Является ли наше декартово пространство плоским?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #906241 писал(а):

Это означает, что Вы ввели на конусе структуру гладкого многообразия.

Ввёл, не спорю.

Oleg Zubelevich в сообщении #906241 писал(а):

Эта структура несогласована с гладкой структурой объемлющего впространства .

Никакого объемлющего пространства нет. Конус - это множество точек с метрикой.

Oleg Zubelevich в сообщении #906241 писал(а):

Вы получили многообразие диффеоморфное плоскости. Если бы Вы не произносили слово "конус", а сразу сказали, что рассматриваете плоскость , я бы не стал цепляться.

К сожалению, это не плоскость, поскольку есть контуры (охватывающие начало координат), для которых поворот вектора при параллельном переносе вдоль контура не равен нулю.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #906244 писал(а):

Никакого объемлющего пространства нет. Конус - это множество точек с метрикой.

тогда дайте определение, что Вы называете конусом, поясните откуда взялась метрика

-- Ср сен 10, 2014 16:32:44 --

кажется понял, метрику Вы всетаки индуцируете из $\mathbb{R}^3$ и получаете особенность естественно у метрического тензора. потом про объемлющее пространство забываете ok

-- Ср сен 10, 2014 16:36:14 --

если это так, то объясните, что Вы называете прозводной в смысле теории обобщенных функций на таком многообразии

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #906249 писал(а):

кажется понял, метрику Вы всетаки индуцируете из $\mathbb{R}^3$ и получаете особенность естественно у метрического тензора. потом про объемлющее пространство забываете ok

Да.

Oleg Zubelevich в сообщении #906249 писал(а):

если это так, то объясните, что Вы называете прозводной в смысле теории обобщенных функций на таком многообразии

Производную по карте. Вы же согласились с предложенной картой?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #906253 писал(а):

Производную по карте. Вы же согласились с предложенной картой?

Согласился.
У нас конус $K=\{x^3=\sqrt{(x^2)^2+(x^1)^2}\}$ покрыт одной картой с координатами $x=(x^1,x^2)\in\mathbb{R}^2$. У метрического тензора $g_{ij}(x)$ особенность в точке $x=0$. На многообразии $K$ естественно ввести меру $d\mu=\sqrt{g}dx^1\wedge dx^2$. Плотность этой меры тоже имеет особенность.

Вот теперь не очень понятно, что такаое производная в смысле теоррии обобщенных функций.
Пусть скажем $f\in L^1_\mu(K)$ тогда по определению $(f,\psi)=\int_Kf\psi d\mu,\quad \psi\in\mathcal {D}(K)$.
А как Вы теперь определите $\Big(\frac{\partial f}{\partial x^1},\psi\Big)=? $

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #906278 писал(а):

На многообразии $K$ естественно ввести меру $d\mu=\sqrt{g}dx^1\wedge dx^2$. Плотность этой меры тоже имеет особенность.

Можно ввести $d\mu_c=dx^1\wedge dx^2,$ особенности не будет.

[Oleg Zubelevich]

можно, но тогда дифференцирование обобщенных функций не будет согласовано с данной метрикой. мы опять на стандартной плоскости

[Munin]

Oleg Zubelevich
В общем, если вы конструктивно заинтересовались, то идея была такая: взять конус, вершина которого заменена сферической "крышечкой", и устремить в пределе радиус "крышечки" к нулю.

[Oleg Zubelevich]

так ведь может случиться так, что по одной последовательности сферических крышечек получается одно, по другой -- другое, а по последовательности параболических крышечек -- третье

[Munin]

Нет, интегралы по контурам, не заходящим на крышечку, должны остаться одинаковые.

Ещё аналогия: почему-то с уравнением Лапласа нет никаких проблем определить точечный заряд и поле от него. А тензор кривизны - такой же дифоператор второго порядка.

[Roman2014]

Если Вам не сложно - ответьте, пожалуйста, на посланное вам в личку письмо !
Спасибо !

==================================================

evgeniy в сообщении #905881 писал(а):

Значит в точках, которые образованы из пространства Минковского нулевая кривизна пространства-времени образованного Вами пространства. Ведь кривизна пространства времени это локальная характеристика. В точке не гладкости образованного Вами пространства, пространство Минковского имеет нулевую кривизну. Вы образовали пространство время не гладким образом в одной точке z=0. Значит пределом кривизны Вашего пространства при приближении к точке z=0 справа и слева должна быть нулевая кривизна пространства времени, в силу тензорного характера тензора кривизны. Может ли быть тензор кривизны разрывным я не знаю. Но у Вас получилось, что тензор кривизны равен дельта функции в z=0. Правильно это или нет я не знаю.
А вообще я скачал рекомендованные мне книги МТУ и буду их читать, если осилю новую математику, превышающую тензорный анализ, на котором основано изложение у ЛЛ2.

[evgeniy]

Я не понимаю в чем проблема с обобщенными функциями. Моделируем гравитирующий слой, причем функцию |z| заменяем двойным интегралом от приближения к обобщенной функции $\delta(z)$ равным $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp[-z^2/(2\sigma^2)]$. При этом получится непрерывное распределение тензора кривизны. При условии $\sigma \to 0$, получаем дельта функцию. Причем существует теорема, что при $\sigma \to 0$ и некоторых условиях это приближение сходится к дельта функции.

[Munin]

Видимо, дело в этих некоторых условиях.

[evgeniy]

В книге Гельфанд Шилов Обобщенные функции и действия над ними доказано стр.54-56, что дельта-образная последовательность $\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\exp(-x^2/4t)$ при условии $t \to 0$ стремится к функции $\delta(x)$

[warlock66613]

evgeniy в сообщении #906678 писал(а):

доказано стр.54-56, что дельта-образная последовательность $\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\exp(-x^2/4t)$ при условии $t \to 0$ стремится к функции $\delta(x)$

Я именно эту книжку не открывал, но уверен, что там написано не это, потому что 1) $\delta(x)$ - не функция, вернее это не функция вещественного аргумента $x$, 2) последовательность функций вещественного аргумента не может ни с того ни с сего сходиться к чему-то, что не является функцией вещественного аргумента.

[evgeniy]

Если Вы не открывали книжку, то зачем пишите комментарий, о том что не прочли. Сходимость последовательности надо понимать в обобщенном смысле и предел в смысле обобщенных функций.