Инвариантность размерности пространства

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

Xaositect, не совсем понял, почему мой взгляд относится только к 19 веку.

Munin меня, возможно, поправит, но представления о реальности изменились.
В начале 20 века появилась специальная теория относительности, и теперь трехмерного пространтства самого по себе уже нет, есть только четырехмерное пространство-время, одно на всех, и выделение в нем трехмерного пространства зависит от точки зрения. Потом появилась общая теория относительности, и четырехмерное пространство-время не однозначно задается набором аксиом, а есть много разных вариантов, у которых есть какие-то общие свойства и есть какие-то параметры, которые варьируются.

[Red_Herring]

epros в сообщении #907635 писал(а):

Это пока теория. На практике пока малость достижимых для изменений расстояний определяется инструментальными погрешностями.

Тем более. Мы не знаем, как выглядит на малых расстояниях "наше физическое" пространство.

[nikolaycons]

Смотря, на каких малых - это повторяемый процесс. Если числа не врут.

[Munin]

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

Меня интересовал вопрос - почему одни из них оказывабтся выделенными из других, в частности, почему в качестве математической модели нашего физического пространства выбрано именно 3-мерное пространство, а не какой-нибудь другой размерности.

Ответ на этот вопрос вам уже дали: все другие предлагавшиеся модели не соответствуют физическим экспериментам.

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

И, как мне видится, ответ в том, что только эта модель допускает интерпретацию в рамках аксиоматики Гильберта (которая отражает геометрические отношения в нашем мире).

Это грубая ошибка. Ни одна аксиоматика не отображает нашего мира. Она отображает только какой-то вымышленный математический мир. А наш мир на уровне аксиоматики не известен. Гильберт свои аксиомы записывал не после интервью, взятого у господа бога. Всё, что известно о нашем мире, известно на уровне физических экспериментов, а они имеют меньшую строгость, чем математические аксиомы.

Red_Herring в сообщении #907622 писал(а):

В математике непрерывность относится к "бесконечно малым" расстояниям, а с точки зрения физики мы не можем взять очень малых расстояний (меньше комптоновского радиуса).

Не комптоновского. Там другой предел.

Xaositect в сообщении #907634 писал(а):

Я не могу с этим согласиться, потому что структуры эти задаются сполне себе аксиоматически.

Я про тот важный шаг, что раньше считали, что одна аксиоматика $\leftrightarrow$ одна геометрия, а потом выяснили, что одна аксиоматика $\rightarrow$ много разных геометрий, и геометрия, по сути, задаётся набором настроечных параметров. И аксиоматика входит в состав этого набора.

-- 14.09.2014 17:49:18 --

Xaositect в сообщении #907638 писал(а):

Munin меня, возможно, поправит, но представления о реальности изменились.

Как-то у нас неправильно распределились роли: вы говорите о реальности, а я об аксиоматике :-)
Да, в начале 20 века произошло два важнейших изменения в физическом понимании реальности: теория относительности и квантовая теория. Теория относительности научила тому, что нельзя обсуждать геометрию физического пространства (и вообще какую-то физическую реальность) без каких-то заранее установленных и согласованных конвенций. А квантовая теория указала на то, что наше экспериментальное изучение реальности может иметь принципиально непреодолимые пределы, не позволяющие добраться до окончательного выяснения вопросов о соответствии физики и какой-то предложенной аксиоматической модели.

[_hum_]

Munin в сообщении #907695 писал(а):

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

Меня интересовал вопрос - почему одни из них оказывабтся выделенными из других, в частности, почему в качестве математической модели нашего физического пространства выбрано именно 3-мерное пространство, а не какой-нибудь другой размерности.

Ответ на этот вопрос вам уже дали: все другие предлагавшиеся модели не соответствуют физическим экспериментам?

По-вашему, получается, математики "сидят в башне" и клепают от балды мат. теории, а потом отдают физикам, и те, проводя эксперименты, выбирают ту из них, что "соответствует физическим экспериментам".
Но это же очевидная глупость, хотя бы потому, что:
1) откуда тогда было бы ожидать, что хотя бы одна теория подойдет для описания экспериментов;
2) метод подбора путем проверок всех подряд теорий экспериментами занял бы невообразимое количество времени.

В курсе философии и методологии науки давно уже разжевано, что есть методы разработки теорий по индукции (от экспериментальных фактов к выводу общих закономерностей, как в той же геометрии или термодинамике) и по дедукции - использование математических построений с дальнейшей проверкой в эксперименте ("каждый экспериментальный факт теоретически нагружен" (с)). Но и в тех, и в других случаях всегда остается связь с реальным миром (в первом случае через эксперимент, во втором - через мат. аппарат, опирающийся на формализацию реально существующих в нашем мире отношений - тех же отношений на множествах, логику, геометрические отношения и т.п.). Странно, что вам, как вроде бы начитанному человеку, это неизвестно.

Munin в сообщении #907695 писал(а):

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

И, как мне видится, ответ в том, что только эта модель допускает интерпретацию в рамках аксиоматики Гильберта (которая отражает геометрические отношения в нашем мире).

Это грубая ошибка. Ни одна аксиоматика не отображает нашего мира. Она отображает только какой-то вымышленный математический мир. А наш мир на уровне аксиоматики не известен. Гильберт свои аксиомы записывал не после интервью, взятого у господа бога. Всё, что известно о нашем мире, известно на уровне физических экспериментов, а они имеют меньшую строгость, чем математические аксиомы.

Опять же, я поражаюсь вашему незнанию. Всякая аксиоматика с необходимостью связана с реальным миром (несомтря на то, что может допускать и другие модели). Иначе она попросту была бы бесполезна. Например, аксиоматика теории множеств (на которой держится вся математика), описывает отношения реального мира между реальными множествами. Аксиоматика Гильберта описывает отношения, которые реально существуют в нашем мире (если для вас не существует в реальном мире аналога прямой, точки, плоскости, угла, и вы никогда не пользовались теоремой Пифагора для практических нужд, это не значит, что и все остальные должны думать, что геометрия - чистая забава для ума).
Просто вы из того факта, что построенная под конкретную модель аксиоматика может допускать и другие интерпретации, неверно делаете вывод, что она носит чисто математический характер, и никак не отражает свойств той модели, под которую она изначально строилась.

[Munin]

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

По-вашему, получается, математики "сидят в башне" и клепают от балды мат. теории, а потом отдают физикам, и те, проводя эксперименты, выбирают ту из них, что "соответствует физическим экспериментам".

Да, именно так и есть, в общих чертах.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Но это же очевидная глупость, хотя бы потому, что:
1) откуда тогда было бы ожидать, что хотя бы одна теория подойдет для описания экспериментов;
2) метод подбора путем проверок всех подряд теорий экспериментами занял бы невообразимое количество времени.

1) Почему-то некоторые теории уже подошли. На них можно опираться, и строить другие теории, похожие на них.
2) Очень многие теории отсеиваются на самых ранних этапах. Например, если теория гласит, что Земля должна иметь форму бублика, то её можно далее более тщательно не рассматривать, и не ставить отдельных экспериментов. Необходимые эксперименты были уже проведены в прошлом.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

В курсе философии и методологии науки давно уже разжевано

Ну, если вы слушаете такие курсы, а не слушаете учёных, как они реально делают дело, то вы напрасно тратите силы, а убедить вас становится невозможным. Философия - это такая религия, не менее глупая и вредная, чем какое-нибудь христианство, и не менее липкая к человеческим мозгам. Кто от неё уберёгся - тот может заниматься серьёзным делом. Кто не уберёгся - тот обречён вечно вязнуть в пустой болтовне, одновременно пыжась от собственной важности.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

что есть методы разработки теорий по индукции (от экспериментальных фактов к выводу общих закономерностей, как в той же геометрии или термодинамике) и по дедукции - использование математических построений с дальнейшей проверкой в эксперименте ("каждый экспериментальный факт теоретически нагружен" (с)). Но и в тех, и в других случаях всегда остается связь с реальным миром (в первом случае через эксперимент, во втором - через мат. аппарат, опирающийся на формализацию реально существующих в нашем мире отношений - тех же отношений на множествах, логику, геометрические отношения и т.п.). Странно, что вам, как вроде бы начитанному человеку, это неизвестно.

Слышал я что-то такое. Но это ерунда. Классификация того же уровня ценности, что у Борхеса:

Борхес Х. Л. Аналитический язык Джона Уилкинса писал(а):

...животные делятся на:
а) принадлежащих Императору,
б) набальзамированных,
в) прирученных,
г) молочных поросят,
д) сирен,
е) сказочных,
ж) бродячих собак,
з) включённых в эту классификацию,
и) бегающих как сумасшедшие,
к) бесчисленных,
л) нарисованных тончайшей кистью из верблюжьей шерсти,
м) прочих,
н) разбивших цветочную вазу,
о) похожих издали на мух.

Два направления мысли - индуктивное и дедуктивное - действительно, существуют. А вот всё остальное - мягко говоря, не так.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Опять же, я поражаюсь вашему незнанию. Всякая аксиоматика с необходимостью связана с реальным миром

Ничуть.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Иначе она попросту была бы бесполезна.

Польза от аксиоматики в математике рассматривается с точки зрения приложений в самой же математике, и к реальному миру опять не привязана никак.

А насчёт пользы вне математики - существует очень много математических теорий и аксиоматик, не имеющих абсолютно никакой другой пользы. Гораздо больше, чем имеющих пользу.

Тут я бы тоже мог воскликнуть что-нибудь пафосное и оскорбительное, типа "я поражаюсь вашему незнанию", но не буду. Потому что не поражаюсь. Довольно типичное такое незнание. Уже ранее вами продемонстрированное, так что ничего нового.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Например, аксиоматика теории множеств (на которой держится вся математика), описывает отношения реального мира между реальными множествами.

Нету никаких реальных множеств.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Аксиоматика Гильберта описывает отношения, которые реально существуют в нашем мире (если для вас не существует в реальном мире аналога прямой, точки, плоскости, угла...)

Вся неприятность в слове "аналог". Увы, эти аналоги вовсе не являются сами по себе прямыми, точками, плоскостями, углами, и свойства у них другие.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Просто вы из того факта, что построенная под конкретную модель аксиоматика может допускать и другие интерпретации, неверно делаете вывод, что она носит чисто математический характер, и никак не отражает свойств той модели, под которую она изначально строилась.

Очень вредно заниматься телепатией и строить домыслы о том, что имел в виду другой человек. Потому что постоянно попадаете впросак. Нет, я этот вывод делаю из совсем другого факта. Из того, к которому вы до сих пор слепы (хотя вам на него уже несколько раз прямо указывали).

[_hum_]

Munin в сообщении #907734 писал(а):

Ну, если вы слушаете такие курсы, а не слушаете учёных, как они реально делают дело, то вы напрасно тратите силы, а убедить вас становится невозможным. Философия - это такая религия, не менее глупая и вредная, чем какое-нибудь христианство

Обычно так говорят те, кому философия не далась :) Знаете, как говорят, кто отвергает философию, тому достается участь довольствоваться своей собственной, которая обычно не лучшего качества.

На сим, думаю, разговор по таким темам с вами прекратить, в силу очевидной бесполезности.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #907734 писал(а):

_hum_ в сообщении #907723
писал(а):
По-вашему, получается, математики "сидят в башне" и клепают от балды мат. теории, а потом отдают физикам, и те, проводя эксперименты, выбирают ту из них, что "соответствует физическим экспериментам".
Да, именно так и есть, в общих чертах.

Многие математические теории возникают как осознанная необходимость: часто из нужд самой математики, или физики, или других научных дисциплин (существенно реже).

Иная теория развивается потому что кому-то показалось интересной (т.е. "от балды"). Всяко бывает.

[Xaositect]

Цитата:

По-вашему, получается, математики "сидят в башне" и клепают от балды мат. теории, а потом отдают физикам, и те, проводя эксперименты, выбирают ту из них, что "соответствует физическим экспериментам".

Примерно так и есть. Во многом математики занимались своими внутренними проблемами даже до появления современной математики. Решать кубические уравнения с помощью кубических корней никому не было нужно. Даже в самом начале математики многие древнегреческие геометры считали, что занимаются идеальными объектами и свысока смотрели на тех, кто применял геометрию для построения механизмов.

Физики, конечно, говорят математикам, что примерно им нужно и часто получают, что нужно.

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

Например, аксиоматика теории множеств (на которой держится вся математика), описывает отношения реального мира между реальными множествами.

Ни в коем случае. Реальные наборы предметов конечны, а большинство сколько-нибудь интересных примеров использования теории множеств (в частности, например, построение действительной прямой) использует аксиому бесконечности. Это именно модель, полученная расширением полученной в реальном мире интуиции далеко за пределы того, что можно в реальном мире сделать.

Никто никогда не видел в реальности прямую с бесконечным количеством точек и никто не разу не получил действительное число путем измерения. Действительные числа, пространство и математические множества стоят от реального мира слишком далеко.

[Munin]

_hum_ в сообщении #907740 писал(а):

Обычно так говорят те, кому философия не далась :)

Мне она далась. Пятёрки. Потому что чесать языком просто.

Red_Herring в сообщении #907741 писал(а):

Всяко бывает.

Ну да. Я поэтому и сказал "в общих чертах".

См. тж. Лем "Сумма технологии", гл. 5 § e "Безумие, не лишённое метода".

Тж. замечание (скорее даже, вывод) Вайнберга в "Мечты об окончательной теории":

Цитата:

Похоже, что любое ваше высказывание о том, как могут взаимодействовать теория и эксперимент, окажется правильным, а любое утверждение о том, как они должны взаимодействовать, будет, скорее всего, неверным.

- выглядит правдоподобным и в более широком смысле методологии науки вообще.

[Red_Herring]

_hum_ в сообщении #907740 писал(а):

Обычно так говорят те, кому философия не далась :) Знаете, как говорят, кто отвергает философию, тому достается участь довольствоваться своей собственной, которая обычно не лучшего качества.

В отличие от математики или физики, пейзажи которых напоминают горную страну, на философском пейзаже мы видим несколько действительно высоких гор посреди равнины, а дальше начинаются болота. Многие из философов 20 века скомпроментировали свои теории чересчур теплыми отношениями с фашизмом, коммунизмом или прочим деспотизмом (политические воззрения математиков или физиков не отражались на качестве их работ).

Так что подавляющее большинство философов исповедуют философию отнюдь не лучшего качества качества третьей свежести (в философии, в отличие от буфета Дома Литераторов и такое бывает).

[Oleg Zubelevich]

пошел парад невежеств

[_hum_]

Xaositect в сообщении #907748 писал(а):

Примерно так и есть. Во многом математики занимались своими внутренними проблемами даже до появления современной математики. Решать кубические уравнения с помощью кубических корней никому не было нужно.

Еще раз подчеркиваю - есть индукция, есть дедукция, а есть "от балды". То, о чем вы говорите - это работа по дедукции - берутся какие-то основания, полученные по индукции, и продолжается надстройка теории. А "от балды" я называю просто полностью из головы взятую формальную систему (сгенерированную рандомом):

wiki писал(а):

Формальная теория считается определенной, если[2]:
- Задано конечное или счётное множество произвольных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями теории.
- Имеется подмножество выражений, называемых формулами.
- Выделено подмножество формул, называемых аксиомами.
- Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода.

(Есть еще и математика математики, где пытаются изучать саму математику математическими же методами.)

Кстати, насчет кубического уравнения:

wiki писал(а):

Cubic equations were known to the ancient Babylonians, Greeks, Chinese, Indians, and Egyptians.[1][2][3] Babylonian (20th to 16th centuries BC) cuneiform tablets have been found with tables for calculating cubes and cube roots.[4][5] The Babylonians could have used the tables to solve cubic equations, but no evidence exists to confirm that they did.[6] The problem of doubling the cube involves the simplest and oldest studied cubic equation, and one for which the ancient Egyptians did not believe a solution existed.

Xaositect в сообщении #907748 писал(а):

Реальные наборы предметов конечны, а большинство сколько-нибудь интересных примеров использования теории множеств (в частности, например, построение действительной прямой) использует аксиому бесконечности. Это именно модель, полученная расширением полученной в реальном мире интуиции далеко за пределы того, что можно в реальном мире сделать.

Правильно. В методе индукции всегда человеком вносится что-то обобщающее. Так и здесь - в реальности есть представление о непрерывности как о невозможности найти между любыми двумя точками пустое место. И хоть физический мир не допускает такого безграничного деления, это не мешает моделировать его с помощью данной аксиоматики (понятие непрерывности схватывается уже в аксиоматике Гильберта).

Xaositect в сообщении #907748 писал(а):

Никто никогда не видел в реальности прямую с бесконечным количеством точек и никто не разу не получил действительное число путем измерения. Действительные числа, пространство и математические множества стоят от реального мира слишком далеко.

Ух... Ну это же основы философии. Человеческий разум оперирует абстракциями. Они получаются разными способами. В данном случае речь идет об абстракции полученной в результате идеализации:

Философский словарь писал(а):

Идеализация - процесс мысленного конструирования представлений и понятий об объектах, не существующих и не могущих существовать в действительности, но сохраняющих некоторые черты реальных объектов. В процессе И. мы, с одной стороны, отвлекаемся от многих свойств реальных объектов и сохраняем лишь те из них, которые нас в данном случае интересуют, с другой - вводим в содержание образуемых понятий такие признаки, которые в принципе не могут принадлежать реальным объектам. В результате И. возникают идеальные, или идеализированные, объекты, напр., "материальная точка", "прямая линия", "идеальный газ", "абсолютно черное тело", "инерция" и т. п.

[Xaositect]

Ну то есть мы с Вами согласны, но говорим об этом разными словами. Математика изучает разные модели сами по себе, а физика применяет эти модели к реальности. Модели в математике развились с помощью формализации, изменения и обобщения из простейших (арифметика, геометрия, логика), которые отражают бытовую интуицию об окружающем мире.

[epros]

Red_Herring в сообщении #907640 писал(а):

Тем более. Мы не знаем, как выглядит на малых расстояниях "наше физическое" пространство.

Как выглядит физическое пространство на бесконечно малых расстояниях у нас никогда и не было шанса узнать. Однако это не мешает применению моделей с использованием понятия непрерывности.