Вопросы о моде и медиане случайных величин

[Henrylee]

И в это смысле приведенное Вами "антимодальное распределение" (например, арксинус-распределение
http://en.wikipedia.org/wiki/Arcsine_distribution) да, бимодальное.

[Александрович]

Shtorm в сообщении #888461 писал(а):

Не прокатит! Нужно, чтобы сумма всех вероятностей в распределении равнялась $1$. В Вашем примере это не так.

Я там один ноль пропустил, см. исправленный пример, и ответьте на мой вопрос с учетом исправления описки.

[Shtorm]

Александрович в сообщении #888455 писал(а):

0,9;0,02;0,05;0,03.

Александрович, не только нуль, но и другие циферки исправили
Будем считать, что данные вероятности соответствуют случайным величинам: 1,2,3,4.
Тогда согласно тому определению, распределение ДСВ будет бимодальным с модами равными 1 и 3.

-- Пт июл 18, 2014 16:00:25 --

Henrylee в сообщении #888462 писал(а):

И в это смысле приведенное Вами "антимодальное распределение" (например, арксинус-распределение
http://en.wikipedia.org/wiki/Arcsine_distribution) да, бимодальное.

Спасибо за такой замечательный пример. Но тем не менее, ситуация вызывает вопросы. Функция плотности арксинус-распределения:

$$f(x)=\frac {1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}$$

В точках $x=0$ и $x=1$ данная функция испытывает разрыв 2-го рода, то есть уходит на бесконечность. Разве можно тогда говорить o наличии локальных максимумов в этих точках?
То есть такое распределение будет антимодально, согласно Вентцель, но не будет бимодально, на мой взгляд.

-- Пт июл 18, 2014 16:09:30 --

Henrylee в сообщении #888460 писал(а):

для решетчатых (аналогично, т.е. как у Вас), а вот для дискретных в общем виде - молчок.

Я когда писал в первом сообщении темы определение моды ДСВ - подразумевал, что это определение действует для всех дискретных распределений, а не только для решётчатых. А по-Вашему, при распространении данного определения на все ДСВ могут быть какие-то неправильности?

[Henrylee]

Shtorm в сообщении #888468 писал(а):

В точках $x=0$ и $x=1$ данная функция испытывает разрыв 2-го рода, то есть уходит на бесконечность. Разве можно тогда говорить o наличии локальных максимумов в этих точках?
То есть такое распределение будет антимодально, согласно Вентцель, но не будет бимодально, на мой взгляд.

Считать ли такие точки локальными максимумами? Да какая разница, по мне главное, что вероятности попадания соотв. с.в. в некоторую малую окрестность максимизируются именно в этих точках. А для меня идеологический смысл моды именно в этом.

Shtorm в сообщении #888468 писал(а):

-- Пт июл 18, 2014 16:09:30 --

Я когда писал в первом сообщении темы определение моды ДСВ - подразумевал, что это определение действует для всех дискретных распределений, а не только для решётчатых. А по-Вашему, при распространении данного определения на все ДСВ могут быть какие-то неправильности?

А какой в этом смысл?

[Shtorm]

Henrylee в сообщении #888486 писал(а):

по мне главное, что вероятности попадания соотв. с.в. в некоторую малую окрестность максимизируются именно в этих точках. А для меня идеологический смысл моды именно в этом.

Хорошо, пусть так. Но тогда напрашивается и определение в методичках как-то так сформулировать. А то применение термина "локальный максимум" будет не всегда отражать сущность моды. Ну и у меня тут возник следующий вопрос: если же у функции плотности максимум достигается в точке разрыва 1-го рода, то я выше писал, что применяем все свойства как для обычного локального максимума, кроме непрерывности. Но ведь это не всегда так. Рассмотрим например функцию плотности, изображённую на рис.4.

Значения моды $Mo(X)_1$ и $Mo(X)_2 $ сомнений не вызывают? Но слева от значения $Mo(X)_2$ функция убывает и справа от этого значения функция убывает. То есть не выполняется достаточное условие существования экстремума. (Впрочем, необходимое условие тоже не выполняется). Хотя конечно в дельта-окрестности значение функции максимально - то есть формально удовлетворяет определению максимума. Как тут быть?
Может ли кто-нибудь посоветовать книгу по полному исследованию кусочно-заданных функций или хотя бы по экстремумам кусочно-заданных функций? Это уже даже безотносительно к теории вероятностей.

[Nemiroff]

Shtorm в сообщении #888499 писал(а):

(Впрочем, необходимое условие тоже не выполняется). Хотя конечно в дельта-окрестности значение функции максимально - то есть формально удовлетворяет определению максимума. Как тут быть?
Может ли кто-нибудь посоветовать книгу по полному исследованию кусочно-заданных функций или хотя бы по экстремумам кусочно-заданных функций? Это уже даже безотносительно к теории вероятностей.

Необходимое условие?
В чём проблема? Определению максимума удотвлетворяет — максимум. Какое может быть исследование? А есть книги по полному исследованию сложения однозначных чисел?

-- Пт июл 18, 2014 19:38:58 --

Shtorm в сообщении #888450 писал(а):

Только тогда вопрос к Вам, а что такое полимодальное распределение?

Многогорбый верблюд.

[Shtorm]

Nemiroff, хорошо, а что Вы скажете по поводу точек разрыва 2-го рода? Вы согласны, что там тоже будут максимумы?

-- Пт июл 18, 2014 19:00:02 --

Shtorm в сообщении #888499 писал(а):

Может ли кто-нибудь посоветовать книгу по полному исследованию кусочно-заданных функций или хотя бы по экстремумам кусочно-заданных функций? Это уже даже безотносительно к теории вероятностей.

Может быть не книги, а статьи хотя бы.

[Александрович]

Henrylee в сообщении #888462 писал(а):

И в это смысле приведенное Вами "антимодальное распределение" (например, арксинус-распределение
http://en.wikipedia.org/wiki/Arcsine_distribution) да, бимодальное.

Скоро дойдём до того, что унимодальное будем считать биантимодальным.

[Shtorm]

Александрович, понятие антимодальности я только нашёл в одной книге - книге Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Почему другие авторы не ввели в свои книги такого понятия? Может из-за того, что и не стоит вводить такого понятия? Как считаете, нужно ли вообще писать про антимодальность в учено-методическое пособие, которое я сейчас пишу?

[Александрович]

Shtorm в сообщении #888716 писал(а):

Как считаете, нужно ли вообще писать про антимодальность в учено-методическое пособие, которое я сейчас пишу?

Это вам решать. А вообще-то нужно. У Р.Н.Вадзинского в его "Справочнике..." для распределения арксинуса указано значение антимоды.

[Nemiroff]

Shtorm в сообщении #888509 писал(а):

Nemiroff, хорошо, а что Вы скажете по поводу точек разрыва 2-го рода? Вы согласны, что там тоже будут максимумы?

Применяете определение максимума. Если удовлетворяет — будет максимум. Какие вопросы-то?

[Александрович]

Мода не обязательно максимум, но всегда наибольшее значение.

[Shtorm]

Александрович в сообщении #888723 писал(а):

У Р.Н.Вадзинского в его "Справочнике..." для распределения арксинуса указано значение антимоды.

Спасибо за указание на такую замечательную книгу. Значит не только у Вентцель. Заметьте, Вадзинский указал антимоду, но не указал моды, а авторы статьи в английской Википедии, наверняка тоже математики, указали две моды, но не указали антимоду. О чём это говорит?
Может как раз тот самый момент:

AV_77 в сообщении #888275 писал(а):

Обычно определения вводятся исходя из потребностей курса и, естественно, могут несколько варьироваться.

Но тогда в чём же именно различаются потребности у Вадзинского и у английских математиков?

-- Сб июл 19, 2014 15:36:28 --

Александрович в сообщении #888727 писал(а):

Мода не обязательно максимум, но всегда наибольшее значение.

Можете привести пример?

[Александрович]

Распределение Лапласа пойдет?

[Shtorm]

Александрович, функция плотности распределения Лапласа:

$$f(x)=\frac12\lambda e^{-\lambda|x-a|},\ \ -\infty<x<+\infty$$

значение $x=a$ является модой, медианой и математическим ожиданием. Согласно определению, точка $x=a$ является локальным максимумом функции, так как в дельта-окрестности этой точки самое максимальное значение функция принимает именно в этой самой точке. Просто в данной точке не применима лемма Ферма о том, что если производная в точке равна нулю, то в этой точке может быть экстремум функции. Зато применимо следствие леммы Ферма (необходимое условие существование экстремума): Если в точке $x_0$, принадлежащей области определения функции, производная равна нулю или не существует, то в точке $x_0$ функция может принять экстремальное значение. Как раз в точке $x=a$ производная не существует. То есть необходимое условие выполняется. Достаточное условие существование экстремума тоже выполняется.
Я Вам приведу контрпример. Функция плотности равномерного распределения:

$$ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<0$;}\\ \frac{1}{b-a},&\text{если $a\leqslant x \leqslant b$;}\\ 0,&\text{если $x>b$.} \end{cases} $$

Наибольшее значение функция принимает на интервале от $a$ до $b$. НО! Никакой моды у равномерного распределения нет.

Александрович, так я правильно Вас понял, что Вы не согласны с бимодальностью распределения, представленного например на рис.5??