В чем заключается парадоксальность парадокса Рассела?

[g______d]

Daft в сообщении #909768 писал(а):

В книгах по теории множеств пишется,что наивная теория множеств противоречива и про попытки Фреге формализовать теорию нет ни слова.

Я приводил выше книгу, в которой написано правильно. А вообще, причины исторические; по-видимому, действительно были авторы учебников, которые думали, что Кантор имел в виду именно то, что формализовал Фреге.

[Daft]

g______d
А автор не из серии чудиков,таких как Арнольд?А то у него бредовые утверждения,про зачатки наивной теории множеств 3-4 тысячи лет назад, настораживают меня,я уже таких чудиков наслушался.

(Оффтоп)

Но при любом раскладе,у него список литературы полезный

А вообще кто-нибудь труды Кантора в оригинале читал?

[g______d]

Daft в сообщении #909783 писал(а):

бредовые утверждения,про зачатки наивной теории множеств 3-4 тысячи лет назад

Ну там вроде написано, в каком смысле это были зачатки, и имеется ссылка на книгу по истории (наверное, даже, на картинку из книги). Не понял наезда.

[Someone]

Daft в сообщении #909768 писал(а):

А почему мы не можем задать множеств всех множеств в теории множеств Кантора?Что мешает возможности задать множество,где любое множество принадлежит этому множеству?

Потому что его множество подмножеств имеет бóльшую мощность. По простой теореме, доказанной Кантором (у Кантора не множество подмножеств, а множество функций, принимающих два различных значения). По этой причине множество всех множеств не может существовать.

Daft в сообщении #909768 писал(а):

почему наивную теорию множеств перестали использовать,если она непротиворечива?

Кто Вам такое сказал? Большинство математиков прекрасно ей обходятся.

Daft в сообщении #909768 писал(а):

А может ли вообще существовать теория без аксиом,ведь в объектах,которые мы задаем,уже лежат свойства,которые мы принимаем без докозательств. Ведь в доказательствах надо от чего-либо отталкиваться.

Разумеется, какие-то предположения имеются в виду, но они в виде полного списка аксиом не сформулированы. Но ведь в таком состоянии находится большинство математических теорий и математика в целом. Более того, полная формализация всей математики попросту невозможна.

[megamix62]

Sonic86 в сообщении #909398 писал(а):

upgrade в сообщении #909391 писал(а):

так я написал как устранить, для парадокса брадобрея исключаем или дополняем множество условием относительно самого брадобрея:
брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам, и брадобрей не бреет себя

$A,B\vdash A$:
брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам, и брадобрей не бреет себя $\Rightarrow$ брадобрей бреет всех кто не бреет себя сам $\Rightarrow$ стандартные рассуждения, приводящие к парадоксу.
Т.е. ничего Вы не устранили.
И вообще, дело не в том, что надо "починить" какое-то конкретное описание, а в том, что не всякое описание множества дает множество (ну грубо говорю).

это парадокс не множества, а логики...

-- 20.09.2014, 11:15 --

Если у нас есть мн-во А и мы выделяем из него подмножество В по какому то свойству, то получаем в итоге
два множества В и А-В , а не бесконечное мн-во подмножеств...

бесконечное мн-во подмножеств возможно только в одном случае - свойств по которым мы выделяем подмножества из мн-ва А - бесконечно, при этом эти подмножества могут пересекаться...

[Mihr]

Someone в сообщении #909804 писал(а):

Потому что его множество подмножеств имеет бóльшую мощность.

Это понятно. Но можно поставить "подлый" вопрос (уж извините ): а значит ли это, что непременно противоречиво понятие "множество всех множеств"? (Оговорюсь: я его считаю противоречивым, но по совершенно иным причинам). Можно ведь считать, что противоречиво понятие "мощность множества". Или что понятие "мощность" в чём-то ограничено: есть некоторые множества, к которым оно неприменимо.
Пожалуйста, не воспринимайте этот вопрос как попытку развести демагогию. Смысл вопроса в следующем: есть ли какие-то дополнительные соображения, указывающие на то, что противоречиво именно понятие "множество всех множеств", а понятие "мощность множества" противоречивым не является? Или это условность, вопрос соглашения, случайного выбора?

[Daft]

g______d в сообщении #909790 писал(а):

Ну там вроде написано, в каком смысле это были зачатки, и имеется ссылка на книгу по истории (наверное, даже, на картинку из книги). Не понял наезда.

Это не наезд . Очень часто такие зачатки имеют очень далекое сходство.Это как сказать,что у древних гоминидов были зачатки произведения Шекспира,т.к. они накарябали на стене рисунки,похожие на буквы английского алфавита.Но,следует хоть чуток почитать книгу,прежде чем ее судить.Поэтому я извиняюсь,если сказал что-то не то.

Someone в сообщении #909804 писал(а):

Потому что его множество подмножеств имеет бóльшую мощность. По простой теореме, доказанной Кантором (у Кантора не множество подмножеств, а множество функций, принимающих два различных значения). По этой причине множество всех множеств не может существовать.

А мне казалось,что теорема Кантора только показывает,что понятие множества всех множеств приводит к противоречию.Ведь оно не мешает же нам строить это множество.Я думал,что поэтому и ввели аксиомы.
А зачем тогда Фреге ввел аксиомы?Программа Гильберта была,вроде,позже.Не понятна его мотивировка.

[arseniiv]

Mihr в сообщении #909377 писал(а):

Особенно с учётом того, что множества можно конструировать из объектов любого типа, в т.ч. не математических.

На самом деле нельзя любого — только математические, потому что, как ни странно или банально, «не математические объекты» в математику не входят.

Mihr в сообщении #909377 писал(а):

arseniiv в сообщении #909330 писал(а):

Поэтому мне не нравится название «общее свойство».

Удивлён. А как без него обойтись?
Что такое, например, множество нечётных чисел? Множество целых чисел, дающих при делении на 2 в остатке 1. Предыдущая фраза есть описание общего свойства элементов указанного множества. Существует ли другой способ задать это (или другое бесконечное) множество?

Я против именно названия, поскольку именно такое название и спутывает людей обычно. Название «задающая формула», например, не имеет никаких претензий к пониманию элементов множества как «похожих» на чей-то вкус. Или вообще можно обойтись без названия, оно обычно как-то не очень востребованно.

Mihr в сообщении #909818 писал(а):

Но можно поставить "подлый" вопрос (уж извините ): а значит ли это, что непременно противоречиво понятие "множество всех множеств"?

Что значат слова «понятие противоречиво» (это странное для меня словоупотребление в последнее время как-то участилось)? Просто соответствующему предикату «(1) — множество всех множеств» ни одно множество не удовлетворяет, как не существует, например, одновременно чётного и нечётного целого числа. Или вы имели в виду что-то другое?

[Mihr]

arseniiv в сообщении #909893 писал(а):

На самом деле нельзя любого — только математические, потому что, как ни странно или банально, «не математические объекты» в математику не входят.

Прошу прощения, но это не аргумент.
Натуральные числа можно использовать для счёта любых объектов. Не только математических.
Интегрировать можно любые скалярные и векторные величины (если подходящим образом задать их — в виде функций). Например, потенциал электростатического поля в данной точке — это интеграл от напряжённости поля по любой кривой, начинающейся в этой точке и уходящей в бесконечность. При этом, очевидно, напряжённость электростатического поля — не математическое понятие (объект).
Средствами алгебры логики можно решать логические задачи, устанавливать истинность высказываний. При этом понятие "истинность", строго говоря, лежит вне математики.
Примеры продолжить нетрудно.

arseniiv в сообщении #909893 писал(а):

Я против именно названия, поскольку именно такое название и спутывает людей обычно. Название «задающая формула», например, не имеет никаких претензий к пониманию элементов множества как «похожих» на чей-то вкус.

Но разве любое свойство можно естественно выразить какой-либо формулой? Иногда гораздо проще (и удобнее для последующего восприятия) это свойство описать словами. Например, можно определить множество простых чисел как множество тех и только тех натуральных чисел, которые имеют ровно два делителя. Можно, конечно, построить "задающую формулу", но... тогда нужно вводить функцию "число делителей", которую требуется либо описывать словами (а это эквивалентно исходному, словесному описанию), либо строить алгоритм, вычисляющий значения этой функции (что лишено даже тени наглядности)...

arseniiv в сообщении #909893 писал(а):

Что значат слова «понятие противоречиво»?

Вероятно (в зависимости от контекста), это может означать следующее:
1. Данному понятию не соответствует никакой объект.
2. Использование этого понятия (формальное обращение с ним) ведёт к противоречию.
3. Возможно, что-то ещё.
Лично я имел в виду вторую ситуацию из этого списка. А что имеют в виду другие люди, использующие это выражение, — об этом лучше спросите их самих.

[epros]

Mihr в сообщении #909904 писал(а):

Но разве любое свойство можно естественно выразить какой-либо формулой? Иногда гораздо проще (и удобнее для последующего восприятия) это свойство описать словами.

Свойство, которое невозможно выразить формулой, однозначно определить словами также вряд ли удастся.

[arseniiv]

Mihr в сообщении #909904 писал(а):

Примеры продолжить нетрудно.

Во всех этих «примерах» вы смешиваете реальность и её модели. Это ужасно. (Мне почему-то приходится всё время об этом здесь писать (скорее всего, это иллюзия, но уж очень стойкая), так что на этот раз пас, и пусть кто-нибудь другой объясняет, в чём дело.)

Mihr в сообщении #909904 писал(а):

Но разве любое свойство можно естественно выразить какой-либо формулой? Иногда гораздо проще (и удобнее для последующего восприятия) это свойство описать словами.

Не в любой теории любое, но словами большего тоже не добиться.

Mihr в сообщении #909904 писал(а):

либо строить алгоритм, вычисляющий значения этой функции

Среди прочего, тут тоже ошибка. Именно алгоритм строить совершенно не обязательно.

Mihr в сообщении #909904 писал(а):

Вероятно (в зависимости от контекста), это может означать следующее:
1. Данному понятию не соответствует никакой объект.
2. Использование этого понятия (формальное обращение с ним) ведёт к противоречию.
3. Возможно, что-то ещё.
Лично я имел в виду вторую ситуацию из этого списка. А что имеют в виду другие люди, использующие это выражение, — об этом лучше спросите их самих.

Спасибо. Но тогда совершенно резонно появляется вопрос, а может ли использование какого-то понятия привести к противоречию. Более-менее естественный перевод слова «понятие» на язык математической логики даёт отрицательный ответ.

Насчёт первого варианта, мне казалось, у философов для таких понятий есть своё название, и даже они от таких понятий, вроде, не бегали.

[Daft]

arseniiv
Я что-то не понимаю или вы говорите,что элементами множества могут быть только математические объекты?

[Xaositect]

Mihr в сообщении #909904 писал(а):

Но разве любое свойство можно естественно выразить какой-либо формулой? Иногда гораздо проще (и удобнее для последующего восприятия) это свойство описать словами. Например, можно определить множество простых чисел как множество тех и только тех натуральных чисел, которые имеют ровно два делителя. Можно, конечно, построить "задающую формулу", но... тогда нужно вводить функцию "число делителей", которую требуется либо описывать словами (а это эквивалентно исходному, словесному описанию), либо строить алгоритм, вычисляющий значения этой функции (что лишено даже тени наглядности)...

$\mathrm{PRIMES} = \{x\in\mathbb{N} | x\neq 1\, \&\, \forall p\in\mathbb{N}\, \forall q\in \mathbb{N}\, (x = pq \rightarrow p = 1 \vee q = 1)\}$

-- Сб сен 20, 2014 21:00:33 --

Daft в сообщении #909927 писал(а):

arseniiv
Я что-то не понимаю или вы говорите,что элементами множества могут быть только математические объекты?

На эту тему тут недавно была большая тема, поэтому сейчас всем будет лень об этом говорить.
Да, мы с arseniiv придерживаемся точки зрения, что элементами множества могут быть только математические объекты

[Daft]

Xaositect,я рад,что вы здесь.Ответьте пожалуйста

Someone в сообщении #909804 писал(а):

Потому что его множество подмножеств имеет бóльшую мощность. По простой теореме, доказанной Кантором (у Кантора не множество подмножеств, а множество функций, принимающих два различных значения). По этой причине множество всех множеств не может существовать.

А мне казалось,что теорема Кантора только показывает,что понятие множества всех множеств приводит к противоречию.Ведь оно не мешает же нам строить это множество.Я думал,что поэтому и ввели аксиомы.
А зачем тогда Фреге ввел аксиомы?Программа Гильберта была,вроде,позже.Не понятна его мотивировка.

Xaositect в сообщении #909929 писал(а):

Да, мы с arseniiv придерживаемся точки зрения, что элементами множества могут быть только математическоие объекты

Я не хочу снова разжигать споры,но ведь совокупностью могут быть любые объекты?А множества отличаются в плане структуры от совокупности только тем,что каждые элементы множества отличаются друг от друга.Ну и...

(Оффтоп)

а можно ссылку на эту тему?

В Зориче тоже написано,что множества могут содержать любые элементы

[Xaositect]

Daft в сообщении #909932 писал(а):

А мне казалось,что теорема Кантора только показывает,что понятие множества всех множеств приводит к противоречию.Ведь оно не мешает же нам строить это множество.Я думал,что поэтому и ввели аксиомы.

"Понятие приводит к противоречию" это действительно кривое словоупотребление. Приводить к противоречию могут утверждения. Утверждение о существовании множества всех множеств приводит к противоречию.
Мешает оно или не мешает нам строить это множество - зависит от того, как мы понимаем слово "строить". Никто не мешает нам рассмотреть это множество и заключить, что оно не существует.