В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #909962 писал(а):

Mihr в сообщении #909954 писал(а):

Только, боюсь, это ещё менее наглядно...

Если попросить не множество, а формулу «$x$ — простое», тогда на языке арифметики это можно записать покороче:

$$\exists a\exists b\;ab=x\mathbin\& a<b\mathbin\& a=1.$$

(Если нет нуля, можно вместо $<$ сделать и $\ne$.)

Неверно.

[arseniiv]

(Скажите контрпример, не соображу.)

-- Вс сен 21, 2014 00:10:27 --

Чёрт.

-- Вс сен 21, 2014 00:11:23 --

Да, в общем, только $\forall$, ну а там получится что-то как у epros.

[Mihr]

arseniiv в сообщении #909962 писал(а):

Если попросить не множество, а формулу «$x$ — простое», тогда на языке арифметики это можно записать покороче:

$$\exists a\exists b\;ab=x\mathbin\& a<b\mathbin\& a=1.$$

(Если нет нуля, можно вместо $<$ сделать и $\ne$.)

По-моему, Вы ошиблись. Ваша формула "работает" вообще для всех натуральных чисел (не только простых). Или я что-то недопонимаю.

[arseniiv]

Да-да, как уже заметил Xaositect. Точнее, для больших единицы. Поправил сообщеньице.

[epros]

Mihr в сообщении #909964 писал(а):

epros в сообщении #909960 писал(а):

Ещё вариант: $\forall a,b ~ ab=x \to a=1 \vee b=1$

Извините, не понял. Чем это отличается от первого варианта?

Всего лишь упростил всё, что можно: Исключил лишние упоминания о каких-либо «множествах», подразумевая, что речь идёт о формуле в языке арифметики Пеано. Ну, и неинтересное уточнение про то, что единицу не нужно считать простым числом, выкинул. Исключительно всё для того, чтобы формула получилась простая и «ежу ясная».

-- Сб сен 20, 2014 22:58:53 --

Mihr в сообщении #909961 писал(а):

arseniiv в сообщении #909955 писал(а):

Очевидно, не ведёт, так же как и «число, одновременно нечётное и чётное» — не существует таких множеств и чисел, вот противоречия никак и не получится.

Прошу прощения, но не ставите ли Вы сейчас телегу впереди лошади? Чтобы сделать вывод о том, что таких объектов не существует, вначале нужно, допустив временно их существование, получить противоречие (док-во от противного). Или всегда заранее ясно, что такой-то объект не существует? По-моему, это совсем не так.

Конструктивное доказательство несуществования заключается именно в сведении к противоречию предположения о существовании. В данном случае такое доказательство тривиально, поэтому в некотором смысле можно сказать, что несуществование объекта «заранее ясно».
Не следует это путать с:
- противоречием в теории (парадоксом),
- доказательством от противного.

[Mihr]

epros в сообщении #909981 писал(а):

В данном случае такое доказательство тривиально

Кажется, мы ушли несколько в сторону. Я теряю нить разговора. Увы...
Доказательство чего тривиально?
Доказательство того, что не существует множества всех множеств?
Доказательство того, что не существует множества всех "нормальных" множеств?
Что-то третье?
Если первое или второе - могу согласиться лишь с тем, что для человека, уже знакомого с этим доказательством, оно действительно выглядит тривиальным. Потому что он может его легко воспроизвести - в силу краткости и прозрачности этого доказательства.
Но много ли людей найдёт это доказательство самостоятельно? Без намёков и полунамёков?
Тем паче, много ли сообразит самостоятельно, что здесь вообще есть какая-то проблема? И нужно что-то доказывать?
Вероятно, нет. Что косвенно подтверждается и временем открытия парадокса Рассела.
Поэтому я бы не согласился с утверждением о том, что несуществование множества всех множеств (вариант: множества всех "нормальных" множеств) заранее очевидно.

P.S. "Конструктивное доказательство несуществования"... Интересное выражение. Впервые встречаю.

[Someone]

Mihr в сообщении #909989 писал(а):

Поэтому я бы не согласился с утверждением о том, что несуществование множества всех множеств (вариант: множества всех "нормальных" множеств) заранее очевидно.

Какая разница? Пусть бы это доказательство занимало 30000 страниц текста. Что бы от этого изменилось, кроме того, что построение такого доказательства могло бы занять много десятилетий?

[g______d]

epros в сообщении #909981 писал(а):

Конструктивное доказательство несуществования заключается именно в сведении к противоречию предположения о существовании.

epros в сообщении #909981 писал(а):

Не следует это путать с:

epros в сообщении #909981 писал(а):

- доказательством от противного.

В чём здесь разница, кроме двойного отрицания?

[arseniiv]

(Оффтоп)

В классической логике, вроде, ни в чём. А вот в конструктивной… там-то с двойными отрицаниями не так просто. (Только всё время забываю, сильнее $A$ или $\neg\neg A$.)

[Mihr]

Someone в сообщении #910001 писал(а):

Какая разница? Пусть бы это доказательство занимало 30000 страниц текста. Что бы от этого изменилось, кроме того, что построение такого доказательства могло бы занять много десятилетий?

Здесь я всего лишь возразил на утверждение:

epros в сообщении #909981 писал(а):

В данном случае такое доказательство тривиально, поэтому в некотором смысле можно сказать, что несуществование объекта «заранее ясно».

Уважаемый Someone!
Если возможно, ответьте лучше на этот пост (было бы интереснее):

Mihr в сообщении #909818 писал(а):

Someone в сообщении #909804 писал(а):

Потому что его множество подмножеств имеет бóльшую мощность.

Это понятно. Но можно поставить "подлый" вопрос (уж извините ): а значит ли это, что непременно противоречиво понятие "множество всех множеств"? (Оговорюсь: я его считаю противоречивым, но по совершенно иным причинам). Можно ведь считать, что противоречиво понятие "мощность множества". Или что понятие "мощность" в чём-то ограничено: есть некоторые множества, к которым оно неприменимо.

arseniiv в сообщении #910050 писал(а):

всё время забываю, сильнее $A$ или $\neg\neg A$.)

$A$ сильнее. Именно поэтому доказательство "от противного" там не работает (из более слабого утверждения более сильное не следует).

[g______d]

Mihr в сообщении #910061 писал(а):

$A$ сильнее.

Да, мне тоже так казалось.

Mihr в сообщении #910061 писал(а):

Можно ведь считать, что противоречиво понятие "мощность множества". Или что понятие "мощность" в чём-то ограничено: есть некоторые множества, к которым оно неприменимо.

Само по себе понятие "мощность", собственно говоря, в указанном рассуждении не используется; да и вообще его довольно сложно формализовать, если вообще возможно (класс эквивалентности по отношению равномощности неизвестно на чём). Тем не менее, понятие "можность $A$ больше мощности $B$" формализуется легко и строго: оно означает, что не существует инъекции из $A$ в $B$. Именно в таких терминах канторовское доказательсто и формулируется, само слово "мощность" употребляется только для удобства.

[Mihr]

g______d,
спасибо.

[Someone]

g______d в сообщении #910064 писал(а):

понятие "можность $A$ больше мощности $B$" формализуется легко и строго: оно означает, что не существует инъекции из $A$ в $B$

При наличии аксиомы выбора можно и так. А без аксиомы выбора нужно строго по определению: существует инъекция $B\to A$, но не существует биекции $B\xrightarrow{\text{на}}A$.
Кстати, без аксиомы выбора из существования сюръекции $B\xrightarrow{\text{на}}A$ нельзя вывести неравенство $\lvert B\rvert\geqslant\lvert A\rvert$.

Mihr в сообщении #910061 писал(а):

Если возможно, ответьте лучше на этот пост (было бы интереснее):

Mihr в сообщении #910061 писал(а):

Можно ведь считать, что противоречиво понятие "мощность множества".

Нельзя. Вам ведь уже отвечали на этот вопрос. Противоречивыми бывают высказывания. Понятия (в смысле, определения) не бывают противоречивыми. В принципе, можно считать определение противоречивым, если если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего этому определению, но даже это нехорошо. В частности понятие "совокупность всех множеств" не является противоречивым даже в этом смысле, если не настаивать на том, что эта совокупность сама является множеством.

[popolznev]

Цитата:

Понятия (в смысле, определения) не бывают противоречивыми. В принципе, можно считать определение противоречивым, если если не существует ни одного объекта, удовлетворяющего этому определению, но даже это нехорошо.

Ну, это-то действительно нехорошо. Но если определение предъявляет к определяемому объекту взаимоисключающие требования - отчего же не считать его противоречивым?

[epros]

Mihr в сообщении #909989 писал(а):

Кажется, мы ушли несколько в сторону. Я теряю нить разговора. Увы...
Доказательство чего тривиально?

Может ушли, но то, что я комментировал, приведено в цитате.

Но вообще-то несуществование множества всех ординарных множеств (про что парадокс Рассела) тоже становится очевидным, если записать его определение формулой..

Mihr в сообщении #909989 писал(а):

P.S. "Конструктивное доказательство несуществования"... Интересное выражение. Впервые встречаю.

Например, конструктивным доказательством существования является только предъявление примера. Могут быть и неконструктивные докательства (это когда сам факт существования следует из какой-то аксиоматики, но конкретные примеры неизвестны).

g______d в сообщении #910010 писал(а):

epros в сообщении #909981 писал(а):

Конструктивное доказательство несуществования заключается именно в сведении к противоречию предположения о существовании.

epros в сообщении #909981 писал(а):

Не следует это путать с:

epros в сообщении #909981 писал(а):

- доказательством от противного.

В чём здесь разница, кроме двойного отрицания?

Отличие доказательства от противного заключается именно в снятии двойного отрицания, что делает его неконструктивным. Доказательство несуществования посредством приведения к противоречию с предположением о существовании не использует снятия двойного отрицания.