданно... Предположить это было можно, вот уверенности в этом не было. А вдруг Вы имели в виду определение множества в какой-нибудь формальной теории, о которой я не слышал?
Определение мощности множества несколько... туманно, что ли. Вначале вводится достаточно прозрачное понятие равномощных множеств и устанавливается, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности (в алгебраическом смысле). Следовательно, оно должно порождать разбиение на классы эквивалентности. Логично. Вот только разбиение чего? Множества всех множеств? Но его, как принято нынче считать, просто не существует. Игнорируя этот факт, мы всё же признаём, что разбиение на классы эквивалентности произведено, и каждому такому классу сопоставляем символ — мощность любого представителя этого класса. Можно ли считать это построение безупречным? Не уверен. И если употребление понятия «множество всех множеств» ведёт к противоречию, причём устанавливается это противоречие как раз с помощью понятия «мощность», то... насколько правомерно утверждать, что к противоречию привело именно предположение о существовании «множества всех множеств», но не предположение о том, что у каждого множества есть мощность? Это вопрос традиции, договорённости, или в этом есть более глубокий смысл? Вот о чём был мой вопрос.

Вообще-то парадокс Рассела лишь говорит о том, что нельзя определить множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента. Поэтому если воспользоваться Вашей тактикой и подходить формально к каждому союзу и запятой , то никакого парадокса для множества всех множеств (без лишнего требования) - Вы не получите. Ну содержит оно себя в качестве элемента, нам то что от этого? В итоге Все счастливы и довольны.

[Утундрий]

main.c в сообщении #910279 писал(а):

Вообще-то парадокс Рассела лишь говорит о том, что нельзя определить множество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента. Поэтому если воспользоваться Вашей тактикой и подходить формально к каждому союзу и запятой , то никакого парадокса для множества всех множеств (без лишнего требования) - Вы не получите. Ну содержит оно себя в качестве элемента, нам то что от этого? В итоге Все счастливы и довольны.

Ничего подобного.

[Mihr]

main.c,
вопрос о противоречивости понятия «множества всех множеств» здесь тоже обсуждался. И его несуществование обосновывалось именно тем, что булеан этого множества (согласно известной теореме) должен иметь бóльшую мощность, чем само это множество. Посмотрите страницы, которые Вы пропустили (если интересно, конечно).

-- 21.09.2014, 20:13 --

arseniiv в сообщении #910266 писал(а):

Класса всех множеств.

Кое-что слышал на ту тему. Но, насколько я понимаю, классы (грубо говоря, более широкие совокупности, чем множества) противопоставляются множествам в формальных теориях, где, вроде бы, парадоксов и так нет. А в рамках "наивной теории множеств" отличить класс от множества нельзя. Или это неверно?

[arseniiv]

Mihr в сообщении #910303 писал(а):

А в рамках "наивной теории множеств" отличить класс от множества нельзя. Или это неверно?

Не знаю. Ничто, вроде, для определения классов не мешает поступать как в ZFC. Наивная ж (это пишется без кавычек как вполне себе употребительный термин).

[Someone]

Mihr в сообщении #910146 писал(а):

но ведь и Вы употребляли выражение «противоречивый объект»

Что значит "и"? Насколько я помню, Вы употребляли слова "противоречивое понятие". Понятие — это не объект. Под противоречивым объектом я имею в виду объект, утверждение о существовании которого приводит к противоречию.

popolznev в сообщении #910141 писал(а):

Но если определение предъявляет к определяемому объекту взаимоисключающие требования - отчего же не считать его противоречивым?

Не возражаю. Если условия, указанные в определении, сами по себе противоречат друг другу, то можно назвать такое определение противоречивым.
Но в случае множества всех множеств или множества Рассела такого внутреннего противоречия нет.

Mihr в сообщении #910146 писал(а):

Почему мы должны считать противоречивым утверждение «Существует множество все множеств», но при этом уверены в непротиворечивости утверждения «Каждое множество имеет мощность»?

По поводу первого всё ясно: противоречие возникает. А по поводу второго я у Вас спросил бы: а что такое мощность множества?

Mihr в сообщении #910255 писал(а):

Вначале вводится достаточно прозрачное понятие равномощных множеств и устанавливается, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности (в алгебраическом смысле). Следовательно, оно должно порождать разбиение на классы эквивалентности. Логично. Вот только разбиение чего? Множества всех множеств?

Если Вы говорите о разбиении, то должны прежде ввести класс всех множеств.
В ZFC это возможно путём консервативного расширения языка. Класс всех множеств определяется как $V=\{x:x=x\}$.
В GB (или NGB — теория множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя) класс $V$ всех множеств имеется, так сказать, изначально.
Имея класс всех множеств, мы можем определить его разбиение на классы равномощных множеств и сказать, что мощность множества $x$ есть класс множеств, равномощных множеству $x$.

Mihr в сообщении #910303 писал(а):

Но, насколько я понимаю, классы (грубо говоря, более широкие совокупности, чем множества) противопоставляются множествам в формальных теориях

"Противопоставляются"??? Ничего, что каждое множество является классом? Речь идёт не о противопоставлении, а о расширении понятия множества.

Mihr в сообщении #910303 писал(а):

А в рамках "наивной теории множеств" отличить класс от множества нельзя.

Если будет определение класса, то можно ставить вопрос об "отличении".