перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[Munin]

ivvan в сообщении #881547 писал(а):

Но это даёт только один корень.

Ну да, а чо поделать? Найти все - часто большая задача.

Попробуйте найти квадратный корень из трёхмерного вращения вокруг оси $x$ на $180^\circ.$ В смысле, найти все ответы. (Предупреждаю: их не один и не два.)

-- 29.06.2014 00:53:21 --

Red_Herring в сообщении #881558 писал(а):

Дело в том, чтобы чтобы получить все "алгебраические" корни надо рассмотреть все представления в виде экспоненты, а в комплексной плоскости $\ln z$ бесконечнолистная функция. Т.е. таких представлений гораздо больше, чем корней.

Мило. Спасибо, буду в курсе.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #881575 писал(а):

Попробуйте найти квадратный корень из трёхмерного вращения вокруг оси $x$ на $180^\circ.$ В смысле, найти все ответы. (Предупреждаю: их не один и не два.)

из анекдота писал(а):

А опохмелиться не дадим! Петька, мы же не садисты!

На самом деле эта задача лишь слегка сложнее, чем найти все алгебраические корни из единичной матрицы в размерности 2. Дело в том, что эти корни размножаются как кролики когда собственные подпространства имеют размерность больше 1. Вот, к примеру рассмотрим диагональную матрицу. Т.е. на диагонали стоят $k_1,k_2,\ldots, k_N$, а остальные нули. Как найти все корни? Просто: взять алгебраические корни из всех $k_1,k_2,\ldots, k_N$. Ровно $2^N$ штук. Так? Да, если эти числа попарно различны. В этом случае приведение к диагональному виду по существу однозначно. А вот если несколько чисел равны, то выбор базисных векторов сильно неоднозначен и тут и собака зарыта. Допустим надо извлечь алгебраический корень из единичной матрицы $I$. Самый вырожденный случай—все числа равны! (Вырожденный—в другом смысле чем определитель 0). Т.е. помимо "очевидных" ответов $\pm I$ будут такие: разобьем пространство в прямую сумму двух $E_+$ и $E_-$. На них корни будет +1 и -1. Получится отражение от $E_+$ параллельно $E_-$. Тут ответом континуум!А вот с представлением в виде экспоненты совсем неоднозначно. Помимо $B=2i\pi m I $ с $m\in \mathbb{Z}$ в размерности 2 в каждом таком представлении будут $\begin{pmatrix} 2i\pi m & 0\\ 0 &2i\pi n\end{pmatrix}$ с $m,n\in \mathbb{Z}, m\ne n$. Тоже континуум (но только побольше с точки зрения топологии).

В обоих вопросах что самое скверное: не просто ответ неоднозначен, но он еще и неустойчив в таких точках.

[Munin]

Red_Herring
Хотите устойчивого? Хорошо, на $179^\circ.$ Проблема в том, что ответ не просто неоднозначен, и с неустойчивостью ничего общего не имеет.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #881604 писал(а):

Red_Herring
Хотите устойчивого? Хорошо, на $179^\circ.$ Проблема в том, что ответ не просто неоднозначен, и с неустойчивостью ничего общего не имеет.

Тоже мне, бином Ньютона! с.з. $1, e^{i\alpha}, e^{-i\alpha}$ где $\alpha$ угол в радианах, и будет 8 корней с с.з. $\pm 1, \pm e^{i\alpha/2}, \pm e^{-i\alpha}$ где все $\pm$ независимы.

А вот то, что при $\alpha=\pi $ и тем паче при $\alpha=0$ корни из матрицы размножаются как кролики (и из 8 появляется континуум) это и есть неустойчивость в некоем смысле.

[fronnya]

я уже не в теме ?

[nnosipov]

fronnya, вот для Вас вопрос: верно ли тождество $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, где $A$, $B$ --- квадратные матрицы одного порядка?

С корнями из матриц пока повремените, а вот добить задачу про $\begin{pmatrix}a & b\\b & a\end{pmatrix}^n$ вполне можно.

[fronnya]

nnosipov в сообщении #881675 писал(а):

fronnya, вот для Вас вопрос: верно ли тождество $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, где $A$, $B$ --- квадратные матрицы одного порядка?

неверно.

[mihailm]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #881675 писал(а):

верно ли тождество?

Так это... тождества по определению верны)

[fronnya]

упс, точнее верно. Проверил.

-- 29.06.2014, 08:58 --

а вот как быть с матрицей в степени $n$ ?

[Mathusic]

fronnya в сообщении #881688 писал(а):

упс, точнее верно. Проверил.

Ну это вы поторопились. Первая ваша мысль была верной.
Теперь вопрос: что нужно от матриц $A, B$, чтобы эта формула была верна?
Как тогда это можно применить к задаче, если учесть, например, post881319.html#p881319 ?

[fronnya]

Mathusic в сообщении #881690 писал(а):

Теперь вопрос: что нужно от матриц $A, B$, чтобы эта формула была верна?
Как тогда это можно применить к задаче, если учесть, например, post881319.html#p881319 ?

чтобы одна из них была единичной?

[Red_Herring]

fronnya в сообщении #881688 писал(а):

упс, точнее верно. Проверил.

Ну проверьте еще раз для конкретных двух матриц
$A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\0 &0\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix} 0 &0 \\1 &0\end{pmatrix}$

-- 29.06.2014, 02:05 --

Red_Herring в сообщении #881692 писал(а):

чтобы одна из них была единичной?

Это достаточно, но необходимо. А нужно и достаточное и необходимое условие

[fronnya]

Red_Herring в сообщении #881692 писал(а):

Это достаточно, но необходимо. А нужно и достаточное и необходимое условие

это как-то связано с нулями и единицами ?) Может, вторая матрица должна быть треугольной?

[Mathusic]

fronnya в сообщении #881688 писал(а):

Проверил.

А как вы вообще "проверяете"?
Используете какие-то свойства произведения матриц и дальше "раскрываете скобки"?

[fronnya]

Mathusic в сообщении #881694 писал(а):

А как вы вообще "проверяете"?
Используете какие-то свойства произведения матриц и дальше "раскрываете скобки"?

а как мне проверять ?