О возникновении разных мат. теорий и прочее

[_hum_]

arseniiv, давайте, может, на этом закончим. На часах уже далеко за полночь :) Доброй ночи.

[Oleg Zubelevich]

_hum_ в сообщении #908290 писал(а):

ну, а условная вероятность как представляется в теории меры?

рассмотрим множество $M$ с сигма-алгеброй $\Sigma$ и вероятностной мерой $\mu$. Вероятность события $B\in \Sigma$ при условии события $A\in\Sigma$ это новая вероятностная мера

$$\mu_A(B)=\frac{\mu(A\cap B)}{\mu(A)}$$

[_hum_]

Oleg Zubelevich в сообщении #908338 писал(а):

рассмотрим множество $M$ с сигма-алгеброй $\Sigma$ и вероятностной мерой $\mu$. Вероятность события $B\in \Sigma$ при условии события $A\in\Sigma$ это новая вероятностная мера

$$\mu_A(B)=\frac{\mu(A\cap B)}{\mu(A)}$$

Тогда теорема умножения вероятностей, которую используют в тервере, а именно:

$$P(AB) = P(A)P_A(B),$$

у Вас превращается в тавталогию по определению. И тогда сложно будет решить даже такую элементарную задачку:

Из корзины, в которой два черных и один белый шар, последовательно вытягивают два. Какова вероятность, что первый будет черный, а второй белый?

Обычо ее решают так:

пусть $A$ - событие "первый вытянутый шар черный", $B$ - событие "второй вытянутый шар белый". Тогда, пользуясь классическим определением вероятности и тем, что вытаскивание первого шара физически никак не влияет на то, что происходит при вытаскивании второго, можем заключить, что $P(A) = 2/3$ (вытянуть черный из двух черных и одного белого), $P_A(B) = 1/2$ (вытянуть белый из оставшихся после наступления события $B$ одного черного и одного белого). Откуда по теореме умножения вероятностей вероятноcть искомого события $P(AB) = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3$.

Вот, кстати, интересно:

wiki/Conditional_probability писал(а):

As an axiom of probability

Some authors, such as De Finetti, prefer to introduce conditional probability as an axiom of probability:

$$P(A \cap B) = P(A|B)P(B)$$

Although mathematically equivalent, this may be preferred philosophically; under major probability interpretations such as the subjective theory, conditional probability is considered a primitive entity. Further, this "multiplication axiom" introduces a symmetry with the summation axiom for mutually exclusive events.

[Someone]

_hum_ в сообщении #908410 писал(а):

Тогда теорема умножения вероятностей, которую используют в тервере, а именно:

$$P(AB) = P(A)P_A(B),$$

у Вас превращается в тавталогию по определению.

Так и делается. А в чём проблема? Мы эту штуку интерпретируем как "вероятность события $B$, вычисленную при условии, что событие $A$ произошло".

_hum_ в сообщении #908410 писал(а):

Обычо ее решают так:

Так и решаем. Вы увидели какое-то противоречие?

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #908273 писал(а):

Айер был просто ответом на Вашу реплику о том, что философия это религия. Он критиковал теологию и этику методами аналитической философии.

Ну, ничего удивительного, любая религия критикует другие религии :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #908273 писал(а):

А можно абсолютизировать идею отказа от абсолютизации каких-либо идей. Вообщем, иногда человек думает, что освободился от религии, а на самом деле он просто соорудил еще одного идола для поклонения.

В этом я с вами полностью согласен.

Я почему-то подумал, что вы подразумеваете что-то оппонирующее моему мнению.

-- 16.09.2014 16:45:40 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #908311 писал(а):

Видно, что результаты ломания ног и рук реже приносят удовлетворение.

Но тем не менее, бывает и такое. $\exists$ pain addicts :-)

[_hum_]

Someone, не знаю как точно выразиться. Смотрите, в варианте Oleg Zubelevich условная вероятность - это просто сокращенное обозначение для соответствующего отношения. То есть, из его теории вероятностей ее вообще можно выбросить, заменив всюду, где она встречается, просто на отношение вероятностей. (Это вроде называется консервативное расширение теории.)
А в теории вероятностей условная вероятность играет отдельную самостоятельную роль. И не выбрасывают ее именно потому, что в предметной области (по крайней мере в классической интерпретации) вероятность и условная вероятность - это два самостоятельных объекта (наш разум способен их определять по-отдельности. Что прекрасно видно на примере решения задачи). Просто они связаны определенным соотношением (теоремой, а точнее аксиомой умножения). Это как второй закон Ньютона $\mathbf{f} = m\mathbf{a}$ - вроде выглядит как определение силы, а на деле устанавливает связь между самостоятельными понятиями - силой и ускорением.

В общем, я не слишком большой знаток теории формальных систем, потому мне сложно строго объяснить, почему нельзя две теории считать одинаковыми, даже если одну можно выразить средствами другой (например, как в случае Oleg Zubelevich, заменяя аксиомы на определения).
(И разве при таком подходе тогда нельзя было бы то же самое сделать с любой другой мат. теорией - выразить ее средствами теории множеств и мат. логики и сказать, что эта теория просто один из разделов теории множеств?)

Напоследок, вот вспомнил и нашел когда-то читанное:

Скороход А.В. Вероятность, марковские процессы, приложения - 1989. писал(а):

3.1. Теория вероятностей и теория меры. Аксиоматика Колмогорова превращает теорию вероятностей в специальный раздел теории меры, именно теорию конечной меры (очевидно, нормированность и конечность по сути эквивалентны, так как любую конечную меру можно умножением на постоянную превратить в нормированную). Если это так, то может теория вероятностей не нужна? Ответ на этот вопрос уже дан развитием теории вероятностей после введения Колмогоровым его аксиоматики. Теория меры существенным образом используется в теории вероятностей, но классическая теория меры (мое: может, описка и "вероятностей"?) собственно содержит построение меры с помощью продолжения, построение интеграла и изучение его свойств, включая теорему Радона-Никодима. Новые задачи теории меры инспирированы теорией вероятностей: изучение сходимости мер, построение расслоения меры ("условной" меры), они традиционно относятся уже к теории вероятностей. Совершенно новое направление в теории меры - исследование абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Известная в теории меры теорема Радона-Никодима служит только отправной точкой для развития очень важной (в том числе для приложений) теории абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер, содержательность этой теории обусловливается широким классом специальных вероятностных мер, рассматриваемых в этой теории. Наконец, конкретность классов мер, появляющихся в теории вероятностей, скажем произведений или "косых" произведений мер, определяет особенность ее положения по отношению к общей теории меры. Эта особенность проявляется в используемых понятиях таких, как "независимость", "слабая зависимость", "условная независимость", которые еще ассоциируются с определенными физическими представлениями, последние же лежат в основе "вероятностной" интуиции. Эти же понятия приводят к задачам, переформулировка которых на языке теории меры оказывается громоздкой, маловразумительной, вызывающей недоумение, откуда такая задача может возникнуть? Для людей, знакомых с теорией вероятностей, предлагается для примера в терминах теории меры сформулировать задачу о вырождении для простейшего ветвящегося процесса.) Тем не менее имеется ряд разделов теории вероятностей, которые можно непосредственно отнести к теории меры, например, теория меры в бесконечномерных линейных пространствах. Возникнув из вероятностных задач, они традиционно отсаются в рамках теории вероятностей.

3.2. Независимость. Понятие независимости - одно из основных в теории вероятностей, именно оно, по мысли Коломогорова, отличает теорию вероятностей от теории меры.

(То есть, даже сам Колмогоров считал, что теория вероятностей не совпадает с теорией меры!)

[Oleg Zubelevich]

Вы все время путаете физику с математикой.

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

второй закон Ньютона $\mathbf{f} = m\mathbf{a}$ - вроде выглядит как определение силы, а на деле устанавливает связь между самостоятельными понятиями - силой и ускорением.

левая часть в этом уравнении устанавливается эмпирически , и эта эмпирика не имеет отношения к математике. Математика знает только уравнение $$\mathbf{f} = m\mathbf{a}$.
И с формулой условной вероятности -- тоже самое.

[Otta]

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

Смотрите, в варианте Oleg Zubelevich условная вероятность - это просто сокращенное обозначение для соответствующего отношения. То есть, из его теории вероятностей ее вообще можно выбросить, заменив всюду, где она встречается, просто на отношение вероятностей. (Это вроде называется консервативное расширение теории.)
А в теории вероятностей условная вероятность играет отдельную самостоятельную роль.

Что бы Вы ни имели в виду под самостоятельной ролью, именно так, как сказал Oleg Zubelevich, определяется условная вероятность в теории вероятностей.

[_hum_]

Oleg Zubelevich, и остальные. Вы только критикуете, вместо того, чтобы попытаться вместе разобраться. Я тоже так могу - прсто сослаться на слова Скорохода и Колмогорова о том, что теория вероятностей не сводится к теории меры и закрыть вопрос (ну, или отправить спорить с ними).

И еще, вы не ответили - верно ли, что тот же мат. анализ может быть выражен средствами теории множеств и логики? И если да, почему бы его тоже не считать просто теорией множеств?

Otta, я же вам привел выше циату из Вики. С математической точки все равно, что
вариант 1 - ввести первично-неопределяемое понятие $a$, ввести первично-неопределяемое понятие $b$, и связать их аксиомой $P(a,b)$,
вариант 2 - ввести первично-неопределяемое понятие $a$, ввести производное понятие $b$ $::=$ объект, для которого выполняется $P(a,b)$

но с интуитивной точки зрения, они не совсем равносильны (о чем вам опять же говорит и Википедия, и Скороход с Колмогоровым).

Грубого говоря, выразимость одной теории в другой не отражает интуитивного представления об одинаковости теорий. Может, есть тут знатоки, которые помогут формализовать тот момент, что же именно нужно требовать от соотношения теорий, чтобы их одинаковость в математическом смысле отражала интуитивное представление об одинаковости.

[Munin]

_hum_ в сообщении #908481 писал(а):

В общем, я не слишком большой знаток теории формальных систем, потому мне сложно строго объяснить, почему нельзя две теории считать одинаковыми, даже если одну можно выразить средствами другой

Если одну можно выразить средствами другой, а другую - средствами первой, то их надо считать одинаковыми. А не нельзя.

[_hum_]

Munin, скажите это Колмогорову.

[Munin]

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

Вы только критикуете, вместо того, чтобы попытаться вместе разобраться.

Это на вас лежит: выразиться наконец-то настолько ясно, чтобы вас можно было понять, что вас интересует, в каких терминах и условиях, и каковы ваши текущие знания, чтобы изложить ответ.

_hum_ в сообщении #908499 писал(а):

Я тоже так могу - прсто сослаться на слова Скорохода и Колмогорова о том, что теория вероятностей не сводится к теории меры и закрыть вопрос (ну, или отправить спорить с ними).

Не можете. Математика (и физика) - это не филология. Она не состоит из высказываний авторов, пусть даже великих.

[_hum_]

Munin, ответьте, пожалуйста на вопрос, мат. анализ выразим в рамках теории множеств и мат. логики?

[Munin]

Не помню.

[_hum_]

Oleg Zubelevich, кстати, а чем теория меры отличается от обычного ФАН? Ведь мера - это просто функция на алгебре множеств, обладающая определенными свойствами. Ну, так разве из-за этого надо выделять отдельную теорию и называть ее теорией меры?