Инвариантность размерности пространства

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

Ладно. Ветку можно закрывать, ибо пошел оффтоп. Основной вопрос я вроде бы для себя выяснил: непрерывность действительно обеспечивает сохранение размерности, но все же главную роль в том, что наше пространство трехмерно (нельзя на него биективным отображением просто так ввести структуру линейного пространства другой размерности), играет тот факт, что

_hum_ в сообщении #907393 писал(а):

только трехмерная структура естественно согласована с геометрией нашего пространства (с аксиоматикой геометрии) в том смысле, что только в ней абстрактные объекты напрямую соответствуют "осязаемым" в реальности, как то, прямой, плоскости, отрезку и т.п., без чего ориентирование в реальном физическом пространстве невозможно.

Если, конечно, у Xaositect не будет принципиальных возражений по этому суждению. (Ваше мнение мне особо важно, ибо Вы непредвзяты и стараетесь вникнуть в проблему, даже такую "дурацкую". За что отдельная благодарность. :) )

Ну в принципе все так и есть, если использовать представления о реальном физическом пространстве конца 19 века.

Вообще, геометрия безусловно появилась как наука о реальном мире, землемерие (интересно, что в античности была известна одна неевклидова геометрия - сферическая, использующаяся в астрономии. Но это не осознавалось, геометрия и астрономия - измерение неба - были разными науками). Доказательства у Евклида часто опираются не на постулаты, которых с современной точки зрения абсолютно недостаточно, а на некие интуитивные представления о пространстве. В таком виде геометрия существовала до начала 19 века, когда была открыта неевклидовы геометрии. Ситуация стала такой: есть разные геометрии, и есть реальное пространство, и можно проверить, какая геометрия в нем работает. Это один из тех результатов, которые можно назвать началом современной математики - математика окончательно отделилась от естественных наук и стала не изучением модели-идеализации реального мира, а изучением возможных миров-моделей. Стало понятно, что даже очевидные утверждения, типа того, что на прямой существуют как минимум две точки или что прямая, пересекающая одну сторону треугольника, должна пересечь еще одну, должны быть явно выписаны, потому что мы не можем уже опираться на интуицию о пространстве. Работа эта завершилась созданием системы аксиом Гильберта, которая позволяет доказать утверждения Евклида с современными представлениями о математической строгости. Соответственно, другие геометрии определяются другими наборами аксиом. Появились разные более общие геометрии, в частности, появились формальные понятия размерности, которые строго описывали, чем отличается плоскость от пространства и обобщали это различие дальше, рассматривая четырехмерное и многомерные пространства. Потом постепенно развилась алгебра и топология, и стало понятно, что геометрия евклидова или неевклидова пространства - это всего лишь небольшой частный случай из кучи разных геометрий на разных многообразиях разной размерности.

[Munin]

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #907520 писал(а):

Погодите. Вопрос же был в другом.

Munin в сообщении #907512 писал(а):

Для ориентации в море гораздо важнее знать положение, а не направление.

-- 14.09.2014 11:05:51 --

Xaositect в сообщении #907524 писал(а):

Ну в принципе все так и есть, если использовать представления о реальном физическом пространстве конца 19 века.

Да, и представления о геометрии конца 19 века :-)

К середине 20 века стало ясно, что не аксиомы в геометрии главное. Акцент переместился на структуры (топологическую, линейную, метрическую, гладкую и т. п.), симметрии. Что произошло позже - это уже я не разбираюсь и не могу изложить.

[epros]

Red_Herring в сообщении #907501 писал(а):

Откуда возьмется линейность? От того, что мы рассматриваем линейное векторное пространство.

Зачем и кто это «мы»? Вопрос был про размерность, которая к линейности не имеет отношения. Линейное пространство, разумеется, тоже имеет размерность, но это не значит, что любое имеющее размерность пространство — линейное. Вообще говоря, «пространство» — это множество точек. То, что на этом множестве должны быть определены какие-то линейные комбинации — совсем не очевидно.

_hum_ в сообщении #907504 писал(а):

epros в сообщении #907499 писал(а):

_hum_ в сообщении #907493 писал(а):

Ибо число координат всегда можно изменить (любую $n$-ку чисел можно взаимооднозначно отобразить на $m$-ку чисел).

При непрерывном отображении вроде нельзя.

Если речь про произвольный случай, то, думаю, это будет неверно - можно будет подобрать такой пример топологий при котором будет непрерывное биективное отображение $R^n$ в $R^m$, $m \neq n$.

Было бы любопытно ознакомиться с каким-нибудь примером.

_hum_ в сообщении #907504 писал(а):

Если же говорить про "естественную", то тогда да, нельзя, но в этом случае такая топология оказывается тесно связана с линейной структурой (возможно, даже, по топологии можно полностью восстановить эту линейную структуру, хотя не уверен), так что отделять их не совсем правильно.

Не понимаю о какой «естественности» Вы говорите. Возьмите в качестве примера поверхность куба. Интересно было бы посмотреть, как Вы будете определять линейные касательные пространства в углах (разумеется, согласованным с внутренней геометрией образом).

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #907566 писал(а):

Было бы любопытно ознакомиться с каким-нибудь примером.

возьмите какую нибудь биекцию $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ и перенесите с ее помощью стандартую топологию пространства $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}^n$. Открытыми множествами пространства $\mathbb{R}^n$ назовем те и только те множества, которые являются образами открытых множеств при отображении $f$

-- Вс сен 14, 2014 11:12:36 --

Хочу заметить, что обе ветки _hum_ являют пример весьма толстого троллинга. Тролить надо интересно.

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #907568 писал(а):

epros в сообщении #907566 писал(а):

Было бы любопытно ознакомиться с каким-нибудь примером.

возьмите какую нибудь биекцию $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ и перенесите с ее помощью стандартую топологию пространства $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}^n$.

По-моему, это нечестно: У $\mathbb{R}^n$ уже есть своя (стандартная) топология и в её смысле эта биекция не будет непрерывной.

[Red_Herring]

epros в сообщении #907580 писал(а):

По-моему, это нечестно: У $\mathbb{R}^n$ уже есть своя (стандартная) топология и в её смысле эта биекция не будет непрерывной.

Разумеется. Поэтому для примера приходится вводить экзотику.

Oleg Zubelevich в сообщении #907568 писал(а):

Хочу заметить, что обе ветки _hum_ являют пример весьма толстого троллинга. Тролить надо интересно.

Как-то подозрительно быстро он прозрел и обратился в истинную веру.

[_hum_]

Xaositect, не совсем понял, почему мой взгляд относится только к 19 веку. Я прекрасно понимаю, что есть разные формальные мат. теории, в том числе и для разных геометрий. Меня интересовал вопрос - почему одни из них оказывабтся выделенными из других, в частности, почему в качестве математической модели нашего физического пространства выбрано именно 3-мерное пространство, а не какой-нибудь другой размерности. И, как мне видится, ответ в том, что только эта модель допускает интерпретацию в рамках аксиоматики Гильберта (которая отражает геометрические отношения в нашем мире).

epros в сообщении #907580 писал(а):

_hum_ в сообщении #907504 писал(а):

Если же говорить про "естественную", то тогда да, нельзя, но в этом случае такая топология оказывается тесно связана с линейной структурой (возможно, даже, по топологии можно полностью восстановить эту линейную структуру, хотя не уверен), так что отделять их не совсем правильно.

Не понимаю о какой «естественности» Вы говорите.

О той же, о которой вы говорите в

epros в сообщении #907580 писал(а):

По-моему, это нечестно: У $\mathbb{R}^n$ уже есть своя (стандартная) топология и в её смысле эта биекция не будет непрерывной.

Oleg Zubelevich в сообщении #907568 писал(а):

Хочу заметить, что обе ветки _hum_ являют пример весьма толстого троллинга. Тролить надо интересно.

Если мы с вами в данном случае говорим на разных языках, это не значит, что я вас троллю. Но если вы такого мнения, то зачем продолжать заходить в эту ветку и "вестись на троллинг"?

Red_Herring в сообщении #907582 писал(а):

Как-то подозрительно быстро он прозрел и обратился в истинную веру.

Что вы имели в виду? В какую истинную веру? Я просто в процессе обсуждения для себя осознал кое-какие вещи (что трехмерность нашего пространства не связана с непрерывностью). Вот и все.

[epros]

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

О той же, о которой вы говорите

В таком случае непонятно о какой «линейной структуре» Вы говорите.

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

Я просто в процессе обсуждения для себя осознал кое-какие вещи (что трехмерность нашего пространства не связана с непрерывностью). Вот и все.

Как это не связана? Очевидно, что трёхмерность «нашего пространства» определяется стандартными способами измерений расстояний, т. е. она сохраняется при отображениях, непрерывных именно в смысле этих метрик.

[Red_Herring]

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

Что вы имели в виду? В какую истинную веру? Я просто в процессе обсуждения для себя осознал кое-какие вещи (что трехмерность нашего пространства не связана с непрерывностью). Вот и все.

Значит недостаточно прозрели: если говорить о математике, то размерность линейного векторного пространства $\mathbb{R}^3$ никак не связана с непрерывностью, а размерность топологического пространства $\mathbb{R}^3$ никак не связана с линейностью, а в силу согласования линейной и топологической структур эти размерности совпадают.

Что же касается нашего физического пространства, то в "нормальной" жизни оно хорошо описывается $\mathbb{R}^3$ и потому мы рассматриваем его как трехмерное.

[_hum_]

epros в сообщении #907615 писал(а):

В таком случае непонятно о какой «линейной структуре» Вы говорите.

Приведите контекст своему высказыванию (а лучше формулируйте его полностью, чтобы не надо было догадываться о чем идет речь).

epros в сообщении #907615 писал(а):

Как это не связана? Очевидно, что трёхмерность «нашего пространства» определяется стандартными способами измерений расстояний, т. е. она сохраняется при отображениях, непрерывных именно в смысле этих метрик.

Ну, вам на это счас корефеи скажут, что трехмерность пространства определяется наличие структуры линейного пространства размерности 3, которая не предполагает никакой топологии, в принципе. :)

[Red_Herring]

epros в сообщении #907615 писал(а):

Как это не связана? Очевидно, что трёхмерность «нашего пространства» определяется стандартными способами измерений расстояний, т. е. она сохраняется при отображениях, непрерывных именно в смысле этих метрик.

В математике непрерывность относится к "бесконечно малым" расстояниям, а с точки зрения физики мы не можем взять очень малых расстояний (меньше комптоновского планковского (поздняя правка) радиуса). В общем, нам нужна какая-нибудь оговорка здесь.

[_hum_]

Red_Herring в сообщении #907618 писал(а):

Значит недостаточно прозрели: если говорить о математике, то размерность линейного векторного пространства $\mathbb{R}^3$ никак не связана с непрерывностью, а размерность топологического пространства $\mathbb{R}^3$ никак не связана с линейностью, а в силу согласования линейной и топологической структур эти размерности совпадают.

Да сколько же можно говорить - это очевидные (для того, кто мало-мальски знаком с ФАН) факты. И речь шла не про них совершенно.
Я искал ответ на вопрос - почему наше пространство нельзя считать, например, одномерным. Почему именно число 3 везде всплывает. И сперва подумал, что наверное надо думать так:
1) отталкиваться от того, что аксиоматика Гильберта дает трехмерное пространство;
2) найти естественно ограничение, которое не дает возможности наделить это трехмерное пространство (путем биективного преобразования) линейной структурой другой размерности.

В качестве п. 2) у меня была мысль считать, что такое преобразование должно быть непрерывным (вроде бы непрерывность - довольно "естественное" требование). Тогда бы, действительно, по теореме Брауэра, другой размерности бы получить не удалось. Но после разговора с Xaositect понял, что это ни к чему, потому как дело не в том, какую струкутру можно ввести, а в том, что имеет смысл вводить только ту структуру, которая согласована с геометрией (по аксиоматике Гильберта), а это именно трехмерная.

[epros]

_hum_ в сообщении #907620 писал(а):

epros в сообщении #907615 писал(а):

В таком случае непонятно о какой «линейной структуре» Вы говорите.

Приведите контекст своему высказыванию (а лучше формулируйте его полностью, чтобы не надо было догадываться о чем идет речь).

Трудно что ли было глянуть на один пост назад? Вот:

_hum_ в сообщении #907605 писал(а):

epros в сообщении #907580 писал(а):

_hum_ в сообщении #907504 писал(а):

Если же говорить про "естественную", то тогда да, нельзя, но в этом случае такая топология оказывается тесно связана с линейной структурой (возможно, даже, по топологии можно полностью восстановить эту линейную структуру, хотя не уверен), так что отделять их не совсем правильно.

Не понимаю о какой «естественности» Вы говорите.

О той же, о которой вы говорите

_hum_ в сообщении #907620 писал(а):

epros в сообщении #907615 писал(а):

Как это не связана? Очевидно, что трёхмерность «нашего пространства» определяется стандартными способами измерений расстояний, т. е. она сохраняется при отображениях, непрерывных именно в смысле этих метрик.

Ну, вам на это счас корефеи скажут, что трехмерность пространства определяется наличие структуры линейного пространства размерности 3, которая не предполагает никакой топологии, в принципе. :)

Какого ещё линейного пространства?

[Xaositect]

Munin в сообщении #907558 писал(а):

Да, и представления о геометрии конца 19 века

К середине 20 века стало ясно, что не аксиомы в геометрии главное. Акцент переместился на структуры (топологическую, линейную, метрическую, гладкую и т. п.), симметрии. Что произошло позже - это уже я не разбираюсь и не могу изложить.

Я не могу с этим согласиться, потому что структуры эти задаются сполне себе аксиоматически. Просто это аксиомы уже другого уровня, отражающие не конкретные свойства какого-то пространства, а в общие свойства всех похожих структур, из которых потом можно настройкой параметров выбирать какую-то конкретную (а можно и не выбирать, и исследовать общие свойства). Раньше было всего лишь несколько структур, а теперь их аж целый собственный класс.

[epros]

Red_Herring в сообщении #907622 писал(а):

В математике непрерывность относится к "бесконечно малым" расстояниям, а с точки зрения физики мы не можем взять очень малых расстояний (меньше комптоновского радиуса). В общем, нам нужна какая-нибудь оговорка здесь.

Это пока теория. На практике пока малость достижимых для измерений расстояний определяется инструментальными погрешностями.