перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[Xaositect]

Munin в сообщении #881296 писал(а):

Ой, чёрт, я готов мой пример снять. По крайней мере, он потребует экспонент-логарифмов или гиперболических функций, если вы с ними не знакомы, то можете не справиться.

На самом деле он элементарно решается алгеброй с помощью $\begin{pmatrix}a & b \\b & a\end{pmatrix} = b X + (a-b)E$, $X^2 = 2X$, но до этого еще надо додуматься и понять, что бином Ньютона тут работает.

[fronnya]

Munin в сообщении #881296 писал(а):

И расскажите, что вы думаете про

$$\sqrt{\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}$$

(здесь для упрощения укажу, что $0\ne a\ne\pm b\ne 0$).

Может вот так :

$$\begin {pmatrix} a^{n+1}+ab^n+nab^2 & na^2b+a^{n+1}+ab^n\\ ba^n+b^{n+1}+na^2b & nab^2+a^{n+1}+ab^n \end{pmatrix}$$

?? Я сделал в лоб по тому алгоритму.. (может где-то я опечатался, голова не варит уже)

[Munin]

Ну ладно, как насчёт

$$\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}^n,\qquad\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}^n,\qquad\sqrt{\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\hphantom{-}\cos\alpha\end{pmatrix}}?$$

[nnosipov]

Xaositect в сообщении #881315 писал(а):

На самом деле он элементарно решается алгеброй с помощью $\begin{pmatrix}a & b \\b & a\end{pmatrix} = b X + (a-b)E$, $X^2 = 2X$, но до этого еще надо додуматься и понять, что бином Ньютона тут работает.

Попроще можно: $aE+bX$, где $X^2=E$.

[Xaositect]

fronnya в сообщении #881317 писал(а):

(может где-то я опечатался, голова не варит уже)

Значит, надо отдохнуть, а то мы Вас тут задачами закидали :)
И вообще, корни это сложно. Не парьтесь по поводу корней.

[Munin]

Xaositect в сообщении #881320 писал(а):

Значит, надо отдохнуть, а то мы Вас тут задачами закидали :)
И вообще, корни это сложно. Не парьтесь по поводу корней.

Да, присоединяюсь ко всему. Не перегревайте моторчик, давайте ему отдохнуть. Через пару часов или на следующий день всё то же самое подуляжется, и покажется легче.

[fronnya]

Munin в сообщении #881330 писал(а):

Через пару часов или на следующий день всё то же самое подуляжется, и покажется легче.

Именно об этом я и подумал.

[Red_Herring]

Munin
Вы с корнями полегче; все таки в комплексной плоскости $\sqrt{z}$ двулистна, и если для матриц с положительными собственными значениями корень определяется однозначно (чтобы тоже имел положительные с.з.), то для остальных—увы. Т.е. в первом Вашем примере стоит наложить условие $а>|b|$. Кстати, последний Ваш пример лучше делать геометрически.

[Otta]

Red_Herring в сообщении #881367 писал(а):

Вы с корнями полегче; все таки в комплексной плоскости $\sqrt{z}$ двулистна, и если для матриц с положительными собственными значениями корень

Да пожалейте ж вы ребенка! Он передумает поступать. Изверги.

[ivvan]

А есть какое-нибудь аналитическое выражение для корней из матрицы?

[fronnya]

Otta в сообщении #881370 писал(а):

Red_Herring в сообщении #881367 писал(а):

Вы с корнями полегче; все таки в комплексной плоскости $\sqrt{z}$ двулистна, и если для матриц с положительными собственными значениями корень

Да пожалейте ж вы ребенка! Он передумает поступать. Изверги.

Не передумаю) Поступаю на физфак, но эта информация ПОКА что для меня лишняя, не хочу хватать все подряд, а что-то одно, но с толком.

[Red_Herring]

fronnya в сообщении #881485 писал(а):

Поступаю на физфак, но эта информация ПОКА что для меня лишняя, не хочу хватать все подряд, а что-то одно, но с толком.

Так вот, изверг-садист это Munin; и с корнями от матриц пока не связывайтесь.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #881367 писал(а):

Вы с корнями полегче; все таки в комплексной плоскости $\sqrt{z}$ двулистна, и если для матриц с положительными собственными значениями корень определяется однозначно (чтобы тоже имел положительные с.з.), то для остальных—увы.

Да ладно, он для любых неоднозначен. Меня интересовал как раз ответ в виде "любые решения уравнения $X^2=$ данная матрица". И я же не предложил вычислить корень, я предложил над ним подумать.

Red_Herring в сообщении #881367 писал(а):

Кстати, последний Ваш пример лучше делать геометрически.

Не спорю, но боюсь, fronnya пока ещё не знает, как.

-- 28.06.2014 23:54:01 --

ivvan в сообщении #881455 писал(а):

А есть какое-нибудь аналитическое выражение для корней из матрицы?

Только в том случае, если матрицу можно выразить в виде экспоненты от другой матрицы: если $A=e^B,$ то $\sqrt{A}=e^{(1/2)B}.$ А в виде экспоненты можно представить, кажется, невырожденные.

fronnya в сообщении #881485 писал(а):

Не передумаю) Поступаю на физфак, но эта информация ПОКА что для меня лишняя, не хочу хватать все подряд, а что-то одно, но с толком.

Я вам, кстати, рассказывал о примерах, полезных в физике (например, в квантовой механике). Red_Herring тоже говорит о вещах, полезных в физике (например, в уравнениях колебаний).

[ivvan]

Munin в сообщении #881540 писал(а):

Только в том случае, если матрицу можно выразить в виде экспоненты от другой матрицы: если $A=e^B,$ то $\sqrt{A}=e^{(1/2)B}.$ А в виде экспоненты можно представить, кажется, невырожденные.

Но это даёт только один корень. Или все корни получаются для разных представлений?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #881540 писал(а):

Только в том случае, если матрицу можно выразить в виде экспоненты от другой матрицы: если $A=e^B,$ то $\sqrt{A}=e^{(1/2)B}.$ А в виде экспоненты можно представить, кажется, невырожденные.

Разумеется можно, причем однозначно, но не при любых условиях. Вот для неотрицательного числа корень можно определять как решение квадратного уравнения, а можно рассматривать только неотрицательные корни. В первом случае корень неоднозначен.

Так же и для матриц: если у них собственные значения неотрицательны, то можно определить однозначно (в анализе предпочитают именно так). Есть еще секторальные матрицы (операторы). Если же определять, как решения уравнения, то неоднозначности лезут из всех щелей: например корень из $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &2\end{pmatrix}$ имеет 4 значения, а вот из $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1\end{pmatrix}$ бесконечно много (включает все отражения). Munin недаром избегал вырожденные случаи.

Что касается через экспоненту, то в общем случае чур меня! изыди сатана! Дело в том, чтобы чтобы получить все "алгебраические" корни надо рассмотреть все представления в виде экспоненты, а в комплексной плоскости $\ln z$ бесконечнолистная функция. Т.е. таких представлений гораздо больше, чем корней.

Причем все это вылазит уже в размерности 2, а в более высоких размерностях все совсем плохо.