Вопросы о моде и медиане случайных величин

[Shtorm]

Александрович, в "Справочнике по математике" Г. Корн, Т. Корн дано определение моды ДСВ такое же, как и в Бочаров П.П., Печинкин А.В. "Теория вероятностей. Математическая статистика." Только другими словами.

Otta в сообщении #890445 писал(а):

Shtorm, нормальное определение, только неравенства в нужную сторону поставьте местами.

Ой, какой нехороший ляп с моей стороны. Спасибо.

Значит, дубль два:

Для определения моды дискретной случайной величины, предположим сначала, что её значения $x_1,...x_n$ расположены в порядке возрастания. Тогда модами $Mo(X)_i$ дискретной случайной величины называются такие значения $x_i$, что для их вероятностей $p_i$ выполняется соотношение:

$$p_{i-1}<p_i>p_{i+1}$$

И модами $Mo(X)_{i+1}$, $Mo(X)_{i+2}$,...,$Mo(X)_{i+k}$ дискретной случайной величины также называются такие значения $x_{i+1}$, $x_{i+2}$,...,$x_{i+k}$, что для их вероятностей $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, ..., $p_{i+k}$ выполняется соотношение:

$$p_{i}<p_{i+1}=p_{i+2}=...=p_{i+k}>p_{i+k+1}$$

где $p_{i}$ и $p_{i+k+1}$ одновременно не равны нулю.

[Shtorm]

Александрович в сообщении #890441 писал(а):

Вот дискретное распределение (привожу только вероятности, СВ естественно в порядке возрастания):
$0,15;0,15;0,15;0,10;0,15;0,15;0,15$. Shtorm считает что это 6-ти модальное распределение. А по моему - бимодальное.....

А Вентцель Е.С. назвала бы его, наверное, антимодальным Но, как мы уже выше говорили, если распределение антимодально - это не значит, что у него нет мод. И здесь, согласно моему определению, 6 мод.
Александрович, а если по-Вашему распределение бимодально, то чему будут равняться значения мод?

Теперь такой вопрос, почему во всех книгах пишут:

$$p_{i-1}<p_i$ и $p_{i+1}<p_i$$

И ни в одной книге я не видел:

$p_{i-1}<p_i>p_{i+1}$

Это что, какой-то методически верный приём?

И вопрос ко всем участникам дискуссии: Вы согласны, что равномерное распределение, хоть НСВ, хоть ДСВ не имеет моды?

[Otta]

Shtorm в сообщении #890481 писал(а):

И вопрос ко всем участникам дискуссии: Вы согласны, что равномерное распределение, хоть НСВ, хоть ДСВ не имеет моды?

Смотря как определять. По Вашему определению - дискретное не имеет. Для непрерывных Вы еще не определяли.

Shtorm в сообщении #890481 писал(а):

Александрович, а если по-Вашему распределение бимодально, то чему будут равняться значения мод?

Бимодальное распределение не обязано иметь ровно две моды. Вы как-то избирательно читаете собственный топик. )

[Shtorm]

Otta в сообщении #890483 писал(а):

Смотря как определять. По Вашему определению - дискретное не имеет. Для непрерывных Вы еще не определяли.

Ясно. А Вы как своим студентам на лекции говорите?

Otta в сообщении #890483 писал(а):

Бимодальное распределение не обязано иметь ровно две моды. Вы как-то избирательно читаете собственный топик

Не понял. Это как? Говоря про мой топик, Вы имеете ввиду подход Александрович-а?

[Otta]

Shtorm в сообщении #890496 писал(а):

Ясно. А Вы как своим студентам на лекции говорите?

Я своим студентам на лекции этого не говорю. И даже на практике не рассказываю. Понятие простое, в тех примерах, что встречаются в задачнике, мода(-ы) ищется на раз. Задаю на дом. Определение они в состоянии прочитать сами. Еще ни разу проблем не возникало. Не то это понятие, из мухи слона раздувать.

Shtorm в сообщении #890496 писал(а):

Говоря про мой топик, Вы имеете ввиду подход Александрович-а?

Вы, собственно, о чем? Говоря о Вашем топике, я имею в виду содержимое Вашего топика. Или Вы видите только ответы Александрович-а? Что Вас так смутило? Только что Вы хотели, чтобы была возможность назвать унимодальным биномиальное распределение с двумя модами. А чем теперь Вам помешало бимодальное с шестью? Ну будьте же последовательны.

[Shtorm]

Otta в сообщении #890498 писал(а):

Только что Вы хотели, чтобы была возможность назвать унимодальным биномиальное распределение с двумя модами.

Ничего подобного. Я потому и удивился. Это Александрович всё время называет биномиальное распределение - унимодальным. Я же говорю, что бывает унимодальное биномиальное распределение, а бывает бимодальное биномиальное распределение. В первом случае - одна мода, во-втором случае - 2 моды. Цитаты привести?

[Otta]

Shtorm в сообщении #890500 писал(а):

Я же говорю, что бывает унимодальное биномиальное распределение, а бывает бимодальное биномиальное распределение.

Ну так Вы не правы. И напрасно Вы игнорируете вопросы, которые Вам задают.

Александрович в сообщении #890058 писал(а):

Shtorm! Все-таки ответьте на вопрос: "Сколько мод имеет распределение в виде трапеции?"

[Shtorm]

Otta в сообщении #890498 писал(а):

Я своим студентам на лекции этого не говорю

Я кстати тоже раньше не говорил и считал, что всё понятно. Но вот стал писать методичку, и во-первых убедился, что преподаватели моей кафедры плавают в этом вопросе. А теперь вижу, что и определение плавает в различных источниках. Так что теперь обязательно на лекции подробно буду на этом останавливаться.

[Otta]

Ваше право. Только сперва пришвартуйтесь куда-нибудь.

[Shtorm]

Otta в сообщении #890501 писал(а):

Shtorm в сообщении #890500 писал(а):

Я же говорю, что бывает унимодальное биномиальное распределение, а бывает бимодальное биномиальное распределение.

Ну так Вы не правы.

Аргументируйте.

Otta в сообщении #890501 писал(а):

И напрасно Вы игнорируете вопросы, которые Вам задают.

Александрович в сообщении #890058 писал(а):

Shtorm! Все-таки ответьте на вопрос: "Сколько мод имеет распределение в виде трапеции?"

Речь о НСВ? Тогда задайте мне плотность этого распределения или ещё как-то конкретнее определите. Сначала-то я думал Александрович ведёт речь о трапецевидном полигоне ДСВ. Но потом-то он сказал, что речь о НСВ. Видимо и Вы, и Александрович намекаете, что плоская вершина трапеции - это интервал мод? Или я что-то не так понял?

[Otta]

Shtorm, да я уж притомилась аргументировать. ) Это я студентам по стописот раз повторяю - одним и тем же, одно и то же. К коллегам я гораздо менее снисходительна, к сожалению. Почитайте для разнообразия Математическую Энциклопедию (и не надо меня спрашивать, какую, она у нас одна), статьи Мода, Унимодальное распределение, Бимодальное распределение, и английскую вики, - те же статьи (и еще, может, Унимодальность, Полимодальность и т.п.), где все подходы достаточно всесторонне изложены.

-- 27.07.2014, 02:07 --

Shtorm в сообщении #890504 писал(а):

Речь о НСВ? Тогда задайте мне плотность этого распределения или ещё как-то конкретнее определите.

Нарисуйте трапецию с основанием на оси абсцисс. Это плотность. Достаточно конкретно?

Shtorm в сообщении #890504 писал(а):

Видимо и Вы, и Александрович намекаете, что плоская вершина трапеции - это интервал мод? Или я что-то не так понял?

Именно на это мы и намекаем.

[Shtorm]

Otta, на чтож я почитал. Процитирую из Математической энциклопедии под ред. Виноградова:
"..Примерами решётчатых унимодальных распределений являются: Пуассона распределение, биномиальное распределение, геометрическое распределение."

Однако: никто же не спорит, что если в биномиальном распределении $(n+1)p$ - целое, то получаем два значения СВ у которых максимальные и равные вероятности. Поскольку биномиальное распределение - это распределение ДСВ, то я утверждаю, что каждое значение является модой - то есть бимодально, но не унимодально. Касательно же трапецевидного распределения НСВ, то конечно - мода принадлежит непрерывному интервалу от одного конца плоской вершины, до другого. Но здесь-то речь идёт о НСВ. А НСВ, как известно, может принимать все значения из конечного или бесконечного промежутка. ДСВ же не может быть размазана по промежутку.
Буду предполагать, что в математической энциклопедии имелось ввиду биномиальное распределение, если $(n+1)p$ - нецелое.

[Otta]

Shtorm в сообщении #890520 писал(а):

Буду предполагать, что в математической энциклопедии имелось ввиду биномиальное распределение, если $(n+1)p$ - нецелое.

Не надо ничего предполагать. Там есть определение.

[Shtorm]

Otta, Вы имеете ввиду определение через неубывающую, а потом невозрастающую функцию $p_k$ от $k$ ?

[Otta]

Да, например, так.