В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[Mihr]

epros в сообщении #909917 писал(а):

Свойство, которое невозможно выразить формулой, однозначно определить словами также вряд ли удастся.

Ну, во-первых, я не говорил "невозможно выразить формулой". Я говорил "проще и удобнее выразить словами", что не то же самое.
Во-вторых, я ведь привёл пример: множество простых чисел. Его удобнее описать словами, чем формулами.

arseniiv в сообщении #909919 писал(а):

Во всех этих «примерах» вы смешиваете реальность и её модели. Это ужасно.

Ну, ужасно, так ужасно. Что поделаешь...
Вообще-то, я отдаю себе отчёт в том, что математика имеет дело с реальностью не напрямую, а через модели.
Но тогда тем более загадочно, почему множества (математические модели) нельзя сопоставлять объектам реального мира (не математическим объектам). Модели ведь для того и вводят, чтобы как-то сопоставлять их с реальностью.

Цитата:

Не в любой теории любое, но словами большего тоже не добиться.

В каком смысле "большего"? Я говорил о том, что словесные (бесформульные) описания порой случаются более удобными для восприятия.

Цитата:

Именно алгоритм строить совершенно не обязательно

Пусть так. Но есть ли здесь более простое описание, чем словесное?

Цитата:

совершенно резонно появляется вопрос, а может ли использование какого-то понятия привести к противоречию.

А разве использование понятий "множество всех множеств" или "множество всех нормальных множеств" не ведёт к противоречию? (Под "нормальными" понимаются множества, которые не содержат сами себя в качестве своего элемента).

Цитата:

Насчёт первого варианта, мне казалось, у философов для таких понятий есть своё название, и даже они от таких понятий, вроде, не бегали.

Вероятно, так. Впрочем, я и не призывал никого бегать от понятий...

[Xaositect]

Daft в сообщении #909932 писал(а):

В Зориче тоже написано,что множества могут содержать любые элементы

Это вопрос философский. А в ZFC множества могут содержать только множества.
Тема тут: topic87782.html

[Daft]

Xaositect в сообщении #909936 писал(а):

Daft в сообщении #909932 писал(а):

В Зориче тоже написано,что множества могут содержать любые элементы

Это вопрос философский. А в ZFC множества могут содержать только множества.
Тема тут: topic87782.html

Спасибо .Да,в Зориче оговорено,что это в наивной теории множеств,да и в ZFC существуют только множества.

(Оффтоп)

Вообще,за такую необыкновенность я и люблю теорию множеств.У нет рамок которые бы влияли на ее построение(таких как согласованность с реальностью),в отличии от других теорий.Наверное,ее поэтому и забросили.

[Mihr]

Xaositect в сообщении #909929 писал(а):

$\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} | x\neq 1\, \&\, \forall p\in\mathbb{N}\, \forall q\in \mathbb{N}\, (x = pq \rightarrow p = 1 \vee q = 1)\}$

Понятно. Тем не менее, мне представляется, что утверждение "у числа $x$ ровно два делителя" удобнее для восприятия. Хотя, конечно, моё мнение субъективно...

[Xaositect]

Mihr в сообщении #909943 писал(а):

Понятно. Тем не менее, мне представляется, что утверждение "у числа $x$ ровно два делителя" удобнее для восприятия. Хотя, конечно, моё мнение субъективно...

Ну можно по-разному перевести: $\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} | \{a\in\mathbb{N} | \exists b\in\mathbb{N}\, ab = x \} = \{ 1, x \}\, \&\, x\neq 1\}$

[epros]

Mihr в сообщении #909935 писал(а):

Я говорил "проще и удобнее выразить словами", что не то же самое.

Удобство субъективно и определяется тренированностью каждого. А формулы вообще-то нужны не для чьего-то удобства, а для однозначности формулировок, которой часто не хватает словесным оборотам.

Mihr в сообщении #909935 писал(а):

Во-вторых, я ведь привёл пример: множество простых чисел. Его удобнее описать словами, чем формулами.

Xaositect записал формулу, которая довольно проста и по-моему гораздо удобнее Ваших словесных описаний. Хотя, разумеется, это вопрос привычки.

[arseniiv]

В любом случае, можно добавить немного определений и написать уже такую формулу, в понятности которой знающий язык первого порядка (а это и так prerequisite) будет убеждён уж наверняка.

(Оффтоп)

Daft в сообщении #909932 писал(а):

А множества отличаются в плане структуры от совокупности только тем,что каждые элементы множества отличаются друг от друга.

Кстати, попытайтесь это выразить. Очевидное $\forall x\in s\;\forall y\in s\;x\ne y$ будет неверным, ну а исправленное $\forall x\in s\;\forall y\in s\;x\ne y\to x\ne y$ будет верно просто из-за верности $A\to A$ для любой формулы $A$.

(Ещё иногда пишут «каждый элемент входит в множество только один раз» — это тоже безосновательно и бессмысленно: количество вхождений какого-то элемента в множество просто не определено, и его можно определить на основе $\in$ совершенно по-разному (несмотря на то, что характеристические функции $\mathbf1_A(x) = x\in A\mathrel? 1 : 0$ действительно удобны).)

Daft в сообщении #909927 писал(а):

Я что-то не понимаю или вы говорите,что элементами множества могут быть только математические объекты?

Именно. Для меня это утверждение практически просто тавтология — математика может оперировать только тем, чем может. И в это «то» никак не входят упомянутые Mihr электростатические поля (если считать, что они есть на самом деле, каковая фраза естественными науками и математикой не используется). Или же они входят как часть соответствующей физической теории, но тогда и вопроса не стоит.

-- Сб сен 20, 2014 23:47:34 --

Mihr в сообщении #909935 писал(а):

Вообще-то, я отдаю себе отчёт в том, что математика имеет дело с реальностью не напрямую, а через модели.
Но тогда тем более загадочно, почему множества (математические модели) нельзя сопоставлять объектам реального мира (не математическим объектам). Модели ведь для того и вводят, чтобы как-то сопоставлять их с реальностью.

В обратную сторону, «наружу», модель сопоставлять ничего точно не должна. К тому же, всё это никак не добавляет возможность множествам иметь элементами стулья — как всё было, так и остаётся.

[Mihr]

Xaositect в сообщении #909945 писал(а):

$\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} | \{a\in\mathbb{N} | \exists b\in\mathbb{N}\, ab = x \} = \{ 1, x \}\, \&\, x\neq 1\}$

Тоже понятно: "$a$ — делитель $x$, при этом множество всех таких $a$ (множество делителей $x$) исчерпывается числами 1 и $x$, при этом $x$ отлично от 1". Только, боюсь, это ещё менее наглядно...

[arseniiv]

Mihr в сообщении #909935 писал(а):

В каком смысле "большего"? Я говорил о том, что словесные (бесформульные) описания порой случаются более удобными для восприятия.

Ну, это вопрос не математики. Большего — в том смысле, что если словесное описание никак не переводится в формулу, это первый признак того, что оно, возможно, и не описание вовсе. «Формульность» же определима точно и довольно просто проверяема, так что отличить формулу от не-формулы намного проще, чем со словами.

Mihr в сообщении #909935 писал(а):

А разве использование понятий "множество всех множеств" или "множество всех нормальных множеств" не ведёт к противоречию? (Под "нормальными" понимаются множества, которые не содержат сами себя в качестве своего элемента).

Очевидно, не ведёт, так же как и «число, одновременно нечётное и чётное» — не существует таких множеств и чисел, вот противоречия никак и не получится.

[Xaositect]

Daft в сообщении #909940 писал(а):

Вообще,за такую необыкновенность я и люблю теорию множеств.У нет рамок которые бы влияли на ее построение(таких как согласованность с реальностью),в отличии от других теорий.Наверное,ее поэтому и забросили.

Ну зачем же забросили. Просто слишком много уже сделано, для того, чтобы разбираться в том, что там происходит сейчас, надо быть специалистом. Вот были не так давно результаты про то, что с некоторой точки зрения, как-то связанной с большими кардиналами и с существованием моделей ZFC в ZFC, подобных универсуму конструктивных множеств, наиболее естественно считать, что $2^{\aleph_0} = \aleph_2$, но я начинаю не понимать эти статьи на середине первой страницы.

[epros]

Mihr в сообщении #909954 писал(а):

Только, боюсь, это ещё менее наглядно...

Ещё вариант: $\forall a,b ~ ab=x \to a=1 \vee b=1$

[Mihr]

arseniiv в сообщении #909955 писал(а):

Очевидно, не ведёт, так же как и «число, одновременно нечётное и чётное» — не существует таких множеств и чисел, вот противоречия никак и не получится.

Прошу прощения, но не ставите ли Вы сейчас телегу впереди лошади? Чтобы сделать вывод о том, что таких объектов не существует, вначале нужно, допустив временно их существование, получить противоречие (док-во от противного). Или всегда заранее ясно, что такой-то объект не существует? По-моему, это совсем не так.

[arseniiv]

Mihr в сообщении #909954 писал(а):

Только, боюсь, это ещё менее наглядно...

Если попросить не множество, а формулу «$x$ — простое», тогда на языке арифметики это можно записать покороче:

$$\exists a\exists b\;ab=x\mathbin\& a<b\mathbin\& a=1.$$

(Если нет нуля, можно вместо $<$ сделать и $\ne$.)

UPD: Эта формула неправильна!! Она верна для всех чисел больше единицы. При исправлении получится то же, что у epros или что-то легко приводимое к такому виду.

[Mihr]

epros в сообщении #909960 писал(а):

Ещё вариант: $\forall a,b ~ ab=x \to a=1 \vee b=1$

Извините, не понял. Чем это отличается от первого варианта?

[arseniiv]

Mihr в сообщении #909961 писал(а):

Прошу прощения, но не ставите ли Вы сейчас телегу впереди лошади? Чтобы сделать вывод о том, что таких объектов не существует, вначале нужно, допустив временно их существование, получить противоречие (док-во от противного).

Не обязательно. А если даже и получать противоречие, то оно будет не из-за использования какой-то подформулы $\phi$ где-то в формулах вывода, а из-за гипотезы (вида в точности $\exists x\;\phi$, но это не важно. Важно, что используется гипотеза) в выводе.