Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883008 писал(а):

если одна часть конечна, то другая бесконечна

Вот эта конкретная импликация как работает? Извините за занудство.

[mishafromusa]

У конечной части есть максимальный индекс, а все члены с индексами, большими этого, будут в другой части.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883014 писал(а):

все члены с индексами, большими этого, будут в другой части.

Почему?

[mishafromusa]

По определению деления множества индексов на 2 части. Вы заставляете меня думать, а сами думать не хотите, так нехорошо.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883017 писал(а):

По определению деления множества индексов на 2 части.

Я не знаю, какое определение Вы имеете в виду, но очень сомневаюсь, что Вы сможете доказать принадлежность к части 2 как следствие не принадлежности к части 1 без привлечения сами знаете чего.

[mishafromusa]

Ну вот, опять двадцать пять... Пусть А -- индексы, для которых члены последоваательности лежат в левом полуотрезке, а В -- в правом. Объединение А и В -- все натуральные числа, поэтому если А конечно, то В бесконечно, и наоборот.

-- 01.07.2014, 21:05 --

g______d в сообщении #883016 писал(а):

Почему?

А ещё потому, что члены последовательности, не принадлежащие правому полуотрезку, принанадлежат левому. Так понятней?

-- 01.07.2014, 21:10 --

g______d в сообщении #883018 писал(а):

Я не знаю, какое определение Вы имеете в виду,

Объединение обеих частей -- все натуральные числа, части могут и пересекаться, т.е. это не совсем разбиение, а скорее покрытие, потому что наши полуотрезки имеют общую точку.

-- 01.07.2014, 21:32 --

g______d в сообщении #880992 писал(а):

Довольно легко пару раз продемонстрировать процесс превращения идеи (соображений, почему утверждение должно быть верным) в строгое рассуждение. А потом ограничиваться идеями и отсылать за строгими доказательствами к учебникам.

Мне хотелось бы обсудить равномерную дифференцируемость с разными модулями непрерывности в свете этого замечания.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883019 писал(а):

А ещё потому, что члены последовательности, не принадлежащие правому полуотрезку, принанадлежат левому. Так понятней?

Не понятнее. Это в чистом виде принцип исключённого третьего.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #883021 писал(а):

Не понятнее. Это в чистом виде принцип исключённого третьего.

При чём тут это? Если число принадлежит всему отрезку, но не принадлежит правому полуотрезку, то оно принадлежит левому, потому что весь отрезок минус правый полуотрезок -- это левый полуотрезок минус средняя точка. И потом вот что: принцип исключённого третьего не избавляет нас от противоречий в наших теориях, т.е. доказательства от противного остаются второсортными.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883024 писал(а):

Если число принадлежит всему отрезку, но не принадлежит правому полуотрезку, то оно принадлежит левому, потому что весь отрезок минус правый полуотрезок -- это левый полуотрезок минус средняя точка.

Не понимаю этого "потому что". Определение разности множеств: $B\setminus A=\{x\in B\colon x\notin A\}$. Равенство $B=A\cup(B\setminus A)$ – это не определение, а теорема, и доказывается она от противного. Можно, конечно, эту теорему постулировать, но тогда придётся доказывать первое равенство; и, кроме того, если мы постулируем второе равенство, мы фактически принимаем за аксиому принцип исключённого третьего, которого достаточно более-менее для всех доказательств от противного.

mishafromusa в сообщении #883024 писал(а):

И потом вот что: принцип исключённого третьего не избавляет нас от противоречий в наших теориях, т.е. доказательства от противного остаются второсортными.

Этого вообще не понял. От противоречий нас не избавляет ничего. А принцип исключённого третьего гласит, что если отрицание $B$ приводит к противоречию, то $B$ верно; в принципе, конечно, может оказаться, что теория противоречива, но тогда $B$ тем более верно.

[mishafromusa]

Короче, Вы не принимаете тот факт, что $[0,1]\setminus[0,1/2] = (1/2,1]$, или что $[0,1]=[1,1/2] \cup [1/2,1]$, так?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883032 писал(а):

Короче, Вы не принимаете тот факт, что $[0,1]\setminus[0,1/2] = (1/2,1]$, так?

Я не принимаю (или не понимаю) тот факт, что это можно доказать без использования принципа исключённого третьего.

Само равенство я принимаю, потому что принцип исключённого третьего признаю.

[mishafromusa]

Мы же говорили совсем не об этом, а том, можно ли доказать компатность отрезка, не прибегая к доказательству от противного. А то, что $[0,1] = [0,1/2] \cup [1/2,1]$, для этого тоже принцип исключённого третьего нужен?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883037 писал(а):

Мы же говорили совсем не об этом, а том, можно ли доказать компатность отрезка, не прибегая к доказательству от противного,

Почему не об этом? Принцип доказательства от противного следует из принципа исключённого третьего (по крайней мере во всех случаях, которые я могу себе представить). И Вы этим принципом вовсю пользуетесь.

[mishafromusa]

А то, что $[0,1] = [0,1/2] \cup [1/2,1]$, для этого тоже принцип исключённого третьего нужен?

-- 02.07.2014, 00:28 --

Ещё раз. Пусть А -- индексы, для которых члены последоваательности лежат в левом полуотрезке, а В -- в правом. Объединение А и В -- все натуральные числа, поэтому если А конечно, то В бесконечно, и наоборот. Где здесь принцип исключённого третьего?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #883039 писал(а):

Где здесь принцип исключённого третьего?

Я уже объяснил. В доказательстве этого утверждения:

mishafromusa в сообщении #883039 писал(а):

Объединение А и В -- все натуральные числа, поэтому если А конечно, то В бесконечно, и наоборот.

Запишите хоть сколько-нибудь формальное доказательство и поймёте.