Вопросы о моде и медиане случайных величин

[Shtorm]

Александрович в сообщении #889332 писал(а):

Мода (Mo) - наиболее часто встречаемое значение признака в совокупности.

Ну чтож, давайте порассуждаем в терминах математической статистики (МС), хотя я предполагал определения именно только для теории вероятностей (ТВ). Но все они друг с другом увязаны. Рассмотрим пример:
В магазине имеются майки 10-ти различных фирм производителей. Занумеруем эти фирмы: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Собираем статистику продаж маек за месяц. Соответственно, количество купленных маек каждой фирмы будет являться частотой в вариационном ряде. Составляем вариационный ряд:

$ x \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 9 \ \ \ \ 10&\\

$n \ \ \ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 10$

Согласно Вашему определению, мода будет только одна $x_{10}=10$. Но мы же явно видим, что популярностью пользуются не только майки фирмы №10, но и майки фирм №3 и №5. Эти майки тоже будут модными! Что согласуется с моим определением и соответственно моды данного вариационного ряда будут: $x_3=3, x_5=5, x_{10}=10$. Но мы с Вами приходим к общему мнению, значит по-Вашему тут будет смесь распределений?

-- Вт июл 22, 2014 01:46:40 --

vlad_light, типун Вам на язык

-- Вт июл 22, 2014 01:47:49 --

Henrylee в сообщении #889371 писал(а):

может в пособии без этой ерунды обойдетесь?

Вы не согласны со смесью распределений?

[Henrylee]

Shtorm в сообщении #889372 писал(а):

Henrylee в сообщении #889371 писал(а):

может в пособии без этой ерунды обойдетесь?

Вы не согласны со смесью распределений?

И хотя мой PS относился вовсе не к "смесям", тем не менее, спрошу:
<<А где Вы тут вообще видите смесь?>>

[Shtorm]

Henrylee, я никогда раньше не думал о "смеси" в ряде распределения. И меня тоже интересует, где же тут смесь Так что, вопрос переадресуем Александрович-у

[Александрович]

Пример про майки. Поскольку здесь используется СВ нечисловой природы я имею право выстраивать их в любом порядке и получаю следующий ряд частот ${10; 7; 7; 4; 3; 3; 2; 2; 1; 1}$. Укажите мне в этом ряду моду согласно вашему определению.

[Александрович]

Shtorm в сообщении #889378 писал(а):

Henrylee, я никогда раньше не думал о "смеси" в ряде распределения. И меня тоже интересует, где же тут смесь Так что, вопрос переадресуем Александрович-у

Смесь где? Смесь в принципе может быть составлена и из дискретных СВ.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Майки, модные майки, покупайте майки! Мода на майки! Двойная мода, тройная!

Henrylee в сообщении #889371 писал(а):

PS ТС, а может в пособии без этой ерунды обойдетесь?

Да вы что! Тут определение века! Вдруг у воображаемых студентов будут воображаемые проблемы при решении воображаемых задач. Тема как минимум на пятнадцать страниц.

Shtorm в сообщении #889132 писал(а):

Не засоряйте тему.

Да, вроде бы, всё очень в тему укладывается. Впрочем, как будет угодно.

[Shtorm]

Александрович, ладно. Тогда другую задачку приведём. Возьму пример из книги "Теория статистики с основами теории вероятностей" под. ред. Елисеевой И.И. (Пример 13.2) и немного изменю данные:
Менеджер большого универмага записал суммы денег, которые израсходовали 157 покупателей, посетившие отдел верхней одежды в день сезонной распродажи по сниженным ценам. Зная минимальную и максимальную стоимость покупки, менеджер сгруппировал данные о суммах, израсходованных на покупки в следующем виде:

Распределение покупателей по интервалам расходов на покупку товаров


Согласно моему определению, моды будут соответствовать интервалам 300-500 тыс.руб и 700-900 тыс. руб. А Вы что скажете?

[vlad_light]

Скорее всего я чего-то не понимаю, но почему 900-1100 тыс. руб. не будет модой?

[Shtorm]

vlad_light,

Shtorm в сообщении #888257 писал(а):

Дадим определение:
Модой $Mo(X)$ дискретной случайной величины называется её значение , принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями. Если все значения дискретной случайной величины расположены в порядке возрастания, то для вероятности модального значения выполняются неравенства:
$p_{i-1}<p_i$ и $p_{i+1}<p_i$

Правда, это определение - для дискретный случайных величин. Но для вариационного ряда мы подразумеваем точно такое же определение, только вместо вероятностей - частоты.

[vlad_light]

Яснопонятно, дальше не влажу.

(Оффтоп)

П.С. Таких как Вы в средневековье на кострах сжигали... и правильно делали. За лженауку нужно наказывать.

[Александрович]

Shtorm в сообщении #889450 писал(а):

Возьму пример из книги "Теория статистики с основами теории вероятностей" под. ред. Елисеевой И.И. (Пример 13.2) и немного изменю данные:

Изменив немного данные вы от одномодального распределения перешли к бимодальному. Полимодальность кстати может ещё возникнуть из-за неправильной группировки данных. Группировка данных по 400 т.р. даст одномодальное распределение с модальным интервалом 500-900 т.р.
Если мода в одновершинном распределением является характеристикой центра распределения, то появление дополнительных мод говорит лишь о неоднородности данных и никакой практической ценности они не имеют. Да, смесь распределений может имеет полимодальный вид. Я практически такие ряды получал.

[Henrylee]

Александрович в сообщении #889384 писал(а):

Смесь где? Смесь в принципе может быть составлена и из дискретных СВ.

Мне это известно. И при чем тут моды?

Александрович в сообщении #889472 писал(а):

Да, смесь распределений может имеет полимодальный вид.

Как и унимодальный. И что из этого. Как непосредственно понятие смеси связано с количеством мод?

[AV_77]

Shtorm в сообщении #888499 писал(а):

Но слева от значения $Mo(X)_2$ функция убывает и справа от этого значения функция убывает. То есть не выполняется достаточное условие существования экстремума. (Впрочем, необходимое условие тоже не выполняется).

Эти условия, про которые вы говорите, формулируются для точек, в которых функция непрерывна. К указанной точке они, очевидно, не применимы.

Shtorm в сообщении #888499 писал(а):

Может ли кто-нибудь посоветовать книгу по полному исследованию кусочно-заданных функций или хотя бы по экстремумам кусочно-заданных функций?

Открываете любой учебник по математическому анализу и читаете там, что экстремумы могут быть как в точках, где функция непрерывна, так и в точках разрыва функции и точках разрыва производной. Так что исследование кусочно-непрерывных функций сводится к исследованию отдельно областей, где она непрерывна и отдельно к исследованию точек разрыва. Ничего нового тут нет, просто каждый "кусок" исследуется отдельно.

[Otta]

Я вообще не понимаю, что тут происходит, извините за вторжение.

Shtorm в сообщении #889372 писал(а):

В магазине имеются майки 10-ти различных фирм производителей. Занумеруем эти фирмы: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Собираем статистику продаж маек за месяц. Соответственно, количество купленных маек каждой фирмы будет являться частотой в вариационном ряде. Составляем вариационный ряд:

$x \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 9 \ \ \ \ 10$

$n \ \ \ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 10$

А ничего, что это не выборка? Что выборка это конечный набор одинаково распределенных (независимых или нет) случайных величин, на практике - реализация оных, и раз уж здесь явно попытка реализации, то это должны быть числовые значения, а не названия фабрик? Для наглядности - Вы выборочное среднее сосчитать по такой якобы выборке сможете? и о чём это будет? Далее, каков смысл самой измеряемой случайной величины (извините мне вольность речи, кто будет читать, это всяко не хуже того, что было)? Это диаметр чего-то? Рост кого-то? количество осадков где-то? Какое распределение мы изучаем? Объем продаж? Так вот и извольте измерять объем продаж. Многократно. Что такой-то объем был столько-то раз, такой-то столько-то, такой-то столько-то. Это что было выше?

Shtorm, Вы серьезно пособие пишете? Не пишите, пожалуйста.

Что касается именно моды, имхо, конечно, это не то понятие, на котором нужно фиксироваться. Для студентов вполне достаточно знать определение моды в том виде, в каком оно содержится в основных источниках (то есть именно точка максимума распределения - того или этого), уметь отличать явно унимодальное распределение и явно бимодальное. Если пытаться это все формализовать до полного безобразия, понимания не прибавится, а только убавится, - опять же имхо.

Потом, мода в теории вероятностей и мода в статистике - это, извините, неуловимо разные понятия.

Вот выборка

$x \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 5$

$n \ \ \ 7 \ \ \ \ 6\ \ \ \ 7 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 7 $

- она как по-Вашему, сколько мод имеет? Или может, ее лучше считать за выборку из равномерного распределения?

Все комментировать сил никаких нет.

[Shtorm]

AV_77 в сообщении #889497 писал(а):

Открываете любой учебник по математическому анализу и читаете там, что экстремумы могут быть как в точках, где функция непрерывна, так и в точках разрыва функции и точках разрыва производной. Так что исследование кусочно-непрерывных функций сводится к исследованию отдельно областей, где она непрерывна и отдельно к исследованию точек разрыва. Ничего нового тут нет, просто каждый "кусок" исследуется отдельно.

Таким образом, можно так сформулировать поиск моды для НСВ:
1. Находим область определения функции плотности, точки разрыва.
2. Исследуем характер точек разрыва.
3. На каждом интервале непрерывности находим нестрогие локальные максимумы.
4. На каждом интервале непрерывности находим наибольшее значение функции плотности.
5. Все точки нестрогого локального максимума и наибольшие значения функции на интервалах непрерывности будут являться значениями мод.
Всё верно?