Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

g______d в сообщении #883336 писал(а):

Доказывается не то, что простых чисел бесконечно много, а всего лишь то, что для любого $n$ верно следующее: если простых чисел $n$, то их обязательно хотя бы $n+1$. Больше ничего. А дальше нахождение противоречия и заключение, что их бесконечно много.

А разве здесь нельзя сказать: "ба, индукция!"?

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #883376 писал(а):

А вот то, что ряд не сходится к конечной сумме, требует метода от противного.

Ерунда, ряд, расходящийся к бесконечности, к конечной сумме сходится не может просто потому, что если взять конечный кандидат на предел, то всякая достаточно далёкая частичная сумма будет больше, чем этот кандидат плюс один, то есть несуществование предела доказывается напрямую.

-- 02.07.2014, 16:41 --

Munin в сообщении #883380 писал(а):

А разве здесь нельзя сказать: "ба, индукция!"?

Можно, но не нужно. Множество, не влезающее ни в один конечный список, бесконечно по определению. Точка.

[warlock66613]

Munin в сообщении #883380 писал(а):

А разве здесь нельзя сказать: "ба, индукция!"?

Мне тоже такая мысль пришла. Но не получается - базы для индукции нет.

[mishafromusa]

Есть, возьмите число 2.

[warlock66613]

mishafromusa в сообщении #883390 писал(а):

возьмите число 2

Беру: 2. Взял. Базы индукции не появилось.

[g______d]

Munin в сообщении #883380 писал(а):

А разве здесь нельзя сказать: "ба, индукция!"?

Сначала сформулируйте утверждение, которое Вы доказываете по индукции.

mishafromusa в сообщении #883383 писал(а):

то всякая достаточно далёкая частичная сумма будет больше, чем этот кандидат плюс один

Вы забыли сказать "поэтому получаем противоречие".

[mishafromusa]

g______d в сообщении #883395 писал(а):

Вы забыли сказать "поэтому получаем противоречие".

Нет не забыл, потому что я не начинал "пусть ряд сходится к конечному числу," а просто честно расписал формулировку того, что конечного предела частичных сумм нет, и доказал это утверждение. Это Вам всюду противоречия мерещатся.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #883383 писал(а):

Ерунда, ряд, расходящийся к бесконечности, к конечной сумме сходится не может просто потому, что если взять конечный кандидат на предел, то всякая достаточно далёкая частичная сумма будет больше, чем этот кандидат плюс один, то есть несуществование предела доказывается напрямую.

Это все понятно. Но мы доказали не отрицание. Мы доказали, что любое число не является пределом. Это утверждение не является отрицанием какого-то другого утверждения.
А вот та мелочь, которая позволяет от "любое число не является пределом" перейти к "не существует конечного предела" - она, формально, является доказательством от противного. "Хорошим" случаем доказательства от противного, которое не использует принцип исключенного третьего.

[mishafromusa]

warlock66613 в сообщении #883393 писал(а):

mishafromusa в сообщении #883390 писал(а):

возьмите число 2

Беру: 2. Взял. Базы индукции не появилось.

Появилась, есть одно простое число.

[warlock66613]

mishafromusa в сообщении #883401 писал(а):

Появилась, есть одно простое число.

Хотя бы одно простое число. А для первого шага требуется, чтобы вообще существовало только одно простое число, не больше и не меньше.

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #883398 писал(а):

А вот та мелочь, которая позволяет от "любое число не является пределом" перейти к "не существует конечного предела"

А разве это не просто стандартная выкладка с кванторами? Любое число -- не предел --> предела не существует среди чисел.

[Xaositect]

warlock66613 в сообщении #883402 писал(а):

Хотя бы одно простое число. А для первого шага требуется, чтобы вообще существовало только одно простое число, не больше и не меньше.

Нет, зачем же. У нас же конструкция по $n$ простым числам получает число, не равное 1 и не делящееся на исходные, т.е. делящееся на какое-то другое простое число. То есть у нас есть утверждение "если есть хотя бы $n$ простых чисел, то есть хотя бы $n+1$ простое число". И по индукции можно получить, что существует сколь угодно много простых чисел.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #883403 писал(а):

А для первого шага требуется, чтобы вообще существовало только одно простое число, не больше и не меньше.

Можно сказать разумнее: существует по крайней мере одно простое число, тогда всё получится, а "не больше и не меньше" -- это тупик.

-- 02.07.2014, 17:27 --

Вообще, дамы и господа, если вам так нравится обсуждать доказательств от противного, пожалуйста, откройте отдельную тему, это же совсем не про матан и как с ним бороться.

[warlock66613]

mishafromusa в сообщении #883407 писал(а):

существует по крайней мере одно простое число, тогда всё получится

Не получится. Из того что существует ровно одно простое число следует, что простых чисел два. Но из того что их не меньше одного не следует, что их не меньше двух.

[mishafromusa]

Не ровно, оставьте ровно в покое, и замените его на "по крайней мере." И вообще индукция тут не нужна. Множество, не влезающее ни в один конечный список, бесконечно по определению. Точка.

-- 02.07.2014, 17:46 --

warlock66613 в сообщении #883409 писал(а):

Но из того что их не меньше одного не следует, что их не меньше двух.

Если есть по крайней мере одно, то есть по карайней мере 2, итд.